第1章 1.2 1.2.3 第2课时　平面与平面垂直

1、.第2课时平面与平面垂直学习目的：1.理解面面垂直的定义重点2.掌握面面垂直的断定定理和性质定理重点3.灵敏运用线面、面面垂直的断定定理和性质定理解决空间中的位置关系问题难点自 主 预 习·探 新 知1平面与平面垂直的断定1平面与平面垂直定义：假如两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直，就称这两个平面互相垂直画法：图1­2­56记作：.2断定定理文字语言图形语言符号语言假如一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直2.平面与平面垂直的性质定理文字语言假如两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于

2、另一个平面符号语言a图形语言考虑：假设定理中的“交线改为“一条直线，结论会是什么？提示相交或平行根底自测1判断正确的打“，错误的打“×1假如两个平面互相垂直，那么一个平面内的一条直线不一定垂直于另一个平面2假如两个平面互相垂直，那么过交线上的一点垂直于交线的直线，垂直于另一个平面3假如两个平面互相垂直，那么分别在两个平面内的两条直线分别垂直解析1正确2错误必需要在其中一个平面内作直线才能成立3错误可能平行，也可能相交或异面答案12×3×2对于直线m，n和平面，能得出的一个条件是Amn，m，nBmn，m，nCmn，n，m Dmn，m，nC因为mn，n，那么m，又m，

3、故，所以C正确3设平面平面，在平面内的一条直线a垂直于平面内的一条直线b，那么【导学号：90662110】A直线a必垂直于平面B直线b必垂直于平面C直线a不一定垂直于平面D过a的平面与过b的平面垂直C当，在平面内垂直交线的直线才垂直于平面，因此，垂直于平面内的一条直线b的直线不一定垂直于，应选C.合 作 探 究·攻 重 难平面与平面垂直的断定如图1­2­57所示，ABC为正三角形，EC平面ABC，BDCE，且CECA2BD，M是EA的中点，求证：图1­2­571DEDA；2平面BDM平面ECA；3平面DEA平面ECA.思路探究1要证DEDA，只

4、需证明RtEFDRtDBA；2注意M为EA的中点，可取CA的中点N，先证明N点在平面BDM内，再证明平面BDM过平面ECA的一条垂线即可；3仍需证平面DEA经过平面ECA的一条垂线证明1取EC的中点F，连接DF.ECBC，易知DFBC，DFEC.在RtEFD和RtDBA中，EFECBD，FDBCAB，RtEFDRtDBA.EDDA.2取CA的中点N，连接MN，BN，那么MN綊EC，MNBD，N点在平面BDMN内EC平面ABC，ECBN.又CABN，BN平面ECA.BN在平面MNBD内，平面MNBD平面ECA.即平面BDM平面ECA.3BD綊EC，MN綊EC.MNBD为平行四边形DMBN.由2知

5、BN平面ECA，DM平面ECA.又DM平面DEA，平面DEA平面ECA.规律方法1证明平面与平面垂直的方法1利用定义：证明二面角的平面角为直角2利用面面垂直的断定定理：假如一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直2根据面面垂直的定义断定两平面垂直，本质上是把问题转化成了求二面角的平面角，通常情况下利用断定定理要比定义简单些，这也是证明面面垂直的常用方法，即要证面面垂直，只要转证线面垂直，其关键与难点是在其中一个平面内寻找一直线与另一平面垂直跟踪训练1.如图1­2­58所示，在四棱锥P­ABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，ABAD，

6、CDAD.求证：平面PDC平面PAD.图1­2­58证明PA平面ABCD，CD平面ABCD，PACD.又CDAD，PAADA，CD平面PAD.又CD平面PDC.平面PDC平面PAD.面面垂直性质定理的应用如图1­2­59所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形ABCD是边长为a的菱形且DAB60°，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.【导学号：90662111】图1­2­591假设G为AD的中点，求证：BG平面PAD；2求证：ADPB.思路探究12要证ADPB，只需证AD平面PBG即可证明1如图，在菱

7、形ABCD中，连接BD，由DAB60°，ABD为正三角形，G是AD的中点，BGAD.平面PAD平面ABCD，且平面PAD平面ABCDAD，BG平面PAD.2如图，连接PG.PAD是正三角形，G是AD的中点，PGAD，由1知BGAD.又PGBGG.AD平面PBG.而PB平面PBG，ADPB.规律方法1面面垂直的性质定理，为线面垂直的断定提供了根据和方法所以当两个平面垂直的时候，经常找交线的垂线，这样就可利用面面垂直证明线面垂直2两平面垂直的性质定理告诉我们要将面面垂直转化为线面垂直，方法是在其中一个面内作找与交线垂直的直线跟踪训练2.如图1­2­60所示，四棱锥V&

