第1章 1.1 1.1.7　柱、锥、台和球的体积

1、.1.1.7柱、锥、台和球的体积学习目的：1.理解柱、锥、台和球的体积计算公式重点2.可以运用柱、锥、台、球的体积公式求简单几何体的体积重点3.台体的体积及简单几何体的体积计算难点自 主 预 习·探 新 知1祖暅原理1“幂势既同，那么积不容异，即“夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，假如截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等2作用：等底面积、等高的两个柱体或锥体的体积相等2柱体、锥体、台体和球的体积公式其中S、S分别表示上、下底面的面积，h表示高，r和r分别表示上、下底面圆的半径，R表示球的半径名称体积V柱体棱柱Sh圆柱r2h锥体棱锥Sh

2、圆锥r2h台体棱台hSS圆台hr2rrr2球R3根底自测1判断正确的打“，错误的打“×1夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的某个平面所截，假如截得的两个截面面积相等，那么这两个几何体的体积相等2锥体的体积只与底面积和高度有关，与其详细形状无关3由V锥体S·h，可知三棱锥的任何一个面都可以作为底面答案1×232圆锥的母线长为5，底面半径为3，那么其体积为【导学号：90662054】A15B30C12 D36C圆锥的高h4，故V×32×412.3假设一个球的直径是12 cm，那么它的体积为_cm3.解析由题意，知球的半径R6 cm，

3、故其体积VR3××63288cm3答案288合 作 探 究·攻 重 难求柱体的体积如图1­1­68所示的几何体，上面是圆柱，其底面直径为6 cm，高为3 cm，下面是正六棱柱，其底面边长为4 cm，高为2 cm，现从中间挖去一个直径为2 cm的圆柱，求此几何体的体积图1­1­68解V六棱柱×42×6×248cm3，V圆柱·32×327cm3，V挖去圆柱·12×325cm3，此几何体的体积：VV六棱柱V圆柱V挖去圆柱4822cm3规律方法计算柱体体积的关键及

4、常用技巧：1计算柱体体积的关键：确定柱体的底面积和高2常用技巧：充分利用多面体的截面及旋转体的轴截面，构造直角三角形，从而计算出底面积和高由于柱体的体积仅与它的底面积和高有关，而与柱体是几棱柱，是直棱柱还是斜棱柱没有关系，所以我们往往把求斜棱柱的体积通过作垂直于侧棱的截面转化成求直棱柱的体积跟踪训练1一个正方体的底面积和一个圆柱的底面积相等，且侧面积也相等，求正方体和圆柱的体积之比.【导学号：90662055】解设正方体边长为a，圆柱高为h，底面半径为r，那么有由得ra，由得rh2a2，V圆柱r2ha3，V正方体V圆柱a312.求锥体的体积如图1­1­69三棱台ABCA1B

5、1C1中，ABA1B112，求三棱锥A1­ABC，三棱锥B­A1B1C，三棱锥CA1B1C1的体积之比图1­1­69思路探究解设棱台的高为h，SABCS，那么SA1B1C14S.VA1ABCSABC·hSh，VCA1B1C1SA1B1C1·hSh.又V台hS4S2SSh，VBA1B1CV台VA1ABCVCA1B1C1ShSh，体积比为124.规律方法三棱柱、三棱台可以分割成三个三棱锥，分割后可求锥体的体积和柱体或台体的体积关系，割补法在立体几何中是一种重要的方法跟踪训练2在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体

6、，那么截去8个三棱锥后，剩下的凸多面体的体积是A.B.C. D.D如图，去掉的一个棱锥的体积是××，剩余几何体的体积是18×.求台体的体积正四棱台两底面边长分别为20 cm和10 cm，侧面积是780 cm2.求正四棱台的体积.【导学号：90662056】思路探究可以尝试借助四棱台内的直角梯形求出棱台底面积和高，从而求出体积解如下图，正四棱台ABCDA1B1C1D1中，A1B110 cm，AB20 cm.取A1B1的中点E1，AB的中点E，那么E1E是侧面ABB1A1的高设O1、O分别是上、下底面的中心，那么四边形EOO1E1是直角梯形由S侧4×1020

