高等代数(张禾瑞版)教案-第3章行列式.

1、3.3 n阶行列式教学目的：1、理解和掌握n阶行列式的定义和性质。2、能熟练地应用行列式的定义和性质来计算和证明有关的行列式。 教学内容：1、行列式的定义：任意取n2个数ay(i=1,2,n ；j=1,2,n,排成以下形式a 11a12a1na 21a 22a2n(1)an1an2a nn .(2)考察位于（1）的不 同的行与不同的列上的 n个元素的乘积。这种乘积可以写成下面的形 式：n个数码的任意a1 j i a2 j 2 anj n这里下标j1,j2,.,j n是1 , 2,，n这n个数码的一个排列。反过来，给了1）的不同的行与不同的列上的n个个排列，我们也能得出这样的一个乘积。因此，一切

2、位于（ 元素的乘积一共有 n!个。我们用符号(j 1 j 2j n )表示排列j1 j2j n的序数定义用符号ana12-a1 na21a22-a2nan1an2-ann1）的不同的行与不同的表示的n阶行列式指的是n!项的代数和，这些项是一切可能的取自（列上的n个元素的乘积a1j 1 a2j 2 & nj n 项a1j 1 a2j 2 & nj n符号为(-1),也就是说，当j1 j2"是偶排列时，这一项的符号为正，当j1 j2是奇排列时，这一项的符号为负。一个n阶行列式正是前面所说的二阶和三阶行列式的推广。特别，当n=1时，一阶行列式a就是数a.例1我们看一个四阶行

3、列式a00b0cd0D=0.0ef0g00h根据定义，D是一个4! =24项的代数。然而在这个行列式里，除了acfh,bdeg,bcfg这四项外,其余的项都至含有一个因子0,因而等于0。与上面四项对应的排列依次是1234，1324，4321，4231。其中第一个和第三个是偶排列，第二个和第四个是奇排列。因此D=acfh-adeh+bdeg-bcfg.2、转置行列式：a11a12 -a1 n设D=a21a22 -a2ran1a n 2a nn如果把D的行变为列，就得到一个新的行列式aiiai2ainaiiai2ainD，=a21a22a2nan1an2a nnD'叫做D的转置行列式。引理

4、3.3.1从n阶行列式的第i 1 ,i2 ,i,in行和第j1,j2,.,j n列取岀元素作乘积ai1 j1 ai2j2 a injn ,（3）这里i1i2 -in和j1j2.jn都是1,2,小这n个数码的排列。那么这一项在行列式中的符号是（s t1），s= （ i li2 i n），t= （ j ij 2.j n）.证如果交换乘积（3）中某个因子的位置，那么（3）的元素的第一个下标和第二个下标所成的排列同时经过一次对换。假定经过这样一次对换后所得的两个反序分别为 由定理3.2.2, s'-s和t -t都是奇数。因为两个奇数的和是一个偶数，所以（ s）+（t -t'是一个偶数。

5、因此s' +Ts+t同时是偶数或同时是奇数，从而（-1） = （-1） .另一方面，由定理 3.2.1，排列i1i 2n总可以经过若干次对换变为 次变换因子的次序，乘积（3）可以变为（4） a1k1a2k2a nkn ,这里 的一个排列。根据行列式的定义，乘积（4），因而乘积（3）的符目旦（12 “） =0.由上面的讨论可知（-1） s t= （-1） n（12.）讹你2.如）=（-1 ） 引理被证明。现在设a1k1a2k2a nkn是n阶行列式D的任意一项。这一项的元素位于 不同的列，所以位于D的转置行列式D的不同的行和不同的列，因而也是n（ k1k2k n）。s'和t &#

6、39;那么s' +)-(s+t)=(s -12n.因此，经过若干k 1k 2k n是n个数码 号疋（-1）。然而n （k1k2.kn）。D的不同的行和 D的一项。由引理 3.3.1，这一项在D里和 在D'里的符号都 是（-1）。反过来，D的任意一项也是 D的一项，并且 D中不同的两项显然也是D中不同的两项。因为 D与D'的项数都是n!，所以D与D是带有相同符号的相同项的代数和，既D=D。于是有命题3.3.2行列式与它的转置行列式相等。 命题3.3.3交换一个行列式的两行（或两列），行列式改变符号。 证设给定行列式a11a12 .a1 nai1ai2 .aina j1aj

