第1章 1.2 1.2.1 集合之间的关系

1、.1.2集合之间的关系与运算1.2.1集合之间的关系学习目的：1.理解集合之间的包含与相等的含义重点2.能识别给定集合的子集、真子集，会判断集合间的关系难点、易混点3.在详细情境中，理解空集的含义并会应用难点自 主 预 习·探 新 知1维恩Venn图用平面内一条封闭曲线的内部表示一个集合，这种图形通常叫做维恩Venn图，其优点是可以形象地表示出集合之间的关系2集合间的关系考虑1：如何理解子集、真子集的概念？提示1子集与真子集的定义具有“断定和“性质的两重性AB等价于对任意xA，都有xB；AB等价于AB，且至少有一个元素xB，但xA.2AB包含AB和AB两种情况，真子集是子集的特殊情况

2、考虑2：如何理解两集合相等？提示1集合A中的元素与集合B中的元素一样，那么集合A等于集合B，这是从集合中元素的特征出发来表达两个集合相等，它指明了两个集合的元素特征2假设AB且BA，那么AB，这是从集合关系的角度表达，A与B相等，即对任意xA，都有xB；反之，对任意xB，都有xA，这说明集合A等于集合B.3子集、真子集的性质 1规定：空集是任意一个集合的子集也就是说，对任意集合A，都有A.2任何一个集合A都是它本身的子集，即AA.3假如AB，BC，那么AC.4假如AB，BC，那么AC.4集合关系与其特征性质之间的关系设Ax|px，Bx|qx，那么有1假设pxqx，那么AB；反之，假设AB，那么

3、pxqx2假设pxqx，那么AB；反之，假设AB，那么pxqx根底自测1考虑辨析10是.2正整数集是自然数集的子集3空集是任何集合的子集解析1×是不含任何元素的集合，而0表示由一个元素0构成的集合2由正整数集和自然数集的概念知此题正确3规定空集是任何集合的子集，故正确答案1×232设集合Ax，y，B0，x2，假设AB，那么2xy等于A0B1C2D1C由元素的互异性知x0，2xy2.3集合M1,2,3,4,5，N1,5，那么有ANMBNMCNMDNMB由题意知N中任意元素都是M中的元素，且M中存在不属于N的元素，所以NM.4集合x|x22含有的子集个数为_. 【导学号：604

4、62025】4x|x22，中含有两个元素，所以它的子集有224个合 作 探 究·攻 重 难两个集合之间关系的断定1集合Ax|x210，那么以下式子表示不正确的选项是A1AB1ACAD1，1A2集合Mx|yx22，集合Ny|yx22，那么集合M，N之间的关系是_3设集合M，Nxxn，nZ，那么集合M，N之间的关系是_思路探究由元素关系集合关系解析1Ax|x2101,1，元素与集合之间是“、“关系，集合与集合之间是“关系，由选项可知A、C、D正确，选项B中应为1A.2Mx|yx22x|xR，Ny|yx22y|y2，所以NM.3Nxxn，nZxx，nZ,2n1为奇数，而集合M中，Mxx，n

5、Z，所以NM.答案1B2NM3NM母题探究：变条件本例2中，假设Px，y|yx22，其他条件不变，那么P与M，N之间有什么关系？解Px，y|yx22表示二次函数yx22上的点构成的集合，而M，N都是数集，故P与M，N之间不具有子集关系规律方法判断两集合关系的关键及方法1关键：明确集合中的元素及其属性2方法：1列举法：将集合中的元素一一列举出来；2元素分析法：从两个集合元素的特征入手，通过整理化简，然后做出判断；3 直观图法：利用数轴或Venn图直观判断提醒：1用描绘法表示集合时，即使表示代表元素的字母不同，但是假如特征性质的本质一样，表示的仍是同一个集合2用描绘法表示集合时，假如特征性质一样，

