平面向量复习讲义

1、平面向量复习向量有关概念：1. 向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来 表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？(向量可以平移)。2. 零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意的;3. 单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB共线的单位向量是 -AB );|AB|4. 相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；5. 平行向量(也叫共线向量)：方向相同或相反的非零向量a、b叫做平行向量，记作： a / b，规定零向量和任何向量平行。注：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等； 两个向量平行

2、与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量 共线，但两条直线平行不包含两条直线重合； 平行向量无传递性！(因为有0); 三点A B、C共线=AB、AC共线；6. 相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。a的相反向量是一a。【练习】耳耳q1、下列命题：(1)若a二b，则。(2)两个向量相等的充要条件是它们的起点相同， 终点相同。(3)若= DC，则fBCD是平行四边形。(4)若fBCD是平行四边形，则AB =DC。(5)若 a=b,b=c，则 a=c。(6)若 a/b,b/c，则 a/c。其中正确的是二. 向量的表示方法：1 .几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如 AB，

3、注意起点在前，终点在后；2 .符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如 a，b，c等；3. 坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与彳x轴、y轴方向相同的两个单位向量i， j为基底，则平面内的任一向量a可表示为a = xi yj = x,y，称x, y为向量a的坐 标，a = x, y叫做向量a的坐标表示。如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向 量的终点坐标相同。三. 平面向量的基本定理：如果e1和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面 内的任一向量a，有且只有一对实数 1、 2，使a= e1 + 2 e2。a,BE二b，则BC可用向量a, b表(答:务孚)；【练习】1、若 a =

4、(1,1),b = (1，-1),c=(-1,2)，如何用 a， b 表示 c ?2、下列曙组中，能作为平面内所有向量基底的A. © =(0,0)(2 =(1,-2)B. © =(-1,2)鸟=(5,7)13C. © =(3,5),62 =(6,10)D. © =(2,-3)© 二匕-3)2红3、已知AD, BE分别是 ABC的边BC,AC上的中线，且AD二示为4、在平行四边形ABCD中，点E和F分别是边CD和BC的中点, 且AC = mAE+ nAF，其中 m， n R，贝U m+ n=5、在边长为2的菱形ABCD中，.BAD= 60 , E

5、为CD中点，AE与BD相交于点F, （1）用 AB , AD 表示 AF 。 （2）求出 AE bD .四. 实数与向量的积：实数与向量a的积是一个向量，记作 a，它的长度和方向规定I 44-_如下：（1 ka 扎|a ,（2）当入>0时，九a的方向与a的方向相同，当九<0时，扎a的方向 一呻 T-与a的方向相反，当 = 0时， a = 0，注意： a工0。五. 平面向量的数量积：，1. 两个向量的夹角：对于非零向量a， b，作 OA 鳥,OL b，. AOB二二 0乞二乞二称为向量a，b的夹角，当二=0时，a，b同向，当二=二时，a，b反向，当二=时，a，2b垂直。科呻2. 平面

6、向量的数量积：如果两个非零向量a , b，它们的夹角为二，我们把数量|a|b|cosr 叫做a与b的数量积（或内积或点积），记作：ab，即ab =卽議cos日。规定：零向 量与任一向量的数量积是0,注意数量积是一个实数，不再是一个向量 。如【练习】1、 ABC 中，| AB | = 3，| AC |=4，| BC |=5，贝U AB BC =（答：-9）;1 T1-2、 已知 a =（1,）,b =（0, -一）,c =a + kb,d =ab， c与d 的夹角为二，贝U k 等于2 24（答：心3、已知 a =2, b| =5,a|_b =-3，贝U a等于I444 -*4 4 4（答：巫）

7、；4、 已知a,b是两个非零向量，且a=b = a-b，则a与a+b的夹角为3.（答: 30 ）b在a上的投影为|b|cos，它是一个实数，但不一定大于 0。12 练习：已知|a| = 3，|b| = 5，且a，b=12，则向量a在向量b上的投影为_ （答：一） 54. a *b的几何意义：数量积a * b等于a的模| a |与b在a上的投影的积。5. 向量数量积的性质：设两个非零向量a， b，其夹角为二，贝U: a_b= ab=O ； 当a， b同向时，a *b = a"b'，特别地，a =a*a=|a；，a = JT ；当a与b反向时，a * b = a%1 ;当日为锐角

8、时，a *b > 0，且a、:不同向，a b>0是B为锐角的必一 +呻扌 一 呻扌要非充分条件；当二为钝角时，a * b v 0，且a、b不反向，a b . 0是二为钝角的必要非 充分条件； 非零向量a , b夹角二的计算公式：cost =: |ab|a|b|。1、已知7 =(九,2九)，b = (3k,2)，如果a与b的夹角为锐角，贝U九的取值范围是41(答：，:-或二、0且=一)；3 32、已知 A(1, 2)，B(2，3)，C(-2，A.直角三角形B锐角三角形3、已知OFQ的面积为5)，则 ABC 为( )C.钝角三角形D.不等边三角形1 .-.3S，且 OF FQ =1，若