7、2 .ajn日n1an2.ann亍与第j行得a11a12 .a1na j1a j2.ajnai1ai2.a inan1a n2.a nnD=交换D的第ID i）。（旁边的i和j表示行的序数D的每一项可以写成1k1 a iki a jkj a nkn （5）因为这一项的元素位于。川勺不同的行和不同的列，所以它也是D1的一项。反过来，项也是D的一项，并且 D的不同项对应着。勺不同项。因此D与D1含有相同的项。D中的符号是（-1） n（k1.ki.kj.kn）。然而在D1中，原行列式的第i行变成第 成第i行,而列的次序并没有改变。所以由引理3.3.1，并注意到（1ji“）（5）在 d 中的符号是（1

8、 ） n（1.j.i.n） n（k1 k2.kn） 1,八 n（k1k2.kn） 1因此（5 ）在D和D1中的符号相反。所以 交换行列式两列的情形，可以利用命题 推论3.3.4如果一个行列式有两行（列） 命题3.3.5把一个行列式的某一行（列）行列式。证设把行列式 D的第i行的元素j行，第j行变 是一奇数，=（-1）D与D j的符号相反。3.3.2归结到交换两行的情形。完全相同，那么这个行列式等于零。的所有元素同乘以某一个数k，等于以数k乘这个an,ai2,，an乘以k而得到行列式D1。那么D1的第i行的元素是kaii,kai2,風.D的每一项可以写作D1中对应的项可以写作（6）在D中的符号与

9、（7 ）在推论3.3.6推论3.3.7 推论 3.3.8 证设行列式同一个因子a iji a 帀a njn .a 1 ji （kaiji ）a njn = k a i ji a ji a njn.D1 中的符号都是（-1） n（j1j2.jn）。因此，D 1 =kD.(6)因此k，即一个行列式中某一行（列）所有元素的公因子可以提到行列式符号的外边。 如果一个行列式中有一行（列）的元素全部是零，那么这个行列式等于零。 如果一个行列式有两行（列）的对应元素成比例，那么这个行列式等于零。D的第i行与第j行（i工j）的对应元素成比例。那么这两行的对应元素只差 1 aii =ka ji ,ai2=ka

10、j2 ,，an=ka jn .a11a12 .a1na11a12 .a1 nai1ai2.ainka j1kaj2.ka jnaj1a j2 .ajna j1aj2.a jnan1an2 .annan1an2.annD=k提到行列式符号的外边，于是得到一个有两行完全相同的行可以把公因子由推论列式；由推论3.3.4，这个行列式等于零。命题3.3.9设行列式D的第i行的所有元素都可以表成两项的和:3.3.6 ,D=bi1Ci1an1那么D等于两个行列式D 1与a12a1 nbi2ci2binCinan2annD 2的和，其中D 1的第i行的元素是b i1 ,bi2 ,，bn ,D 2的第i行i1

11、i2 -的元素是ci1 ,ci2 ,cin，而D 1与D 2的其它各行都和D的一样。同样的性质对于列来说也成立。（. . - ） 证 D的每一项可以写成a1j1 - （biji +ciji ）anjn的形式，它的符号是（一 1） 也人.去掉括弧，得 a1j1 （bij1+Cij1 ） anjn=a1j1 biji anjn+a1j1 Ciji anjn.但一切项aijlbijiCnj n附以原有符号后的和等于行列式a11a12 .a1nD1=bi1bi2.b-Minan1an2 .ann一切项a1j1 c帀a njn附以原有符号后的和等于行列式a12 .a1nD2 =Q2.Cinan1an2a

