波的相干叠加

1、光学是严格的近似理论？！难道是好莱坞电影True Liesor Eye Wide Closed？严格：其理论有严格的数学逻辑，自成体系，而且都经过实验的检验。近似：几何光学，有近轴近似；波动光学，也有相应的近轴近似和远场近似。为什么要近似？难道精确的理论不好吗？其一、近似是可行的。物理学是实验科学，被实验检验为正确的结论，就是好的。其二、物理学是实用的。近似可以减少大量不必要的工作。其三、有时理论上的精确在实验上是无法实现的。更深层次的思考（也许是错的！？）光具有波粒二象性。但其波动性不如波长更长的电磁波，而粒子性又不及波长更短的X-ray、电子等，所以无论从哪一方入手，都难以对其特性进行精确

2、的测量。具有波粒二象性的体系本身就具有不确定性。即一对共轭的物理量是无法同时精确测量的。对于光，在宏观仪器前仍具有微观特性，但在微观仪器处又表现出宏观特性，所以无论从微观还是宏观，都难以进行不受限制的精确测量。第三章 波的相干叠加第一部分、波的叠加原理处理分立波列的叠加第二部分、惠更斯菲涅耳原理处理连续分布的次波中心发出次波的叠加3.1 波的叠加原理 两列波在空间相遇一内容一内容 1波的独立传播定律从不同振源发出的波在空间相遇时，如振动不十分强，各个波将保持各自的特性不变，继续传播，相互之间没有影响。2波的叠加原理几列波在相遇点的合振动是各个波独自在该点振动的矢量叠加（矢量和）。成立的条件传播

3、介质为线性介质。振动不十分强。在振动很强烈时，线性介质会变为非线性的。注意要点：不是强度的叠加，也不是振幅的简单相加，而是振动矢量（瞬时值）的叠加。二叠加方法 同频率、同振动方向的单色光。 1代数法（瞬时值法） )cos(111tA)cos(222tA21)cos(2122122212AAAAA)coscos/()sinsin(22112211AAAAtg)cos(tA合振动2复数法 111ieAU 22ieU2121iieAeA振幅和位相的表达式与代数方法相同21UUUiAe3振幅矢量法 在复空间中 ，如图所示 21UUUU1U2U11A22AA连续多个振幅矢量的叠加122334各个矢量按次

4、序首尾相接，夹角为相应的位相差三叠加的强度 光的频率是1014 Hz，其变化周期比仪器的响应时间小得多光强的测量值只能是一定时间内的平均值I0212221cos12dtAAAA12两列波在空间P点的位相差021dtAdtAAAA012212221)cos(21在观察时间内不是定值，而是随时间改变，是时间的随机函数，则有 )(12t0cos0dt212221IIAAI是两列光的强度简单相加，没有干涉现象 。或者说它们是不相干的在观察时间内不随时间改变，则有 coscos10dt2121221cos2IIAAAAIcos221AA被称为干涉项 即两列波在空间不同的地点有不同的位相差，叠加后有不同的

5、强度，出现干涉现象。只与空间位置有关，即不同的空间点具有不同的位相差，因而有不同的干涉项的数值。j21cos2122212AAAAI221)(AA 21212IIII21II 干涉相长 ) 12(j1cos2122212AAAAI221)(AA 21212IIII21II 干涉相消两列波在空间相遇，使得光的能量重新分布，称为干涉现象。能够产生干涉的光，称为相干光 四相干条件 （1）、稳定（2）、相同 （3）、存在相互平行的振动分量。 212122212|21III总光强是两列波的光强之和，无干涉。两列波的振动方向相互垂直21按矢量叠加数量关系光强是振幅的平方如两振动不平行，可将其中一个正交分解

6、为和另一个分别平行、垂直的分量，再进行叠加。其中垂直的分量作为背底，不参与干涉。 21x2y221xxyyee221)(cos2212221yyAAAAIcos2Asin2Acoscos22121AAII22xA五不同频率单色波的叠加 振动方向相同、传播方向相同，频率不同的两列波 1)cos(10kztA2)cos(220zktA222)()(cos2)()(cos2212121210zkktzkktA)cos()cos(20zktzktAmm)cos()cos(20zktzktAmm形成光学拍，拍频为m ，强度分布随时间和空间变化。结论：1、不同频率单色光叠加形成光学拍；2、不同频率的定态光

