[直击高考]江苏省高中数学教案 苏教版选修2-2 第一章《导数及其应用》1.3导数在研究函数中的应用[原创首发]

1、13 导数在研究函数中的应用一、学习内容、要求及建议知识、方法要求学习建议利用导数研究函数的单调性和极大(小)值掌握借助于导数这个工具可以很好地判别函数单调性、求单调区间，极值，最值等，通过这些量我们可以从总体上把握函数的图象的变化规律可以通过对一些具体的函数(如常见的三次多项式函数)的研究来加以体会二、预习指导1预习目标(1)了解函数的单调性、函数的极大(小)值、函数的最大(小)值与导数的关系(2)能利用导数的符号法那么来解决函数的单调性问题，求函数的极值、最值等，通过这些量来研究函数的图象的变化规律2预习提纲(1)回忆必修1中有关函数单调性以及函数最值的相关内容(必修1第34页至37页)(

2、2)阅读课本第28页至33页，答复下面的问题 函数的单调性与导数 函数的单调性与导数的符合存在着怎样的关系呢?函数的极值与导数：函数的极大值与极小值是怎样定义的?注： 第一，极值是一个局部概念由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比拟是最大或最小并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小第二，函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个第三，极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值函数的最值最值的概念在必修1的教材中已经给出，请回忆，并指出最值与极值的区别与联系(3)阅读课本例题，思考下面的问题阅读课本第28页至29页上例1

3、、例2和例3，总结求函数单调区间的步骤阅读课本第31页上例1和例2，归纳求可导函数的极值的步骤 思考：当时，能否函数在处取得极值?阅读课本第32页与第33页上例1和例2，归纳利用导数求函数的最值步骤 3典型例题例1 求函数的单调区间解： 令，解得x(，3)3(3，3)3(3，)00极大值极小值由上表可知，函数有两个单调增区间，分别是和；函数的单调减区间是点评： (1)不能说在内函数递增，应写为在和内分别递增(2)因为函数为连续函数，所以说函数有两个单调增区间，分别是和，函数的单调减区间是这样的说法也是对的例2 函数，其中假设在上是增函数，求的取值范围分析： 因为在上是增函数，所以对上恒成立，再

4、求出的取值范围解： 根据题意，由于在上是增函数，所以对上恒成立，即即对上恒成立因为，所以，于是点评： 解答过程中对恒成立，而不是恒成立，主要由于教材没有对闭区间的端点的导数下定义由于函数在区间是连续的，所以在区间上是单调增函数，等价于在区间上是单调增函数对函数的单调性求参数的取值范围是一种常见的题型，常利用导数与函数单调性关系：即“假设函数单调递增，那么；假设函数单调递减，那么来求解，注意此时公式中的等号不能省略，否那么有可能漏解例3 求函数的值域分析： 求函数值域一般可以通过图象观察或利用不等式性质来求解，也可利用函数的单调性求出值域，此题形式结构复杂，可采用求导方法求解解： 函数的定义域由

5、，求得，求导得由得，即， 解得即函数在上是增函数，又此函数在x=2处连续，所以在上是增函数而f(2)= 1，所以函数的值域是点评： 函数y=f(x)在(a，b)上为单调函数，当在上连续时，y=f(x)在上也是单调函数例4 求函数的极大值和极小值分析： 利用求极值的一般方法解： ，令，解得列表：x202000y极小值14极大值2极小值14因此，当x=0时，f(x)有极大值f(0)=2；当x=±2时，f(x)有极小值f(±2)=14例5 函数的极大值为13，求的值分析： 首先求，然后令求出方程根，判别f(x)在何处取得极大值，最后求解： 令，解得列表：x0400y极小值极大值1

6、3所以在x=4处取得极大值，即，解得点评： 解答此题关键是判别f(x)在何处取得极大值例6 设函数在x=1和x=1处有极值，且f(1)=1，求a，b，c的值，并求出相应的极值分析： 此题属于逆向思维，但仍可根据函数极值的步骤来求，但要注意极值点与导数之间的关系：极值点为的根，利用这一关系借助于待定系数法求a，b，c的值解： ，是函数的极值点，那么1，1是方程的根，即有，解得b=0，c=3a又f(1)=1，那么abc=1，所以此时，令，解得列表：x1100f(x)极大值1极小值1所以在x=1处取得极大值1，即；在x=1处取得极小值1，即点评： 此题从逆向思维的角度出发，根据题设结构进行逆向联合，

7、合理地实现了问题的转化，使抽象问题具体化例7 设a为实数，函数(1)求f(x)的极值；(2)当a在什么范围内取值时，曲线y=f(x)与x轴仅有一个交点分析： (1)中的极值含有参数a(2)将函数化为可知x取足够大的正数时，有f(x)>0，x取足够小的负数时，有f(x)<0所以y=f(x)与x轴至少有一个交点要使y=f(x)与x轴仅有一个交点，只需要极大值与极小值同号即可解： (1)，令，解得列表：x100f(x)极大值极小值所以在x=处取得极大值，即；在x=1处取得极小值，即(2)函数由此可知x取足够大的正数时，有f(x)>0，x取足够小的负数时，有f(x)<0所以y=

