常用放缩技巧技巧

1、常用放缩方法技巧证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能 全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素 材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进 行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种：添加或舍去一些项，如：洁+1 > a+1) >n-n(n 1)：n (n 1)2将分子或分母放大(或缩小)利用基本不等式，如：Ig3 Ig5 屮3 lg 5尸=g ,15 :：: Ig . 16 =lg4 ；2二项式放缩:2n =(1 1)n =C0亠亠c

2、n, 2n _c0 cl =n 1,2n 0 +cn 4C2 =卍肝 +22n >n(n _1)(n X2)_ 2(5)利用常用结论：I . 1 的放缩：_ 2 _ ： 2_ ： _ 2 _,kk 亠.Li 2 k k 亠.k -1n. 1的放缩(1) :111(程度大)孑k(k 1) " k2 ' k(k -1)占的放缩:1 1 1k2k2 -1(k 1)(k -1)1( 1. 1 )(程度小)2 k _1 k 1IV .1的放缩(3):丄J =2( 11 )(程度更小)k2k2 4k2 -12k -1 2k 1V .分式放缩还可利用真(假)分数的性质：口(b>

3、“0m>0)和2<Um(a>b>0,m>0)a aa a m记忆口诀“小者小，大者大”。 解释:看b,若b小,则不等号是小于号，反之亦然.W .构造函数法 构造单调函数实现放缩。例:f (x)1 (x _ 0),从而实现利用函数单调性质的放缩:1 + xf (a +b)兰 f (a + b)。先求和再放缩例 1. an1n (n 1)前n项和为Sn，求证:Sn ：1前n项和为Sn，求证:先放缩再求和（一）放缩后裂项相消例3 .数列an1n，其前n项和为，求证:（二）放缩后转化为等比数列。例 4. bn满足：bl -1,bi 1-(n- 2)bn 3（1） 用数学归

4、纳法证明：bn-n1 1 11Tn :+3 b 3 b23 b33*bn，求证Tn三、裂项放缩n。n例5.（1）求 2_的值；（2） 求证:v 1 .5.k2 -1春 3例6.（1）求证：1笃丄.上一_（-2）3 5（2n -1）6 2（2n 1） 求证：丄.丄.丄.：丄_丄2 4 16364n 2 4n 求证：2（市 _1） ：1 1 1川:;J ： 2（盯一 1）23n例7.求证：6n i丄.律.5(n 1)(2n 1) _4 9n23例8.已知nan =4On-2 'Tn 二,求证:四、分式放缩姐妹不等式：bb +m（匕 >a >o, m aO）和 b J +m（日b

5、 >0, m >0）a a ma a m记忆口诀”小者小，大者大” 解释：看b,若b小，则不等号是小于号，反之亦然.例9.姐妹不等式：（1 "I -1）（i £）（1 .亍=）.2n再1和1(1 -2)(1亠齐诗鳥1也可以表示成为2 4 62n和 13"(2n-1 11 3 5 .(2 nV)2 4 6 2n 2n -1例 10.证明：（1 1）（1 ->%3n +1.五、均值不等式放缩例11.设Sn=1 2 . 2 3 亠亠 n(n ：；1).求证n(n 1)21上的最大值为1,2例14. a=2 3n , 试证明:nn4n 2<例 12

6、.已知函数 f（x） _1, a>0,b>0,若 4，且 f（x）在0 ,丁凶一作？"*f（1）=5求证：11求证.f（1）+f（2）y+f（n）An+2n+2.六、二项式放缩2n =(1 +1)n =c0 +C；十+C：, 2n MC： +c1 = n +1,2n 弐0 +C； +Cn2 =n ： *22、n(n -1)(n K2)例 13.设 n .1, nN，求证(2)n .8.3(n+1)(n+2)七、部分放缩（尾式放缩）例 15.求证：1.1.1.4拜 3x2 书 3 2n-+7例16.设 an =1-2- 4，a_2 求证:23n八、函数放缩例 17.求证：In2 .ln3 肿. ln3n .3n 5n 6(n J)2343n6例18.求证:丘归.2"3 -n-2( n 1)(n -2)例19.求证:1十丄卡日门十“幻+丄+123 n 12 n九、借助数列递推关