第3章 3.2 3.2.3 指数函数与对数函数的关系

1、.3.2.3指数函数与对数函数的关系学习目的：1.理解反函数的概念，知道指数函数和对数函数互为反函数，弄清它们的图象间的对称关系重点2.利用图象比较指数函数、对数函数增长的差异.3.利用指数、对数函数的图象性质解决一些简单问题难点自 主 预 习·探 新 知1反函数1互为反函数的概念当一个函数是一一映射时，可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的自变量，而把这个函数的自变量作为新的函数的因变量称这两个函数互为反函数2反函数的记法：函数yfx的反函数通常用yf1x表示考虑：如何准确理解反函数的定义？提示1反函数的定义域和值域正好是原函数的值域和定义域2对于任意一个函数yfx，不一定总有反

2、函数，只有当一个函数是一一映射时，这个函数才存在反函数如yx21xR就没有反函数，因为它不是一一映射3反函数也是函数，因为它符合函数的定义2指数函数与对数函数的关系1指数函数yax与对数函数ylogax互为反函数2指数函数yax与对数函数ylogax的图象关于yx对称根底自测1考虑辨析1函数yx的反函数是ylogx.2函数ylog3x的反函数的值域为R.3函数yex的图象与ylg x的图象关于yx对称解析1×.函数yx的反函数是ylogxx>02×.函数ylog3x的反函数的值域是原函数的定义域，故ylog3x的反函数的值域为0，3×.互为反函数的图象关于直

3、线yx对称，所以函数yex的图象与yln x的图象关于直线yx对称，函数ylg x的图象与y10x的图象关于直线yx对称答案1×2×3×2假设函数yfx是函数yaxa>0，且a1的反函数，且f21，那么fx等于Alog2xB.ClogxD2x2Af21，点2,1在函数yax的反函数图象上，那么点1,2在函数yax的图象上，所以a12，即a2.y2x，那么xlog2y，即ylog2x.fxlog2x.3函数fxx的反函数为gx，那么gx的图象一定过点_1,0fxx的反函数为gxlogx，所以gx的图象一定过点1,04函数yx3的反函数为_yx3xR由yx3得x

4、y3，x，y互换得yx3，所以原函数的反函数为yx3.xR合 作 探 究·攻 重 难求函数的反函数求以下函数的反函数1yx；2y5x1；3yx2x0思路探究根据原函数反解xx，y互换原函数的定义域即为反函数的值域解1由yx，得xlogy，且y>0，f1xlogxx>02由y5x1，得x，f1xxR3由yx2得x±.因为x0，所以x.所以f1xx0规律方法求反函数的一般步骤1求值域：由函数yfx求y的范围2解出x：由yfx解出xf1y假设求出的x不唯一，要根据条件中x的范围决定取舍，只取一个3得反函数：将x，y互换得yf1x，注意定义域得反函数提醒：求反函数时，假

5、设原函数yfx的定义域有限制条件，其反函数的定义域只能是根据原函数的值域来求跟踪训练1求以下函数的反函数. 【导学号：60462238】1ylog x1；2y2x1.解1由ylogx1，得x1y，xy1，对换x，y得yx1，ylog x1的反函数是yx1xR2由y2x1，得xy1，对换x，y得yx，又xR时，yR，y2x1的反函数是yxxR指数函数与对数函数图象之间的关系1a>0，且a1，那么函数yax与ylogax的图象只能是 A BCD2当a>1时，在同一坐标系中，函数yax与ylogax的图象是图中的ABCD解析1yax与ylogax的单调性一致，故排除A、B；当0a1时，排

6、除D；当a1时，C正确2因为a>1时，yaxx,0<<1是减函数，恒过0,1点，ylogax为增函数，恒过1,0点，应选A.答案1C2A规律方法互为反函数的图象特点1互为反函数的图象关于直线yx对称；图象关于直线yx对称的两个函数互为反函数2互为反函数的两个函数在相应区间上的单调性一致3假设一奇函数有反函数，那么它的反函数也是奇函数跟踪训练2假设函数y的图象关于直线yx对称，那么a的值为_. 【导学号：60462239】1由y可得x，那么原函数的反函数是y，所以，得a1.指数函数与对数函数的综合应用探究问题1观察函数y2x与ylog2x的图象，指出两个函数的增长有怎样的差异？

7、提示：根据图象，可以看到，在区间1，内，指数函数y2x随着x的增长，函数值的增长速度逐渐加快，而对数函数ylog2x的增长速度逐渐变得很缓慢2你能列表对底数大于1的指数函数与对数函数从多个方面分析它们的差异吗？提示：yaxa>1ylogaxa>1图象定义域R0，值域0，R性质当x>0时，y>1；当x<0时，0<y<1；当x0时，y1；在R上是增函数当x>1时，y>0；当0<x<1时，y<0；当x1时，y0；在0，上是增函数fxaR，f00.1求a的值，并判断fx的奇偶性；2求fx的反函数；3对任意的k0，解不等式f1x&g

8、t;log2.思路探究1判断奇偶性奇偶性定义2求反函数反解，改写，标注定义域3对数不等式构建不等式组解不等式组得出解集解1由f00，得a1，所以fx.因为fxfx0，所以fxfx，即fx为奇函数2因为fxy1，所以2x1<y<1，所以f1xlog21<x<13因为f1x>log2，即log2>log2，所以所以所以当0<k<2时，原不等式的解集为x|1k<x<1；当k2时，原不等式的解集为x|1<x<1母题探究：1.变结论本例中的条件不变，如何判断f1x的单调性，并给出证明解由原题解答知：f1xlog21<x<

9、1任取1<x1<x2<1，那么令tx1，所以tx1tx2.因为1<x1<x2<1，所以1x1>0,1x2>0，x1x2<0，所以tx1tx2<0，tx1<tx2，所以log2tx1<log2tx2，即f1x1<f1x2，所以函数f1x为1,1上的增函数2变条件将本例中的函数改为fxlog2，试判断其奇偶性，并求其反函数？解函数fxlog2的定义域为>0，即x1,1关于原点成中心对称设x1,1，那么fxlog2log21log2fx，所以函数fxlog2为奇函数因为ylog2，所以2y，所以2y2yx1x，所以x

10、，所以f1x1<x<1规律方法解对数不等式的常见解法1借助对数函数的单调性，把对数不等式转化为真数的不等式，最后与定义域取交集即得原不等式的解集2底数中假设含有变量，一定要注意底数大于0且不等于1，并注意与1的大小的讨论当 堂 达 标·固 双 基1函数fxlog23x1的反函数yf1x的定义域为A1，B0，C0，D1，Cyf1x的定义域即为原函数的值域，3x11，log23x10.2假设函数yfx的反函数图象过点1,5，那么函数yfx的图象必过点A1,1B1,5C5,1D5,5C原函数与它的反函数的图象关于直线yx对称，因为yfx的反函数的图象过1,5，而1,5关于yx的对称点为5,1，所以函数yfx的图象必过点5,13函数fx2x1，那么f14_.1由2x14，得x1，f141.4设函数fxlog2