8、f(x)与x轴至少有一个交点结合f(x)的单调性可知：当f(x)的极大值，即时，它的极小值也小于0，因此曲线y=f(x)与x轴仅有一个交点，它在；当f(x)的极小值，即时，它的极大值也大于0，因此曲线y=f(x)与x轴仅有一个交点，它在上所以当时，曲线y=f(x)与x轴仅有一个交点点评： 此题假设改为“曲线y=f(x)与x轴恰有两个交点或“ 曲线y=f(x)与x轴有三个交点该如何处理?例8 求函数在区间上的最大值和最小值分析： 求出，当时，恒成立，即在区间内函数f(x)无极值点，因此需利用函数的单调性求最值解： 因为在内恒大于0，所以在上是增函数，故当x=1时，；当x=1时，即f(x)的最大值

9、为2，最小值为12例9 求函数在上的最大值和最小值分析： 先求出函数可能的极值点(即的点及个别不可导的点)，然后比拟区间的两端点及所有这些点(这些点的个数往往是不多的)处的函数值，最大(小)者即为所求的最大(小)值解： 令，解得列表：x413400f(x)71极大值10极小值2215所以，函数f(x)在4，4上的最大值为f(1)=10，最小值为f(4)=71例10 求函数的最大值分析： 求出f(x)的定义域为，令，解得x=0，然后讨论f(x)在(1，0)和上的单调性解：函数f(x)的定义域为，令，解得列表：x00f(x)极大值0所以，当且仅当x=0时，函数f(x)取得极大值为f(0)=0，这个

10、极大值就是该函数的最大值，即最大值为0例11 设，的最大值为，最小值为，求常数的值分析： 闭区间上连续，开区间上可导的函数的最大值、最小值问题的解法应该先出极大值、极小值，然后再与端点处的函数值进行比拟，分类讨论确定的值解： 令，解得，当变化时，的变化情况如下表：x10a100f(x)极大值b极小值由表可知，最大值应为或又，故当时，有最大值由，此时由表可知，最小值应为或假设时，有最小值，那么从而，与条件矛盾假设时，有最小值，那么得此时故当时，的最小值为综上所述，点评： 列出表格，由表格观察分析，进行分类讨论，是解决此题的关键，最后的检验不可少，因为满足条件的可能是不存在的例12 ，证明不等式分

11、析： 要证，只需证为此令，只需证明在上是增函数，从而使问题解决证明： 设，由，知，在上单调递增，又，即，且，即点评： 此题是构造函数，利用函数的单调性证明不等式问题，体会导数的作用例13 函数(，实数，为常数)(1)假设()，且函数在上的最小值为0，求的值；(2)假设对于任意的实数，函数在区间上总是减函数，对每个给定的n，求的最大值h(n)分析：问题(1)可以是先用表示出在的最小值，在此过程中需要讨论与1的大小关系，然后根据条件得到关于的方程求解；问题(2)先说明在区间上是减函数，从而有对恒成立解：(1)当时，那么令，得(舍)， 当>1时，10当时， 令，得 当时，0在上恒成立，在上为增

12、函数，当时， 令，得(舍) 综上所述，所求为 (2) 对于任意的实数，在区间上总是减函数，那么对于x(1，3)，0， 在区间上恒成立 设g(x)=，g(x)在区间上恒成立由g(x)二次项系数为正，得 即 亦即 =， 当n6时，m，当n6时，m， 当n6时，h(n)= ，当n6时，h(n)= ， 即 点评： 本例是一道导数与函数、不等式综合问题，具有一定的难度，此题涉及的数学思想有分类讨论、数形结合等4自我检测(1)设是函数的导函数，的图象如下图，那么的图象最有可能的是 (2)设函数在上单调函数，那么实数的取值范围_ _(3)函数为常数)在区间上单调递增，且方程的根都在区间内，那么的取值范围是_

13、(4)判断以下函数的单调性，并求出单调区间 (5)求以下函数的极值 (6)函数处有极小值10，求ab的值(7)函数在区间内既有极大值，又有极小值，那么实数的取值范围是 (8)求函数在区间上的最大值与最小值三、课后稳固练习A组1函数f(x)=x33x21的减区间为 2函数f(x)=2x33x212x3，那么函数f(x)在(2，1)内是 (填“增、“减)函数3函数y=exx1的递减区间是 4函数的单调递增区间为 5假设函数恰有3个单调区间，那么实数a的取值范围是 6假设上是减函数，那么b的取值范围是 7对于R上可导的任意函数f (x)，假设满足，那么f (0)f (2) 2f (1)(请选填“&#

