第1章 §9　三角函数的简单应用

1、.§9三角函数的简单应用学习目的：1.能用三角函数研究简单的实际问题，尤其是周期性问题重点2.将实际问题抽象为三角函数模型难点自 主 预 习·探 新 知三角函数模型的应用1三角函数模型的应用根据实际问题的图像求出函数解析式将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型利用搜集的数据，进展函数拟合，从而得到函数模型2解答三角函数应用题的一般步骤考虑：在函数yAsinxbA>0，>0中，A，b与函数的最值有何关系？提示：A，b与函数的最大值ymax，最小值ymin关系如下：1ymaxAb，yminAb；2A，b.根底自测1判断正确的打“，错误的打“×1函数y

2、sin x在内是增函数2函数y3sin x1的最大值为3.3直线x是函数ysin x的一条对称轴4函数ysin x1的周期为2.答案12×3×42求以下函数的周期：1yAsinx0的周期是T_；2yAcosx0的周期是T_；3yAtanx0的周期是T_；答案1233某人的血压满足函数关系式ft24sin 160t110，其中ft为血压，t为时间，那么此人每分钟心跳的次数为_解析T，f80.答案80合 作 探 究·攻 重 难解析式求周期、最值交流电的电压E单位：V与时间t单位：s的关系可用E220·sin来表示，求：1开场时电压；2电压值重复出现一次的时间

3、间隔；3电压的最大值和第一次获得最大值的时间思路探究交流电压与时间的关系呈现周期性变化，t0时即为初始电压，求周期和最值可直接运用性质解1当t0时，E110V即开场时的电压为110V.2Ts，即时间间隔为0.02 s.3电压的最大值为220 V.当100t，即t s时第一次获得最大值规律方法由于物理学中的单摆、光学、机械波、电学等知识都具有周期性，且均符合三角函数的相关知识，因此明确三角函数中的每个量对应的物理中的量是解答此类问题的关键.跟踪训练1单摆从某点开场来回摆动，分开平衡位置的间隔 scm和时间ts的函数关系为s6sin.1作出它的图像；2单摆开场摆动时，分开平衡位置多少厘米？3单摆摆

4、动到最右边时，分开平衡位置多少厘米？4单摆来回摆动一次需要多少时间？ 【导学号：64012071】解1单摆的周期T1，假设令2t0，即t，这时s0.找出曲线上的五个特殊点，列表如下：ts6sin06060用光滑的曲线连接这些点，得函数s6sin的图像如图2当t0时，s6sin 6×3，即单摆开场摆动时，分开平衡位置3 cm.3s6sin的振幅为6，所以单摆摆动到最右边时，分开平衡位置6 cm.4s6sin的周期为1，所以单摆来回摆动一次需要的时间是1 s.模型求解析式如图1­9­1所示，表示电流IA与时间ts的关系式：IAsintA>0，>0在一个周期

5、内的图像图1­9­1根据图像写出IAsint的解析式思路探究由图像确定A、.解由图像可知A300，又T2，100.又t时，t0，100·0，即，I300sin.规律方法求解析式的难点在于求，可根据图像找出与正弦曲线对应点求得.跟踪训练2如图1­9­2所示，某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数yAsinxbA>0，>0，|<图1­9­21求这段时间的最大温差；2写出这段曲线的函数解析式解1由题图知，这段时间的最大温差是301020 2题图中从6时到14时的图像是函数yAsinxb的半个周期的图像所

6、以×146，解得，由图像知，A301010，b×301020，所以y10sin20.因为x6时，y10，所以1010sin 20，所以sin1，可令，所以.综上所述，所求解析式为y10sin20，x6,14三角函数的实际应用探究问题1建立三角函数模型解决实际问题的思路是什么？提示：1先寻找与角有关的信息，确定选用正弦、余弦还是正切函数模型2其次是搜集数据，建立三角函数解析式并解题3最后将所得结果翻译成实际答案2如何建立拟合函数模型？提示：1利用搜集到的数据，作出相应的“散点图2观察“散点图，并进展数据拟合，获得详细的函数模型3利用这个函数模型解决相应的实际问题，并进展检验某