7、波叠加形成非定态光。 )(2cos1 2)(cos420220zktAzktAImmmm光强随时间变化，没有稳定的光强分布。3.2 两列单色波的干涉花样 一两相干个点光源的干涉一两相干个点光源的干涉发出球面波，在场点P相遇。 )2cos()cos(01111011111trnAtrkA)2cos()cos(02222022222trnAtrkA1S2S1r2r),(zyxP可设初位相均为零， 位相差 )(21122rnrn1122rnrn)(212rr jrr122) 12(12jrr光程差 在真空中 干涉相长 干涉相消 j=0，1，2，3，4， ，干涉级数交错的亮条纹和暗条纹在空间形成一系列

8、双叶旋转双曲面。在平面接收屏上为一组双曲线，明暗交错分布。干涉条纹为非定域的，空间各处均可见到。 1S2S杨氏双孔干涉 轴外物点和场点都满足近轴条件两点光源间距为d，可以求得发出的光波在屏上的复振幅1S2S1r2r),(yxPD)2exp(2)2/(exp),(2221xDikdDyxdDikDAyxU)2exp(2)2/(exp),(2222xDikdDyxdDikDAyxU),(),(),(21yxUyxUyxU)2exp()2exp(2)2/(exp222xDikdxDikdDyxdDikDA)2cos(2)2/(exp2222xDkdDyxdDikDA合成的复振幅为 )2(cos4)2

9、(cos4)2(cos2202222xDkdIxDkdDAxDkdDAI强度分布为 20)(DAI 从一个孔中出射的光波在屏中心的强度 是一系列等间隔的平行直条纹 )2(cos420 xDkdII干涉相长（亮条纹）jxDkd2dDjkdDjx2干涉相消（暗条纹）2) 12(2jxDkddDjkdDjx21222) 12(dDx 相邻亮（暗）条纹间隔XYXndDjkdDjx2ndDx相邻亮（暗）条纹间隔如光源和接收屏之间充满介质，则条纹间距为 三干涉条纹的反衬度（可见度） 反衬度的定义：在接收屏上一选定的区域中，取光强最大值和最小值，有mMmMIIII221221)(,)(AAIAAImM当A1

10、=A2时，=1，反衬度最大当A1A2时，即A1、A2相差悬殊时，=0，反衬度最小2221212AAAA22121)(12AAAA四两束平行光的干涉 两列同频率单色光，振幅分别为A1，A2；初位相为10，20 ，方向余弦角为（1 ， 1 ， 1） ，（2 ， 2 ， 2） 研究在Z=0的波前上的位相 ZXOY101111)0coscos(cos),(yxkyx202222)0coscos(cos),(yxkyx)()cos(cos)cos(cos),(10201211ykxkyxcos2),(212221AAAAyxIZ=0)()cos(cos)cos(cos),(10201211ykxkyx)

11、 12(2jj)()cos(cos)cos(cos),(10201211ykxkyx) 12(2jj亮、暗条纹都是等间隔的平行直线，形成平行直线族，斜率为 1212coscoscoscos12121212coscos)cos(cos2coscos)cos(cos2kykxyfxfyx11条纹间隔 或条纹的空间频率xyXY3.2 相干光的获得 一原子发光的特点一原子发光的特点原子跃迁发光。光源中大量的原子，随机发光。不同原子发出的光波是不相干的。同一原子在不同时刻所发出的光波也是不相干的。普通光源所发的光是不相干的。二相干光的获得 得到相干光的唯一方法，是设法将一列光波分为几部分，这几部分光波来

12、自同一列光波，是相干的。这就是干涉的物理本质，是一列光波自己和自己的干涉，也只有自己和自己之间才有可能发生干涉。干涉的物理过程Ui，时刻t光源中第i个原子发出的波列Ui被分为相干的两部分Ui叠加形成的干涉强度分布为Ii不同波列是不相干的，相互间按强度相加 所有波列形成的干涉强度为NiiiiiiNiiAAAAII12122211cos2杨氏干涉光源发出的任一列光波，经过双缝或双孔，分成相干的两列，在空间相遇，产生干涉。光源发出的不同光波波列是不相干的，各自干涉后，相互之间只能进行强度叠加。上述物理过程为：第一步是同一列波的相干叠加；第二步是不同波列间的强度叠加（非相干）。干涉的特点干涉是一列一列