14、163;，“³“<“>中的一个) 8给出以下函数：，其中在处取得极值的函数是 9函数在上的极值点有 个 10函数y=ax3bx2取得极大值和极小值时x的值分别为0和，那么a与b的关系是 11函数在(0，1)内有极小值，那么b的取值范围是 12 是函数的一个极值点，那么函数的单调递减区间为 13函数的导数处取到极大值，那么a的取值范围是 14假设a0，b0，且函数f(x)4x3ax22bx2在x1处有极值，那么ab的最大值等于 15函数的最大值是 ，最小值是 16函数在上的最大值为 17函数的最大值是 18函数，其导函数的图象如图， 那么以下关于的说法正确的选项是 在上为减

15、函数；在处取得最大值；在上为减函数；在处取得最小值19求以下函数的单调区间：(1)； (2)；(3)； (4)20函数的递增区间为(2，3)，求a，b的值21函数在区间上是增函数，求实数的取值范围22函数f(x)与g(x)均为闭区间a，b上的可导函数，且求证：当时，23求以下函数的极值：(1)； (2)；(3)y=2exex24f(x)=ax3bx2cx在时取得极值，且f(1)=1(1)试求常数a、b、c的值；(2)试判断f(1)与f(1)是函数的极大值还是极小值，并说明理由25函数在点处取得极大值5，其导函数的图象经过点(1，0)，(2，0)，如下图求：(1)的值；(2)a，b，c的值26函

16、数，(1)求f(x)的单调递减区间；(2)假设f(x)在区间上的最大值为20，求它在该区间上的最小值B组27假设函数的递减区间为，那么a的取值范围是 28假设不等式对任意实数x都成立，那么实数a的取值范围是 29假设曲线与x轴有两个不同的公共点，那么实数a的值是 30函数有零点，那么a的取值范围是_31f(x)=x3ax2(a6)x1有极大值和极小值，那么a的取值范围为 32设函数f(x)=xsinx在x=x0处取得极值，那么(1x02)(1cos2x0)的值为 33函数的图象与x轴切于(1，0)，那么f(x)的极大值为 34函数在(0，1)内有最小值，那么a的取值范围是 35设直线与函数的图

17、像分别交于点M，N，那么当|MN|到达最小时t的值为 36函数，当x=1时函数f(x)的极值为，那么f(2)= 37讨论函数y=x2sinx在内的单调性38假设函数在区间(1，4)上为减函数，在区间上为增函数，试求实数a的取值范围 39函数是R上的增函数，求实数k的取值范围40f(x)=x3ax2bxc在x=1与时，都取得极值(1)求a，b的值； (2)假设f(1)=，求f(x)的单调区间和极值；41函数f(x)=x33ax23bxc在x=2处有极值，其图象在x=1处的切线平行于直线3xy2=0，求函数的极大值与极小值的差42函数f(x)=x33ax22bx在点x=1处有极小值1，试确定a，b

18、的值，并求出f(x)的单调区间43设函数，其中(1)求f(x)的单调区间； (2)讨论f(x)的极值44a为实数，(1)求导数；(2)假设，求f(x)在上的最大值和最小值；(3)假设f(x)在和上都是递增的，求a的取值范围45求函数的极值和最值，并画出函数的简图46函数f(x)x3ax2bx(a，bR)假设yf(x)图象上的点(1，)处的切线斜率为4，求yf(x)的极大值47对于任意的实数，证明： 48函数f(x)xlnx(1)求f(x)的最小值；(2)讨论关于x的方程f(x)m0(mR)的解的个数C组49函数(1)求曲线在点处的切线方程；(2)当时，求函数的单调区间；(3)当时，假设不等式恒

19、成立，求的取值范围50求函数的单调递减区间51函数(1)求的值域；(2)设，函数。假设对任意的总存在，使，求实数a的取值范围。52函数(1)当时，恒成立，求a的取值范围；(2)讨论的定义域上的单调性；53设函数是定义在R上的奇函数，且函数f(x)的图像在x=1处的切线方程为y=3x2，(1)求a，b，c的值；(2)假设对任意都有成立，求实数k的取值范围；(3)假设对任意都有，求实数m的取值范围54函数f(x)(a1)lnxax21(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)设a2，证明：对任意x1，x2(0，)，|f(x1)f(x2)|4|x1x2|55函数f(x)=(1)假设h(x)=f(x)g(x)存在单调增区间，求a的取值范围；(2)是否存在实数a>0，使得方程在区间内有且只有两个不相等的实数根?假设存在，求出a的取值范围?假设不存在，请说明理由知识点题号注意点求函数的单调区间17， 1922，27，37，38，50假设函数单调递增，那么；假设函数单调递减，那么，注意此时公式中的等号不能省略，否那么