7、港口的水深y单位：m是时间t0t24，单位：h的函数，下面是水深数据：t/h03691215182124y/m10.013.09.97.010.013.010.17.010.0根据上述数据描出曲线，如图1­9­3所示，经拟合，该曲线可近似地看做函数yAsin tb的图像图1­9­31试根据以上数据，求函数解析式；2一般情况下，船舶航行时，船底离海底的间隔 不少于4.5 m时是平安的，假如某船的吃水深度船底与水面的间隔 为7 m，那么该船何时能进入港口？在港口能待多久？ 【导学号：64012072】思路探究1根据题意确定A，b，.2根据题意水深y11.5可

8、求解解1从拟合曲线可知，函数yAsin tb在一个周期内由最大变到最小需936h，此为半个周期，函数的最小正周期为12 h，因此12，得.当t0时，y10，b10.ymax13，A13103.所求函数的解析式为y3sint100t242由于船的吃水深度为7 m，船底与海底的间隔 不少于4.5 m，故在船舶航行时水深y应不小于74.511.5m当y11.5时就可以进港令y3sint1011.5，得sint，2kt2kkZ，112kt512kkZ取k0，那么1t5；取k1，那么13t17；取k2，那么25t29不合题意因此，该船可以在凌晨1点进港，5点出港或在13点进港，17点出港，每次可以在港口

9、停留4小时母题探究假设将例3中“某港口的水深y是时间t0t24，单位h的函数变为“海浪高度y米是时间t时的函数0t24且浪高数据如下：t03691215182124y1.51.00.51.01.51.00.50.991.5假设该函数图像可近似地看成函数yAcos tb的图像试求：1根据以上数据，求其最小正周期，振幅及函数解析式；2根据规定，当海浪高度大于1米时才对冲浪爱好者开放，请根据1的结论，判断一天内的8：00到20：00之间，有多少时间可供冲浪者进展活动？解1由表中数据可知，T12，所以.又t0时，y1.5，所以Ab1.5；t3时，y1.0，得b1.0，所以振幅为，函数解析式为ycost

10、10t242因为y>1时，才对冲浪爱好者开放，所以ycost1>1，cost>0，2k<t<2k，即12k3<t<12k3kZ又0t24，所以0t<3或9<t<15或21<t24，所以在规定时间内只有6个小时可供冲浪爱好者进展活动，即9<t<15.规律方法根据给出的函数模型，利用表中的数据，找出变化规律，运用已学的知识与三角函数的知识，求出函数解析式中的参数，将实际问题转化为三角方程或三角不等式，然后解方程或不等式，可使问题得以解决.当 堂 达 标·固 双 基1如图1­9­4所示为一简谐

11、振动的图像，那么以下判断正确的选项是图1­9­4A该质点的振动周期为0.7 sB该质点的振幅为5 cmC该质点在0.1 s和0.5 s时振动速度最大D该质点在0.3 s和0.7 s时的加速度为零B由图像可知，该质点的振动周期是2×0.70.30.8，故A不正确；振幅为5 cm，应选B.2商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数， 五一某商场的人流量满足函数Ft504sin t0，那么在以下哪个时间段内人流量是增加的A0,5B5,10C10,15 D15,20C由2k2k，kZ，知函数Ft的增区间为4k，4k，kZ.当k1时，t3，5，而10,153，5，应选C.3如

12、图1­9­5所示，是一弹簧振子作简谐振动的图像，横轴表示振动的时间，纵轴表示振子的位移，那么这个振子振动的函数解析式是_. 【导学号：64012073】图1­9­5解析设函数解析式为yAsint，那么由题意得A2，T2×0.50.10.8，.又×0.1，解析式为y2sin.答案y2sin4某同学利用描点法画函数yAsinx的图像，列出的部分数据如下表：x01234y10112经检查，发现表格中恰有一组数据计算错误，请你根据上述信息推断函数yAsinx的解析式应是_解析在平面直角坐标系中描出这五个点，如下图根据函数图像的大致走势，可知点1,0不符合题意；又0<A2，函数图像过点4，2，A2，函数图像过点0,1，2sin 1.又<<，由0,1，2,1关于直线x1对称，知x1时函数获得最大值2，函数的最小正周期为6.答案y2sin5如图1­