8、#173;ABCD的底面是矩形，侧面VAB底面ABCD，又VB平面VAD.求证：平面VBC平面VAC.【导学号：90662112】图1­2­60证明平面VAB底面ABCD，且BCAB.BC平面VAB，BCVA，又VB平面VAD，VBVA，又VBBCB，VA平面VBC，VA平面VAC.平面VBC平面VAC.垂直关系的综合应用探究问题1.如图1­2­61所示，在四棱锥P­ABCD中，底面是边长为a的正方形，侧棱PDa，PAPCa，你能证明PD平面ABCD吗？图1­2­61提示PDa，DCa，PCa，PC2PD2DC2，PDDC.

9、同理可证PDAD，AD平面ABCD，DC平面ABCD，且ADDCD，PD平面ABCD.2如图1­2­62所示，圆锥的顶点为S，AB为底面圆O的直径，点D为线段AB上一点，且ADDB，点C为圆O上一点，且BCAC，P为母线SA上的点，其在底面圆O上的正投影为点D，求证：PACD.图1­2­62提示连接CO略，由3ADDB知，D为AO的中点，又AB为圆O的直径，ACCB，由ACBC知，CAB60°，ACO为等边三角形，从而CDAO.点P在圆O所在平面上的正投影为点D，PD平面ABC，又CD平面ABC，PDCD，由PDAOD得，CD平面PAB，又PA

10、平面PAB，PACD.3试总结线线垂直、线面垂直、面面垂直之间的转化关系提示垂直问题转化关系如下所示：如图1­2­63，在ABCD中，ABBD，沿BD将ABD折起，使平面ABD平面BCD，连接AC.在四面体A­BCD的四个面中，互相垂直的平面有_对图1­2­63思路探究CDBDCD平面ABD平面ACD平面ABD平面ABC平面BCD.解析在平行四边形ABCD中，因为ABCD，ABBD，所以CDBD.又因为平面ABD平面BCD，平面ABD平面BCDBD，CD平面BCD.所以CD平面ABD.又CD平面ACD，所以平面ACD平面ABD.因为ABBD，平

11、面ABD平面BCD，所以平面ABC平面BCD，又因为平面ABD平面BCD，所以共有3对互相垂直的平面答案3母题探究：.本例中，“平行四边形ABCD中，ABBD改为“四边形ABCD中，ABAD，A90°，CDBD，其他条件不变，互相垂直的平面有哪些？解由例3解题过程知CD平面ABD仍然成立所以CDAB.又ABAD，ADCDD，所以AB平面ACD，所以平面ABC平面ACD，平面ABD平面ACD，平面BCD平面ABD.规律方法 垂直关系的互相转化在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的互相转化每一种垂直的断定都是从某一垂直开场转向另一垂直，最终到达目的，其转化关系如下：提

12、示：应用面面垂直的性质定理，注意三点：两个平面垂直是前提条件；直线必须在其中一个平面内；直线必须垂直于它们的交线当 堂 达 标·固 双 基1以下命题中错误的选项是A假如平面平面，那么平面内一定存在直线平行于平面B假如平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面C假如平面平面，平面平面，l，那么l平面D假如平面平面，那么平面内所有直线都垂直于平面D假如平面平面，那么平面内垂直于交线的直线都垂直于平面，其他与交线不垂直的直线均不与平面垂直，故D项表达是错误的2空间四边形ABCD中，假设ADBC，BDAD，那么有【导学号：90662113】A平面ABC平面ADCB平面ABC平面ADBC平面ABC平面DBCD平面ADC平面DBCD3在四棱锥P-ABCD中，PA底面ABCD且底面各边都相等，M是PC上一点，当点M满足_时，平面MBD平面PCD只要填写一个你认为正确的条件即可解析连接AC，因为PA底面ABCD，所以PABD，因为四边形ABCD的各边相等，所以ACBD，且PAACA，所以BD平面PAC，即BDPC，要使平面MBD平面PCD，只需PC垂直于面MBD上的与BD相交的直线即可，所以可填DMPC或BMPC答案DMPC或BMPC4以下四个命题中，正确的序号有_，那么；，那么；，那么；，那么.解析不正确，如下图，但，相交且不垂直