13、分立的光波之间的相干叠加干涉是一列光波自己和自己的干涉干涉的结果，使得光的能量在空间重新分布，形成一系列明暗交错的干涉条纹干涉之后的光波场仍然是定态波场下一节3.3惠更斯菲涅耳原理 一光的衍射现象 波绕过障碍物继续传播，也称绕射 。二次波 光波是振动的传播，波在空间各处都引起振动。波场中任一点，即波前上的任一点，都可视为新的振动中心。这些振动中心发出的光波，称为次波。 次波又可以产生新的振动中心，继续发出次波，使得光波不断向前传播。新的波面即是这些振动中心发出的各个次波波面的包络面。用次波的模型可以很容易解释光的衍射现象。波前上的两个点，即使是邻近的，发出的次波也是不同的。严格地说，是没有“光

14、线”或“光束”之类的概念的。三次波的叠加-惠更斯菲涅耳原理 1次波的相干叠加 在任一光源S周围作一封闭曲面，S在场点P引起的振动就是上所有点发出的次波在P点引起的振动的矢量和。波前上任一个次波中心Q，及Q点周围一面积元d，可以先求出该面积元发出的球面次波在场点P处引起的复振幅dU(P) 0nPQdrR)(PUd)()(0QUPUdrePUdikr)( dPUd)(),()(0FPUd瞳函数 球面波 次波中心面元面积 倾斜因子 dreQUKFPUdikr)(),()(00将波前上所有次波中心发出的次波在P点的振动叠加，即得到该波前发出的波传到P点时的振动，即该波前发出的次波在P点引起的振动。这就

15、是惠更斯惠更斯菲涅耳原理菲涅耳原理。 2菲涅耳基尔霍夫衍射积分公式 P点的复振幅就是所有次波中心发出的次波的相加。由于波前是一连续分布的曲面，求和即为曲面积分 dreFQUKPUikr),()()(002/ieiK)cos(cos21),(00Fdxdyzzyyxxezzyyxxi222)()()(2)()()(222R与法线n间的夹角 0菲涅耳菲涅耳基尔霍夫衍射积分公式基尔霍夫衍射积分公式 ),(),(),(00FyxUKyxUr与法线n之间的夹角 0nPQdrR)(PUd012SP1四衍射的分类 根据衍射障碍物到光源和接收屏的距离分类。距离有限的，或至少一个是有限的，为(Fresnel)菲

16、涅耳衍射；距离无限的，即平行光入射、出射，为夫琅和费(Fraunhofer)衍射。菲涅耳衍射夫琅和费衍射3.4菲涅耳衍射（圆孔、圆屏） 一衍射现象一衍射现象圆孔衍射：接收屏上可见同心圆环，接收屏沿轴向移动，圆环中心明暗交替变化。圆屏衍射：接收屏上可见同心圆环，接收屏沿轴向移动，圆环中心永远是亮点。 二半波带法分析菲涅耳圆孔衍射 设法求解菲涅耳基尔霍夫衍射积分公式。将积分近似化为求和。将波前（球面）划分为一系列的同心圆环带，每一带的中心到P点的距离依次相差半个波长。这些圆环带称为半波带。b2b23bb2b25b3bRPR0r20r0r230r20r半波带的次波在球面上，各次波波源初位相相等。相邻

17、半波带发出的次波，到达P点时，光程差为/2，位相差为，位相相反，振动方向相反，相互抵消。计算各个半波带的面积Sk。)cos1(222RRhSdRdSsin22)(2)(cos02202rRRrrRRkkkdrrRRrd)(sin02/kdrkSdS 0rRRrSkkRdRM2/drkrbr 01krhkDSP0B球冠面积SMP中第k个半波带的面积dreFQUKPUikr),()()(0nkkkikrkrSeFQUK1)()()(0)(kikkkeFrSUKikkkkierSeUK)cos1 (210nkkkA112)cos1 () 1(菲涅耳基尔霍夫衍射积分公式nkkkAPU112)cos1

18、() 1()(kkirSeUKA01) 1)(cos1 (kkkAU为第k个半波带发出的次波在P点的复振幅 可见，相邻波带次波的位相相反，且k越大的波带，振幅越小 。)cos1 (kkAA为第k个半波带发出的次波在P点的振幅nkkU111) 1(knkkA)2121()2121(21) 1()(543321111AAAAAAAAPUnkkk) 1(2111nnAA解释：波带数n为奇数，亮点；n为偶数，暗点 圆屏，前n个半波带被遮住n0nA121)(APA1121)(nknAAPA自由传播始终亮点总是亮点半波带方程 半波带奇偶性的数量关系RMkrhkDS0BRbr 0P2022)(hrrkk20