9、：S -，则 OF,FQ 夹角二的取值范围是(答：(让)；2 2六.向量的运算：1.几何运算： 向量加法：利用“平行四边形法则”进行，但“平行四边形法则”丄适用于不共线的 ，如此之外，向量加法还可利用二角形法则”：设AB = a,BC=b，那么向量AC叫做a与b的和，即a b AB BC AC ； 耳_ 斗 斗彳_(j_DC._ :(A-CD(-BD)=贝U | a + b + c| = 向量的减法：用“三角形法则”：设ab二a,AC二b,那么a_b=AB-"AC =CA，由减向 量的终点指向被减向量的终点。注意：此处减向量与被减向量的起点相同。【练习】_ T _1、 化简： AB

10、+ BC+CD= : AB-2、若正方形ABCD的边长为J，AB二a, BC二b,AC二c，2.坐标运算：设 a =(X1,yi),b =(X2,y2)，贝U： 向量的加减法运算：a二匕=(为二乂2， %二丫2) 实数与向量的积： a 为， Uxi,*。 若A%, yj B(X2, y2)，则AB =x2 % y 2-y 一 ，即一个向量的坐标等于表示这个向量的 有向线段的终点坐标减去起点坐标。【练习】11、设 A(2,3), B(-1,5)，且 AC=§AB，AD=3AB，则 C、D 的坐标分别是2、已知点 A(2,3), B(5,4) , C(7,10)，若 =AB + aTC(

11、九R)，则当 时，点 P在第一、三象限的角平分线上.3、已知 A(2,3), B(1,4),且 AB=(si n x,cos y)，x, y (,)，则 x y-2 2 2 平面向量数量积：ab = %x2 %2。女口1、已知向量 a =( sinx，cosx) , b =( sinx，sinx) , c =( 1，0)。(1)若 x = 一，求3向量的模：；x2 y2；向量a、c的夹角；(2)若x ° 亍V，函数f(x)= ab的最大值为：，求的值=|a|2 = x2 y2。如1、已知a,b均为单位向量，它们的夹角为60，那么富+3弐|=(答：后)；2、 (2009年广东卷)一质点

12、受到平面上的三个力R,，F2，F3 (单位：牛顿)的作用而处于平衡状态已知F!,F2成60角，且Fi, F2的大小分别为2和4,贝U F3的大小为 T T1 1弓4 4 43、已知共面向量 一a, b , c均为单位向量，它们的夹角两两相同，求a + b-C的值。2 32 2 练习：下列命题中： a (b - c) = a b- a c : a (b c (a b) c :(a - b) =| a |- 2|a| | b| |b| : 若 ab=0，则 a=0 或 b=0;若 a b=c b,则 a = c ;4 o H2 42424 4 2:(a b) =a b :(a-b) =a -2a

13、b+b。其中正确的是 两点间的距离：若 A xi, y1 ,B x2,y2，则 | AB |= J；x2 - 为亠y2 - yj ?。七.向量的运算律:1 .交换律：a b = b a，迁.La = - J a， a b = b a ；2.结合律：4444444 h-t44a b c a b 产 c,a -b -c = a -：；：b c ，a*b= ab=a* b ；3.分配律:呻44444呻TT*呻4彳a= a! a, a b= a,b， ab *a*cb*c。4 242422aa b古二a注：(1)向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项， 两边平方、两边同乘以

14、一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同 除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除(相约)；(2)向量的“乘 法”不满足结合律，即a(b *cp- (a *b)c，为什么？ ，*八. 向量平行(共线)的充要条件：ab a 二 b：= (a b)2 =(|a|b|)2：= x$2 -%x2 = 0。【练习】(幼亠(們，当x =时a与b共线且方向相同1、 若向量a=(x,1),b=(4,x)，当x = _时a与b共线且方向相同2、 已知=(1,1),bR4,x)， ya+2b， v =2a+b，且 u/v，贝U x=3、 设 PA=(k,12),PB=(4,5), P$ =y0,k，则 k= _ _时，A申,C 共线OA =(-1,2),OB =(3,m)，若 OA _ OB，贝U m 二_四亠匚厂门為，则m的坐标是九. 向量垂直的充要条件:a _ b a b 0 ：= | a b |=| a - b | = yy二0 .1、已知 O=(-1,2),O=(3,m)，若 R 2、已知 n =(a,b),向量 n _