12、nn因此D=D 1+D 2 .命题339 显然可以推广到第i行（列）的元素是 m项的和的情形（命题3.3.10把行列式的某一行（列）的元素乘以同一数后加到另一行（列）m 2）.的对应元素上，行列式不变。证设给定行列式a11a12.a1 nD=a21a22.a2 nan1a n 2.ann把D的第j行的元素乘以同一数a11k后，加到第i行（i j）的对应元素上,我们得到行列式ai1 ka j1D'=.ai2 ka j2ainkajnaj1aj2ajnannan1a n2由命题 3.3.9 D =D+D1此处a11a12. a1nka j1 ka j2kajnaj1 a j2a jnan1

13、 a n2annD1的第i行与第j列成比例；由推论 3.3.8， D1=0。所以D' =D. 我们给岀两个利用行列式的性质来简化行列式计算的例子。例2计算行列式1 a2a13a11 a22a23a21 a32a33a3D =根据命题3310,从D的第二列和第三列的元素减去第一还不错的对应的元素 )，得列的元素同乘以-1后加到第二列和第三列的对应元素上3.3.8, D=0.(即把D的第例3计算n阶行列式01111011D =11011ai12D =1a2121a312这个行列式有两列车员成比例，所以根据推论n1n 1n 1n 11011D =11011110根据推论3.3.6,提岀第一行

14、的公因子n-1,得11111011D=( n-1 )110111101 1 1 0我们看到，D的每一列的元素的和都是n-1.把第二，第三，第n行都加到第一行上，得11110100D=(n - 1 )00100001由于某种原因第二，第三”第n行减去第一行，得由行列式定义，易见后一行列式等于对角线上元素的乘积(-1)n-1.所以D=(-1) n-1(n-1)3.4子式和代数余子式行列开的依行依列展开教学目的：1. 掌握计算行列式的能力2. 通过一些比较典型的例题分析和习题训练，掌握行列式计算中的一些技巧教学内容：1. 子式和余子式 ：定义1在一个n阶行列式D中任意取定k行k列.位于这些行列相交处

15、的元素所构成的k阶行列式叫做行列式D的一个k阶子式.例1在四阶行列式D=312313314322323324332333334342343344a11a21a31a41341342344中，取定第二行和第三行，第一列和第四列，那么位于这些行列的相交处的元素就构成D的一个二阶子式321324M=331334定义2 n(n>1)阶行列式a11D= ai1a1 jaij31 n3in3n1的某一元素aij余子式M耳指的是在3nj3nnd中划去a0所在的行和列后所余下的n-1阶子式.341342344例2 例子的四阶行列式的元素311312314331332334341342344M 23 =定

16、义3 n阶行列式D的元素的余子式Mj附以符号(1)i j后，叫做元素的代数余子 式.元素aj的代数余子式用符号Aj来表示：Aij=(1)i j Mj .例3 例1中的四阶行列式D的元素a23的余子式是312314a32 a34an2 3M 23 = ( 1) M 23 =- M 23 =- a31341342344现在先看一个特殊的情形，就是 形。定理3.4.1若在一个n阶行列式的某一行（列）的元素最多有一个不是零的情D=中，第I行（或第j 列） 的乘积：n阶行列式a11aija1nai1aijainan1anjann的元素除aijD= a ij Aij我们只对行来证明这个定理。我们要证明,也

17、就是说,子式M 11此处j 2， 积外都是零，那么这个行列式等于aij与它代数余子式 A ij先假定D的第一行的兀素除a ij外都是零。这时a1100a21a22a2nD=an1an2ann11D=a11A 11 = a 11D= a 11的每一项都可以写作j3，_!a这一乘积的元素位在a22a32an2(-1)a23a33an3M 11 = a11 M 11，a2na3nann(1)a2j2a3j3n是2，3，n这n-1个数码的一个排列我们看项（1）与元素 a11的乘11 a 2j2 a 3j3a njnD的不同的行与不同的列上，因此它是D的一项。反过来,由于行列式D的每一项都含有第一列的一

18、个元素，而第一行的元素除a11外都零，因此 D的每一项都可以写成（2）的形式，这就是说,D的每一项都是a11与它的子式 M11的某一项的乘积，因此 D与a 11 M 11有相同的项， 乘积（2 ）在D的符号是2（-1 ）Jn)= (-1 ) "2)另一方面，乘积（2 ）在a 11 M 11中的符号就是（1 ）在M 11中的符号。乘积（1）的元素M 11 的第 1， 2，n-(j2 1)(jn 1)-1 ) 。既然位在D的第2 , 3，n行与第j2 , j3，j n列，因此它位在1行与j2-1，j3-1，j n-1列，所以（1 ）在M11中的符号应该是 显然，貝（j 2jn ） = J

