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1、2计算,其中 D 是 x 轴、 y 轴和抛物线 y =1 x2所围成的在第一象限内的闭区域。【 解 】抛物线y =1 x2与 x 轴、 y 轴的交点依次为（1，0）及（0，1），积分区域 D （图 1-3-5 ）可表成从而3 计算，其中 D 是由中心在原点、半径为的圆周所围成的闭区域。【 解 】 在极坐标系中，闭区域 D 可表成于是4交换积分次序，二次积分化为解由所给的二次积分，可得积分区域更换积分次序，得故选（ B ）。5计算三重积分，其中为三个坐标面及平面x + 2y + z =1 所围成的闭区域。【 解 】 积分区域而于是【解】1是上半球2 是1的，位于第一卦限内。1关于yOz面和zOx

2、 面都对称，所以只要被积函数对 x 及 y 都是偶函数，就有上述四个选项中，只有当 f (x ,y, z) = z 时，上述关系才成立，故应选（ C ）。本题也可以采取如下解法。由于1关于yOz面对称，而被积函数关于 x 是奇函数，故有但因此（ A ）不正确。同理， ( B ）和（ D ）也不正确。故应选（ C ）。四、平面曲线积分格林公式（一）平面曲线积分的概念与性质 1 对弧长的曲线积分的概念与性质设 L 为平面内一条光滑曲线弧， f （x，y）在 L 上有界，将 L 任意划分成n个小段，第 i 个小段的长度为，（ , ）为第 i 小段上任一点， max , 若极限总存在，则称此极限为f（

3、x，y）在 L 上对弧长的曲线积分或第一类曲线积分，记作 ,即若曲线形构件 L 在点（ x , y ）处的线密度为（x， y ) ，则曲线积分( x , y ) ds 就表示此构件的质量 M ，即当 L 为闭曲线时，曲线积分记为f ( x ,y )ds.第一类曲线积分具有如下性质：2 对坐标的曲线积分的概念与性质设L为平面内从点 A 到点 B 的一条有向光滑曲线弧，P（ x ，y）、 Q ( x ，y)在 L 上有界，将L任意分成 n 个有向小弧段( I =1,2,n; M0= A, Mn=B ), = xi xi-1 , = yi yi-1 .任取（ , ），记 =max,若极限总存在，则称此极限为P（x，y）在有向曲线弧 L 上对坐标 x 的曲线积分，记作P(x,y) ds,即类似地定义 Q （x， y ）在有向曲线弧L上对y的曲线积分 。Q( x ,y )dy ,即对坐标的曲线积分也称为第二类曲线积分。P (x ,y )dx +Q( x, y)dy通常写成P(x ,y )dx +Q(x ,y)dy。若某质点沿有向曲线弧 L 移动，受变力 F = (P (x ,y),Q (x

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