2019-2020学年人教A版高中数学选修2-2培优阶段质量检测-Word版含解析

1、2019-2020学年数学选修2-2模块综合检测(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1复数(i为虚数单位)的虚部是()A Bi Ci D解析：选D因为i，所以复数的虚部为，故选D.2已知复数z(2i)(a2i3)在复平面内对应的点在第四象限，则实数a的取值范围是()A(，1) B(4，)C(1,4) D(4，1)解析：选C复数z(2i)(a2i3)(2i)(a2i)2a2(a4)i，其在复平面内对应的点(2a2，a4)在第四象限，则2a2>0，且a4<0，解得1<a<4，

2、则实数a的取值范围是(1,4)故选C.3用反证法证明“若abc<3，则a，b，c中至少有一个小于1”，应()A假设a，b，c至少有一个大于1B假设a，b，c都大于1C假设a，b，c至少有两个大于1D假设a，b，c都不小于1解析：选D假设a，b，c中至少有一个小于1不成立，即a，b，c都不小于1，故选D.4设axdx，b1xdx，cx3dx，则a、b、c的大小关系是()Aa>b>c Bb>a>cCa>c>b Db>c>a解析：选A由题意可得axdxx；b1xdx11；cx3dx.综上，a>b>c.5由y2x5是一次函数；y2x5的

3、图象是一条直线；一次函数的图象是一条直线写一个“三段论”形式的正确推理，则作为大前提、小前提和结论的分别是()A BC D解析：选B该三段论应为：一次函数的图象是一条直线(大前提)，y2x5是一次函数(小前提)，y2x5的图象是一条直线(结论)6已知点列：P1(1,1)，P2(1,2)，P3(2,1)，P4(1,3)，P5(2,2)，P6(3,1)，P7(1,4)，P8(2,3)，P9(3,2)，P10(4,1)，P11(1,5)，P12(2,4)，则P60的坐标为()A(3,8) B(4,7)C(4,8) D(5,7)解析：选D横纵坐标之和为2的有1个，横纵坐标之和为3的有2个，横纵坐标之和

4、为4的有3个，横纵坐标之和为5的有4个因此横纵坐标之和为2,3，11的点共有1231055个，横纵坐标之和为12的有11个因此P60为横纵坐标之和为12的第5个点，即为(5,7)，故选D.7.函数f(x)ax3bx2cxd的图象如图，则函数yax2bx的单调递增区间是()A(，2 B.C2,3 D.解析：选D由题图可知d0.不妨取a1，f(x)x3bx2cx，f(x)3x22bxc.由图可知f(2)0，f(3)0，124bc0,276bc0，b，c18.yx2x6，y2x. 当x时，y0，yx2x6的单调递增区间为.故选D.8如图，在平面直角坐标系xOy中，圆x2y2r2(r>0)内切于

5、正方形ABCD，任取圆上一点P，若mn (m，nR)，则是m2，n2的等差中项现有一椭圆1(a>b>0)内切于矩形ABCD，任取椭圆上一点P，若mn (m，nR)，则m2，n2的等差中项为()A. B.C. D1解析：选A图，设P(x，y)，由1知A(a，b)，B(a，b)，由mn可得代入1可得(mn)2(mn)21，即m2n2，所以，即m2，n2的等差中项为.9已知函数f(x)x3ax在(1,1)上单调递减，则实数a的取值范围为()A(1，) B3，)C(，1 D(，3解析：选Bf(x)x3ax，f(x)3x2a.又f(x)在(1,1)上单调递减，3x2a0在(1,1)上恒成立，

6、a3，故选B.10设函数f(x)在R上可导，f(x)x2f(2)3x，则f(1)与f(1)的大小关系是()Af(1)f(1) Bf(1)>f(1)Cf(1)<f(1) D不确定解析：选B因为f(x)x2f(2)3x，所以f(x)2xf(2)3，则f(2)4f(2)3，解得f(2)1，所以f(x)x23x，所以f(1)2，f(1)4，故f(1)>f(1). 11若不等式2xln xx2ax3对x(0，)恒成立，则实数a的取值范围是()A(，0) B(，4C(0，) D4，)解析：选B由2xln xx2ax3，得a2ln xx，设h(x)2ln xx(x0)，则h(x).当x(0

7、,1)时，h(x)0，函数h(x)单调递减；当x(1，)时，h(x)0，函数h(x)单调递增，所以h(x)minh(1)4.所以ah(x)min4.故a的取值范围是(，412定义在R上的偶函数f(x)的导函数为f(x)，若对任意的实数x，都有2f(x)xf(x)<2恒成立，则使x2f(x)f(1)<x21成立的实数x的取值范围为()Ax|x±1 B(，1)(1，)C(1,1) D(1,0)(0,1)解析：选B构造函数g(x)x2f(x)x2，xR，则g(x)2xf(x)x2f(x)2xx2f(x)xf(x)2由题意得2f(x)xf(x)2<0恒成立，故当x<0

8、时，g(x)>0，函数g(x)单调递增；当x>0时，g(x)<0，函数g(x)单调递减因为x2f(x)f(1)<x21，所以x2f(x)x2<f(1)1，即g(x)<g(1)，当x>0时，解得x>1; 当x<0时，因为f(x)是偶函数，所以g(x)是偶函数，同理解得x<1.故实数x的取值范围为(，1)(1，)故选B.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)13已知复数z(1i)(12i)，其中i是虚数单位，则z的模是_解析：z(1i)(12i)12ii2i23i1，|z|.答案：14已知f(x)，则曲