19、2022hhrrrkhrrk00222222)(hRhhRRkRh22020202)2(rkrrrk020)2(rkkkr)(200rRkrhhrrk002Rh2k的数值及奇偶性由r0决定。2k)11(02RrkRh2)(2200rRkrR002RrrRkk半波带方程00rRRkr三一般情形下的波带 将每一个半波带划分为两个，则相邻波带发出的次波在P点位相差为/2，即第一个半波带中的第一个波带和第二个波带的位相分别为/4和3/4；再将每一个进一步细分，第一个半波带中的四个波带的位相差为/4，位相依此为/16，5/16，9/16，13/16，。可以将任何一个半波带进一步细分为n个，得到更多的波带

20、，相邻波带间光程差为/2n，位相差为/n。n很大时，位相差很小，用振幅矢量法，原来的每个半波带的波矢变为由n个小波矢组成的半圆。半波带的进一步划分如果最后一个不是整数个半波带，也可以得到合振动。不是整数个半波带四波带片 用半波带将波面分割，然后只让其中的奇数（或偶数）半波带透光，即制成波带片。透过波带片的光，在场点P处光程差依次为，位相相同，振动方向也相同，合振动大大增强，衍射后的光强大大增强。 相当于将光波汇聚到P点。一般情况下，可以认为前面几个半波带的倾斜因子相差不大，即满足近轴条件，所以他们发出的次波的振幅近似相等。如果波带片共有20个半波带，则在P点的复振幅为11953110)(AAA

21、AAPU21100)(API1021)(APU21041)(API相差400倍。可见波带片具有使光汇聚的作用 光强自由传播时波带片方程将半波带方程写成如下形式 同透镜的公式 任一波带片，都只适用于一个波长。焦距是固定的。对平行光，波带片为平面的。但除主焦点之外，还有许多次焦点。 2011kkrRkfk2021rkk在距离r0处看来，半径为k的波带是第k个半波带。 f1)11(02Rrkk021rkk12345fr 0021rkk20fr 123456789102原来的每一个半波带可以分为2个，此次波相互抵消，是暗点021rkk30fr 1234567892原来的每一个半波带分为3个，其中2个的

22、次波抵消，还剩余1个，为次亮点，即次焦点。当波带片不变时，r0改变，会引起k的改变，即可划分的半波带数目改变。r0减小，到r0/2时，k=2k，暗点；r0减小，到r0/3时，k=3k，亮点，次焦点；r0减小，到r0/4时，k=4k，暗点 12,5,3mffff一系列次焦点 )11(02Rrk021rk3.5 夫琅和费单缝衍射 衍射装置 平行光入射，用凸透镜成象于像方焦平面。相当于各点发出的次波汇聚于无穷远处。即是平行光的相干叠加。 衍射强度的分布一、用振幅矢量方法求解沿方向的次波，汇聚到P点，从狭缝上下端发出的次波光程差和位相差分别为sinaL sinka若将狭缝均分为N个平行部分，相邻两部分

23、的光程差和位相差分别为NasinNkasinaPaP00对于沿任意方向的入射光在积分平面前的光程差0sinaL 总光程差为)sin(sin0aL0各个次波的波矢相互平行，合矢量的振幅为A0N0各个次波的波矢振幅相等，相邻波矢间夹角为，合矢量的振幅为AA为长度为A0的一段圆弧的弦。圆心角为ABRR)2/sin(2 RA22sin0 AA0AR0AA2sin2sinsin0kakaAAuuAsin0A0为次波在焦点处合振动的振幅sin21kau sin21kau sinsinsin0aaA用积分方法 P点光来自同一方向，倾斜因子相同。不同方向的光，满足近轴条件，倾斜因子为常数1。 2/a2/ax0

24、00r0rBAfr2/2/00)()(aaikrikrdxreKdreQUKPU)(00QUKK sinxr2/2/sin0001)(aaikxikrdxeerKPUsin11sin2sin2000aikaikikreeikerKsin)sin2sin(21000ikkaierKikruuUsin0sin21)sin21sin()(000kakareQUaKikrsin00 xrrrr1),(0F000)(reQUKikrQ点发出的次波在焦点所引起的复振幅 0000)(reQUaKUikr 通过整个狭缝的次波在焦点上复振幅 sinsin21akauuuUsin0为单缝（单元）衍射因子 *000