19、i（j2-1 ）（ jn-1 ）。这样，乘积这（2）在a11 M 11中的符号与 D 中的符号一致。所以D= a 11M 11现在我们来看一般的情形。设a11a1, j1a1 ja1, j 1a1n00a1j00D= an1an, j1anjan, j 1ann我们变动行列式 D的行列，使aij位于第一行与第一列，并且保持a ij的余子式不变。为了达到这一目的，我们把 D的第I行依次与第1-1，1-2，2，1行变换，这样，一共经 过了 I-1次交换两行步骤，我们就把D的第I行换到第一行的位置。然后在把第j列依次与卜次交换两列的步骤，a ij就被换到第一行与第一列的aija1 j0.an.ai

20、1,jai 1,1.ai 1,jai 1,1.D 1 =anjan1.1，j-2，2，1列交换，一共经过 j-1 位置上，这时，D变为下面形式的行列式：00 .0a1,j 1a1,j 1.a1nai 1, j 1ai 1,j 1.ai 1 ,nai1, j 1ai 1,j 1.ai 1,ran,j 1an,j 1.ann.由命题3.3.3,交换行列式的两行或两列D1是由D经过（i-1）+（j-1）次换行换列的步骤而得到的行列式改变符号.因此D=（1）i j D1a在D1中，ij位在第一行与第一列，并且第一行的其余元素都是零；由1）,a11a1,j 1a1,j 1a1 nai 1,1ai1,j1

21、ai1,j1ai1,j1ai1,j1ai 1,nai 1,nD=aija n1因此ai 1,1an,j 1 an,j 1annaij MjD= ( 1)i j D1= ( 1)i j aij Mj = aij( 1)i j M j =aj Aij这样，定理得到证明.定理342 行列式D等于它任意一行(列)的所有元素与它们的对应代数余子式的乘积的 和.换句话说，行列式有依行或依列的展开式：在证明这设定理这前,D= ai1Ai1ai2 Ai2aij A1 ja2 j A2jD=,我们先注意以下事实:a Am in (1=1,2，n),apj Anjj j(j=1,2，n)。(3 )(4)Di是两个

22、N阶行列式，在这两个行列式中除去第aiiD=也就是说，把aii00ai2ai2ai nannain等于个行列式的和：aiiai2ainaiiai2ainaii000ai20anian2ann+anian2ann的第行的每一元素写成项的和.根据命题DIN3.3.9,DD=an2a niaiiai2ainaiiai2ainaiiai2ainbibi2binDi =anian2annD2 =anian2annI行外，其余的相应行都不得相同。那么,an的第I行的对应元素有相同的代数余子式。事实上，ij的子式是划去 D1的第I行第J列后所得的N-1阶行列式。由于 D1与D2只有第I行不同，所以划去这两个

23、行列式的第I行和第Ja“ b列，我们得到同一的行列式。因此ij与ij的子式相同，而它们的代数余子式也相同显然对列来说，也有同样的事实。现在我们来证明定理3.4.2.我们只对行来证明，换句话说，只证明公式(3).公式的证明是完全类似的.先把行列式D写成以下形式：anai2ainainan1an2ann,除了第I行外,其余的行都不得与 的相应行相同。因此，每一行列式的第 余子式相同。这样，由定理D ai1 A1 以下定理在某种意义下和定理定理3.4.3行列式在这N个行列式的每一个中341 ，Di行的元素代数余子式与d的第i行的对应元素的代数ain Ain平行。a11a12a1 nai1ai2ain