9、线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程是_解析：f(x)的导数为f(x)，在点(1，f(1)处的切线的斜率为f(1)0，切点为，所以在点(1，f(1)处的切线方程为y.答案：y15某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价为p元，销量Q(单位：件)与零售价p(单位：元)有如下关系：Q8 300170pp2，则该商品零售价定为_元时利润最大，利润的最大值为_元解析：设商场销售该商品所获利润为y元，则y(p20)(8 300170pp2)p3150p211 700p166 000(p20)，则y3p2300p11 700.令y0得p2100p3 9000，解得p30或p130(舍

10、去)则p，y，y变化关系如下表：p(20,30)30(30，)y0y极大值故当p30时，y取极大值为23 000元又yp3150p211 700p166 000在20，)上只有一个极值，故也是最值所以该商品零售价定为每件30元，所获利润最大为23 000元答案：3023 00016某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的产品，其中第1堆只有一层，就一个球；第2、3、4、堆最底层(第一层)分别按下图所示方式固定摆放，其余堆类推，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n堆第n层就放一个乒乓球，以f(n)表示第n堆的乒乓球总数，则f(3)_，f(n)_(用含n的式子表示)解析：

11、设第n堆第一层乒乓球数为g(n)，则g(1)1，g(2)12，g(3)123，则g(n)123n.所以f(3)g(1)g(2)g(3)1(12)(123)10.f(n)g(1)g(2)g(3)g(n)(121)(222)(n2n)(1222n2)(123n).答案：10三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题10分)(1)计算2；(2)复数zxyi(x，yR)满足z2i3i，求复数z.解：(1)原式iii.(2)(xyi)2i(xyi)3i，即(x2y)(2xy)i3i，即解得zi.18(本小题12分)设a，b，c均为大于1的正数，且a

12、b10，求证：logaclogbc4lg c.证明：法一：ab10，lg alg blg ab1，则logaclogbc.a>1，b>1，lg a>0，lg b>0，则lg a·lg b2，4，又c1，lg c0.4lg c即logaclogbc4lg c.法二：要证logaclogbc4lg c，只需证4lg c.又因为c>1，所以lg c>0，故只需证4，即证4.又因为ab10，所以lg alg blg(ab)1，故只需证4.又因为lg a>0，lg b>0，所以0<lg a·lg b22，则4成立所以原不等式成立，

13、即logaclogbc4lg c.19(本小题12分)已知函数f(x)x3axb在y轴上的截距为1，且曲线上一点P处的切线斜率为.(1)求曲线在P点处的切线方程；(2)求函数f(x)的极大值和极小值解：(1)因为函数f(x)x3axb在y轴上的截距为1，所以b1.又yx2a，所以2a，所以a，所以f(x)x3x1，所以y0f1，故点P，所以切线方程为y1，即2x6y60.(2)由(1)可得f(x)x2，令f(x)0，得x±.当x变化时，f(x)，f(x)变化情况如下表：xf(x)00f(x)极大值极小值因此，当x时，函数f(x)有极大值为f1，当x时，函数f(x)有极小值为f1.20

14、(本小题12分)已知函数f(x)x2mln x，h(x)x2xa.(1)当a0时，f(x)h(x)在(1，)上恒成立，求实数m的取值范围；(2)当m2时，若函数k(x)f(x)h(x)在区间(1,3)上恰有两个不同零点，求实数a的取值范围解：(1)由f(x)h(x)，得m在(1，)上恒成立令g(x)，则g(x)，当x(1，e)时，g(x)0；当x(e，)时，g(x)0，所以g(x)在(1，e)上递减，在(e，)上递增故当xe时，g(x)的最小值为g(e)e.所以me.即m的取值范围是(，e(2)由已知可得k(x)x2ln xa.函数k(x)在(1,3)上恰有两个不同零点，相当于函数(x)x2l

15、n x与直线ya有两个不同的交点(x)1，当x(1,2)时，(x)0，(x)递减，当x(2,3)时，(x)0，(x)递增又(1)1，(2)22ln 2，(3)32ln 3，要使直线ya与函数(x)x2ln x有两个交点，则22ln 2a32ln 3.即实数a的取值范围是(22ln 2,32ln 3)21(本小题12分)(2019·全国卷)已知函数f(x)(x1)ln xx1.证明：(1)f(x)存在唯一的极值点；(2)f(x)0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数证明：(1)f(x)的定义域为(0，)，f(x)ln x1ln x.因为yln x在(0，)上单调递增，y在(0，)上单调

16、递减，所以f(x)在(0，)上单调递增又f(1)1<0，f(2)ln 2>0，故存在唯一x0(1,2)，使得f(x0)0.又当x<x0时，f(x)<0，f(x)单调递减；当x>x0时，f(x)>0，f(x)单调递增，所以f(x)存在唯一的极值点(2)由(1)知f(x0)<f(1)2，又f(e2)e23>0，所以f(x)0在(x0，)内存在唯一根x.由>x0>1得<1<x0.又fln10，故是f(x)0在(0，x0)内的唯一根所以f(x)0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数22(本小题12分)两县城A和B相距20 km，现

17、计划在两县城外以AB为直径的半圆弧AB上选择一点C建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，对城A和城B的总影响度为对城A与对城B的影响度之和记C点到城A的距离为x km，建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y.统计调查表明：垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k，当垃圾处理厂建在的中点时，对城A和城B的总影响度为0.065.(1)将y表示成x的函数f(x)；(2)讨论(1)中函数的单调性，并判断上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响最小？若存在，求出该点到城A的距离；若不存在，说明理由解：(1)根据题意ACB90