25、UUI 220sin)(uuIPI强度分布 sin21)sin21sin()()(000kakareQUaKPUikruuUsin0象方焦点处的光强狭缝上下移动，条纹不变j=0j=1j=0j=1透镜上下移动，条纹相应移动相互平行的狭缝，衍射条纹完全重合0入射光与光轴不平行，光程差包括两部分)sin(sin0 x)sin(sin0au衍射角都从透镜的光心算起衍射花样的特点 1极值点 0)sin(uu0sincos2uuuuutgu ,47.3,46.2,43.1sinaaa,)1(,2,1sinajajaa极大值极小值jausin0j极值点2亮条纹角宽度（相邻暗条纹之间的角距离a20零级主极大

26、其它高级次条纹 a衍射的反比关系 角距离0应用 Babinet原理adreFQUKPUikra),()()(00bdreFQUKPUikrb),()()(00)()(PUPUbaadreFQUKikr),()(00bikrdreFQU),()(00badreFQUKikr),()(00)(0PU相当于自由传播 平行光入射到互补屏时，按几何光学原理成象，除象点之外，处处振动为零。 )()(PUPUba)()(PIPIba 细丝与狭缝的衍射花样，除零级中央主极大外，处处相同。激光测径仪的原理 互补屏除零级中央主极大外，处处相同 3.6 夫琅和费矩孔衍射 同单缝相比，矩孔在两个相互垂直的方向上对光的

27、传播进行限制两个方向的参数是相互独立的最后的结果应该是两个方向的单元衍射因子的乘积)()(),(yUxUyxU),(yxQ物点),(yxP场点r0rr0rrQOOxyzxyO)coscoscos(xyxeeerr)sinsinsin(321xyxeeerab00rrOQr)(yxeyexrrr0)sinsin(21yx)sinsin(210yxr)sinsinsin(321xyxeeedxdyreFyxUKPUikr),(),()(00满足近轴条件，倾斜因子为1 dxdyreUKPUyxikikr0)sinsin(0210)0 , 0()(2/2/sin2/2/sin00210)0 , 0()

28、(bbikyaaikxikrdyedxereUKPU221100sinsin)0 , 0(0uuuureabUKikr11sinau 22sinbu 2222110)sin()sin()(uuuuIPI衍射强度分布 2000|)0 , 0(|0reabUKIikr矩孔发出的光波在F点产生的光强 3.5夫琅和费圆孔衍射 波长为平行光，通过半径为R的圆孔，汇聚在透镜的像方焦平面上。r0r),(QsincosrzROABxy1r0rQAB平面内在xoz0r轴xQA cosOA OAsinrz0rOAB平面xozQAB dreFUKPUikikrsincos000),(),()(ddereUKikik

29、rsincos000)0 , 0(20000)sincos2cos()0 , 0(0ddreUKRikrsin/sin2kRRm20000)coscos()0 , 0()(0dRmdreUKPURikrmmJreRUKUikr)(2)0 , 0()(10200J1（m）：一阶贝塞尔函数 02!1)2(!)!1() 1()(2kkkmkkmmJ! 3)2(41! 2)2(31)2(211224232mmmm210)(2)(mmJII0Aivry斑二衍射花样的特点 同心圆环，明暗交错，不等距。 中央主极大（零级斑）：Aivry斑，占总强度的，半角宽度 0 圆孔直径为，透镜焦距f，则Aivry斑半径

30、l DR22. 161. 00Dtgfl22. 10三、望远镜的分辨本领 平行光经透镜成象，由于衍射效应，总有一Aivry斑，而不是一个几何点。两束光，则有两个Aivry斑。两个物所成的Aivry斑如靠得很近，可能无法分开。采用Rayleigh判据：两光斑的角距离恰等于一个光斑的半角宽度时，为可以分辨的最小极限。 下一页DDm22. 100Rayleigh(瑞利)判据001n2n四干涉与衍射的区别和联系 干涉是分立光束之间的相干叠加，这些光束是有限条，或虽然有无限多条，但是光束之间是离散的、不连续的、可数的。直接应用波的叠加原理。衍射是连续分布的无限多个点光源（次波中心）发出的光波的相干叠加。要应用惠更斯菲涅耳原理，或菲涅耳基尔霍夫衍射积分公式。无论干涉或衍射，都是人为的结果。无论是衍射还是干涉，光波在相遇点都是振动的叠加，都遵循波的叠加原理。干涉时，光的能量在空间均匀分布，各个亮条纹有相差不大的能量；衍射时，光的能量主要集中在一个特殊的衍射级上，更接近于几何成象的情况。几何光学与衍射的极限光线是几何光学中光的模型。从惠更斯的次波传播的观点出发，任何形式的光线都是不存在的。因为任何形式的波