24、a j 1aj2ajnan1an2annai 2 Ai 23.4.2的某一行（列）的元素与另外一行（列） 换句话说：的对应元素的代数余子式的乘积的和等于零。ai1Aj1ai2 Aj2ain Ajn 0 (i j),aisAlta2s A2tansAnt0 (S t).（5）（6）证 我们只证明等式（5 ）。看行列式a (i)ajn (j)aiiai2ainai1 ai2Da ji aj2anian2a nnD1与D仅有第j行不同，因此D1Di的第i行与第j行完全相同，所以 D10。另一方面,的第j行的元素的代数余子式与D的第j行的对应元素的代数余子式相同。把D1依第j行展开，得D1ai1Aj1

25、ai2 Aj2ain Ajn因而ai1Aj1ai2Aj2ain Ajn0例4计算四阶行列式在这个行列式里, 四列上，得第三行已有一个元素是零。由第一列减去第三列的二倍,再把第三列加到第根据定理3.4.111(1)311把所得三阶行列式的第一行加到第二行,(1)140.所以D=40。例5计算阶行列式按第一列展开,x100010000x100x10000x00n 11an0x00000x100x1an 1an 2an 3a2xa112得nnna2a11阶行列式和ananan 31 ；第二个n有相同的形式，把它记作n x这里的第一个1n1。所以1阶行列式等于这个式子对于任何n(n 12)an .都成

26、立。因此有nX n 1an但。所以6计算行列式Dna12 a1a22 a2X(x n 2an 1) an2x n 2 an 1x ana2xn 2an 1x an .an2 an2n 1a12n 1an这个行列式叫做一个阶范得蒙Vanderm onde)行列式。1011a3a1a2a1Dn0a2(a?aja3(a3aj0na22(a2ajn 2/a3(a3aj根据定理3.4.1由最后一行开始，每一行减去它的相邻的前一行乘以a?aa1，得1an a1an (an a1)an (ana1 )Dna2 (a2a1 )a3a3(a3aajanan (ana1a)a2 (a2 a1)na32(a3aja

27、： 2 (anaj提出每一列的公因子后,Dn2 aj(a3aj(anaja22a2a3an2 an最后的因子是一个 nDn同样得n 2 n 2a2a3nan1阶的范得蒙行列式，我们用(a2 a1 )(a3 aj (an aJDn1Dn 1代表它:Dn 1 (a3 a2)(a4 a?) (a. a2)Dn 2此处是一个阶的范得蒙行列式。如此继续下去，最后得Dn (a2 aj(a3 aj (a. aj?(a3 a?)(a. a?)(a n a n 1 )3.5克莱姆规则教学目的：1.理解克莱姆法则的条件，及应用范围。2 应用克莱姆法则解线性方程组。 教学内容：设给定了一个含有 n个未知量n个方程的

28、线性方程组a 11 x 1 +a 12 x 2 +a 1n x n =ba 21 x 1+a 22 x 2 +a 2n x n =ba n1 x 1 +a n2 x 2 +a利用方程组的系数可以构成一个nnXn =bn阶行列式ai1ai2ai na21a22a2n(1)an1an2ann这个行列式叫做方程组（1 ）系数的行列式定理3.5.1（克莱姆（Cramer）规则）式D 0时,有且仅有一个解_ D1x 1= D此处D j是把行列式 D行列式一个含有n个未知量n个方程的线性方程组当它的行列_ D2，x 2= D的第j列的元素换以方程组的常数项b1, b2 ,Dn"I(2)b n .

29、而得到的n阶证n=1乘方程组（.设n>1.令j是整数1,2, ,n中的任意一个.分别以A 1j ,A 2j , A nj1 ）的第一，第二，第 n个方程然后相加，得（a 11 A 1j + a 21 A 2j + + a n1 A nj）x 1时是明显的(a 1j A 1j +a 2 j A 2j + + a nj A nj)(a1n A 1j + a 2n A 2 j + + a nn A nj x由定理3.4.2和3.4.3, x而等式右端刚好是=b 1 A 1j + b 2 A 2j + b n A nj j的系数等于n阶行列式D 而 x i (ij）的系数都是零;因此等式左端等于D x j ,ana21an1b1b2bna1na2na nn这样，我们得到D x j = D j .令j=1,2,，n我们得到方程组D x 1 =D 1, D x 2 =D 2，D x n =D n .（