6、但是代表元素的属性不同，那么表示的是不同的集合跟踪训练1以下命题中正确的有_写出全部正确的序号2,4,62,3,4,5,6；菱形矩形；x|x200；0,10,1；10,1,2；x|x>1x|x2根据子集的定义，显然正确；中只有正方形才既是菱形，也是矩形，其他的菱形不是矩形；中集合x|x20中的元素只有一个“0，因此是集合0的子集；中0,1的元素是有序实数对，而0,1是数集，元素不同；中两个集合之间使用了“符号，这是用来表示元素与集合的关系时使用的符号，不能用在集合与集合之间；中两集合的关系应该是x|x>1x|x2因此正确的选项是、，错误的选项是、.集合的相等及应用集合0，a2，ab

7、，那么a2 017b2 018的值为 【导学号：60462026】A0B1C1D±1思路探究根据集合相等的定义求出字母a与b的值，注意集合中元素互异性的应用解析0，a2，ab，又a0，0，b0.a21，a±1.又a1，a1，a2 017b2 01812 01702 0181.答案C规律方法1.假设两集合相等，那么集合中的元素完全一样2此题以“0为着眼点，中a不为0为打破口进展解题3解含字母的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性如本例中a1舍去跟踪训练2设A4，a，B2，ab，假设AB，那么ab_.4因为A4，a，B2，ab，AB，所以解得a2，b2，所以ab4.由集合间

8、的关系求参数探究问题1设集合A1,2，假设BA，那么集合B可能是什么？设集合A1,2,3，假设BA，那么集合B共有几个？设集合A1,2,3，n，假设BA，那么集合B共有几个？提示：，1，2，1,2；8个；2n个2“空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，正确吗？提示：正确3设集合Ax|ax10，Bx|ax2x10，Cx|a1<x<2a，那么集合A，B，C可能是空集吗？假设可能是空集，实数a的值或范围分别是什么？提示：集合A，B，C可能是空集当a0时，集合A是空集，当a>时，集合B是空集，当a1时，集合C是空集设集合Ax|1x6，Bx|m1x2m1, BA.务实数m的取值

9、范围思路探究1.讨论B是否为m的取值范围2数集数轴取值范围解当m1>2m1，即m<2时，B符合题意；当m12m1，即m2时，B.由BA，借助数轴如下图，得解得0m.所以0m.综合可知，实数m的取值范围为mm<2或0m.规律方法集合间的关系求字母的值或范围的解题策略1假设集合是有限集，求解时，一般根据对应关系直接列方程. 2假设集合是无限集，求解时，通常借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值，做到准确无误一般含“用实心点表示，不含“用空心点表示3此类问题还要注意是否存在空集的情况，因为空集是任何集合的子集跟踪训练31将例3中集合Ax|

10、1x6改为Ax|1<x<6，其他条件不变，结果如何？ 【导学号：60462027】2将例3中BA改为AB，这样的实数m是否存在？3假设将例3中BA改为BA，结果有变化吗？解1由例题可知，m<2，即B，符合题意；当Ax|1<x<6且B时，要使BA，那么需解得，即0<m<所以，实数m的取值范围为mm<2或0<m<.2要使AB，那么即，m.即这样的m不存在3由例题可知m<2时满足题意当m2即B时，要使BA，那么需或解得0<m或0m<.即0m.综上可知，0m或m<2.所以结果没变化当 堂 达 标·固 双 基1

11、集合A1,0,1，A的子集中含有元素0的子集共有A2个B4个C6个D8个B根据题意，在集合A的子集中，含有元素0的子集有0、0,1、0，1、1,0,1四个，应选B.2集合Mx|<x<，xZ，那么以下集合是集合M的子集的为AP3,0,1BQ1,0,1,2CRy|<y<1，yZDSx|x|，xND集合M2，1,0,1，集合R3，2，集合S0,1，不难发现集合P中的元素3M，集合Q中的元素2M，集合R中的元素3M，而集合S0,1中的任意一个元素都在集合M中，所以SM.应选D.300，0，0,10,1，a，bb，a上面关系中正确的个数为A1B2 C3D4B正确，0是集合0的元素；正确，是任何非空集合的真子集；错误，集合0,1含两个元素0,1，而0,1含一个元素点0,1，所以这两个集合没关系；错误，集合a，b含一个元素点a，b，集合b，a含一个元素点b，a，这两个元素不同，所以集合不相等应选B.4设集合Ax|1<x<2，Bx|x<a，假设AB，那么a的取值范围是 【导学号