7、·E1E780，得EE113，在直角梯形EOO1E1中，O1E1A1B15，OEAB10，O1O12，V正四棱台×12×10220210×202 800 cm3故正四棱台的体积为2 800 cm3.规律方法求台体的体积关键是求出上、下底面的面积和台体的高要注意充分运用棱台内的直角梯形或圆台的轴截面寻求相关量之间的关系跟踪训练3本例假设改为“正四棱台的上、下两底的底面边长分别为2 cm和4 cm，侧棱长为2 cm，求该棱台的体积解如图，正四棱台ABCD­A1B1C1D1中，上、下底面边长分别为2 cm和4 cm，那么O1B1 cm，OB2 cm，

8、过点B1作B1MOB于点M，那么B1M为正四棱台的高，在RtBMB1中，BB12 cm，MB2 cm根据勾股定理MB1cmS上224 cm2，S下4216cm2，V正四棱台××416××28 cm3.求球的体积过球面上三点A，B，C的截面到球心O的间隔 等于球的半径的一半，且ABBCCA3 cm，求球的体积和外表积.【导学号：90662057】思路探究解决此题要充分利用条件，尤其是球半径，截面圆半径和球心距构成的直角三角形解如图，设过A，B，C三点的截面为圆O，连接OO、AO、AO.ABBCCA3 cm，O为正三角形ABC的中心，AOAB cm设OAR，

9、那么OOR，OO截面ABC，OOAO，AOR cm，R2 cm，V球R3cm3，S球4R216cm2即球的体积为 cm3，外表积为16 cm2.规律方法球的根本性质是解决与球有关的问题的根据，球半径、截面圆半径和球心到截面的间隔 所构成的直角三角形是把空间问题转化为平面问题的主要方法跟踪训练4假如三个球的半径之比是123，那么最大球的体积是其余两个球的体积之和的A1倍B2倍C3倍D4倍C半径大的球的体积也大，设三个球的半径分别为x,2x,3x，那么最大球的半径为3x，其体积为×3x3，其余两个球的体积之和为x3×2x3，×3x3÷3.空间几何体的体积探究

10、问题1设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2.假设它们的侧面积相等，且，求的值提示设两个圆柱的底面半径和高分别为r1，r2和h1，h2，由，得，那么.由圆柱的侧面积相等，得2r1h12r2h2，即r1h1r2h2，那么，所以.2把长和宽分别为6和3的矩形卷成一个圆柱的侧面，求这个圆柱的体积提示设圆柱的底面半径为r，母线长为l，当2r6时，r，l3，所以V圆柱r2·l·2·3.当2r3时，r，l6，所以V圆柱r2·l·2·6.所以这个圆柱的体积为或.如图1­1­70所示，正方体ABCDA1B1

11、C1D1的棱长为1，E为线段B1C上的一点，那么三棱锥ADED1的体积为_.【导学号：90662058】图1­1­70思路探究1利用转换底面以便于找到几何体的高，从而求出几何体的体积2利用等体积法可求点到平面的间隔 解V三棱锥ADED1V三棱锥EDD1A××1×1×1.母题探究：.本例中，求点A到平面A1BD的间隔 d.图1­1­71解在三棱锥A1ABD中，AA1平面ABD，ABADAA11，A1BBDA1D，VA1ABDVAA1BD，××1×1×1××&

12、#215;··d.d.规律方法1计算柱体、锥体和台体的体积时，关键是根据条件找出相应的底面面积和高，要充分运用多面体的有关截面及旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题旋转体的轴截面是用过旋转轴的平面去截旋转体而得到的截面例如，圆柱的轴截面是矩形，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形，球的轴截面是过球心的平面截球所得的圆面2在求不规那么的几何体的体积时，可利用分割几何体或补全几何体的方法转化为柱、锥、台、球的体积计算问题当 堂 达 标·固 双 基1假如轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4，那么圆柱的体积等于AB2C4 D8B设轴截面正方形的边长为a，由题意

13、知S侧a·aa2.又S侧4，a2.V圆柱×22.2.高为3的三棱柱ABC­A1B1C1的底面是边长为1的正三角形如图1­1­72，那么三棱锥B1­ABC的体积为图1­1­72A.B.C. D.DVSh××3.3圆锥SO的高为4，体积为4，那么底面半径r_.【导学号：90662059】解析由得4r2×4，解得r.答案4棱台上、下底面面积之比为19，那么棱台的中截面分棱台成两部分的体积之比是_解析设棱台高为2h，上底面面积为S，那么下底面面积为9S，中截面面积为4S，.答案5一个正三棱锥底面边长为6，侧棱长为，求这个三棱锥体积.【导学号：90662