2008年武汉市中考数学压轴题评析

1、2008年武汉市中考数学压轴题评析1试题如图1，抛物线y=ax-3ax+b经过A（-1，0），C（3，2）两点，与y轴交于点D，与x轴交于另一点B.（1） 求此抛物线的解析式；（2） 若直线y=kx-1（k0）将四边形ABCD面积二等分，求k的值；（3） 如图2，过点E（1，-1）作EFx轴于点F。将AEF绕平面内某点旋转180°后得MNQ（点M，N，Q分别与点A，E，F对应），使点M，N在抛物线上，求M，N的坐标.2试题解析（1）如图1， 抛物线y=ax-3ax+b经过A（-1，0），C（3，2）两点.xyTHG图1 解得抛物线的解析式y=-.（2）方法1：如图1，由y=-得B（4

2、，0）、D（0，2）.CDAB S=（5+3）×2=8设直线y=kx-1分别交AB、CD于点H、T，则H（，0）、T（，2）.直线y=kx-1平分四边形ABCD面积， S=S=4.（+1+）×2=4 k=,k=时，直线y=x-1将四边形ABCD面积二等分.方法2：过点C作CGAB与点G. 由y=-得B（4，0）、D（0，2）. CDAB由抛物线的对称性得四边形ABCD是等腰梯形， 设矩形ODCH的对称中心为R，则R（，1）.由矩形的中心对称性知：过R 点任一直线将它的面积平分,过R点且与CD相交的任一直线将梯形ABCD面积平分.当直线y=kx-1经过点R时，得1=k-1 k

3、=,（3）方法1：如图2，由题意知，四边形AEMN是平行四边形， ANEM且AN=EM.E（1，-1）、A（-1，0） 设M（m，n），则N（m-2，n+1）.M、N在抛物线上， 解得M（3，2），N（1，3）.方法2：xy图2如图2，由题意知AEFMNQ . MQ=AF=2，NQ=EF=1，MQN=AFE=90°.设M（m，），N（n，）， 解得M（3，2），N（1，3）. 注：以上的解答是试题命题组给出的参考答案，以下的解法是笔者在试卷抽样中对学生的解法提炼出来的.这里没有考虑新旧教材的区别，仅供同行研究.方法3：如图2，设旋转中心P（m，n）， A（-1，0） E（1，-1）

4、,根据中点坐标公式得M（2m+1，2n） N（2m-1，2n+1）.M、N在抛物线上， 解得M（3，2），N（1，3）.方法4：如图2，由题意知，四边形AEMN是平行四边形，NMAE且MN=AE=，直线AE的解析式为y=, 可设MN的解析式为y=+b，联立方程组消去y，整理得 -4x-4+2b=0设M（、N（），由根与系数关系得 , =2b-4(=(-4=32-8b而MN=(+（）=(+（-+b）-（-+b）=(=5 32-8b=4 解得b=将b=代入方程组解得，M（3，2），N（1，3）.3试题评价从试题的编拟来看，试题简洁，设计的三个问题有层次性，体现了压轴题的选拔功能。整道试题阅读量较小

5、，文字表达简练，不像有的压轴题表述冗长，在阅读理理解题意上增加试题的难度。试题的第（1）问比较常规，学生比较容易上手，增加了学生解决综合题和战胜困难的信心；第（2）问出现的等腰梯形学生应该是比较熟悉的，这样可以让学生能够心平气和的思考问题，但在思维的层次上作了一个适当的提升，对中等偏下的学生设置了障碍，第（3）问是为一些优秀学生提供了充分展示自己智力的平台，让这些学生能够脱颖而出。这样，逐步增加试题思维的难度，达到通过压轴题增加试卷区分度的目的。并且，在问题的设置中，第（2）、（3）问是两个并列式的问题，这里也体现了试题编拟中人性化的艺术，学生如何第（2）问不会做，不影响他们解决第（3）问，真

6、正作到人尽其才，试卷抽样发现就有一部分学生做出了第（3）问，而第（2）问没有做出来。从所考查的知识点和数学思想方法上看，考点全面，涉及到初中数学中核心内容。本题以抛物线为载体，综合了函数、方程、点的坐标、直线方程、平行四边形、等腰梯形、图形面积，图形的对称、平移与旋转，还有三角形全等和勾股定理等初中数学的主要知识点。在数学思想方法方面，渗透了数形结合和转化等数学思想，在第（2）问中，通过图形的分割将等腰梯形转化为一个矩形和两个全等的三角形，在第（3）问中将直线与抛物线的交点问题转化为方程组的问题；考查了待定系数法，第（1）是求二次函数的解析式，第（2）是求一次函数的解析式。考查了学生的思维能力

7、、运算能力和创新意识，是一道具有一定思维深度的试题。从能力要求上看，对学生的解题能力提出了较高的要求。首先，要求考生对图形的性质能够灵活运用。在第（2）问中，结合点的坐标，推出四边形ABCD是等腰梯形。在此基础上方法1：求出直线y=kx-1与梯形上下底的交点坐标；方法2：充分运用等腰梯形的对称性进行图形的分割。在第（3）问中灵活运用平行四边形对边或对角线的性质。其次，要求考生对问题的条件进行适当的转化，能够将一个陌生的问题转化为自己熟悉的问题。在试卷抽样过程中，发现大量学生在解决第（3）问时，对问题中条件“将AEF绕平面内某点旋转180°后得MNQ，使点M，N在抛物线上”有点不知所云

8、，从而导致不能继续思考。其实，从解答中发现，这一条件就是等价于“在抛物线上分别找两点M、N，使AEMN为平行四边形”。正是因为改变了问题的呈现方式，从而增加了试题的难度。对学生来说，下一个障碍就是如何将几何问题转化为代数问题了。可以说：数学解题过程就是一个不停地转化过程。从抽样结果看，本题满分为12分，学生实际均分为2.9分，难度系数仅有0.25，可见此题对学生的能力要求是比较高的。从试题的解答来看，体现了关注差异、以人为本的新理念。学生个体差异表现在认知方式与思维策略的不同，以及认知水平和学习能力的差异。从试题的解析中，我们可以看到在试题的编拟和设计中注重解决问题策略的多样性，每一问学生解题

9、的入口宽，尊重了学生在解决问题过程中所表现出来的不同水平，给不同的学生创造成功的机会。有利于增强学生进一步学习数学的兴趣和信心，体现了人文关怀，凸现了以人为本的新理念。在第（2）问学生可以从代数和图形特征两个角度进行思考；在第（3）问可以从平移、三角形全等、中点坐标、一元二次方程根与系数的关系等角度进行解决。比较几种解法，方法的技术含量越高，显得解决过程（往往表现为计算过程或推理过程）越简捷，例如第（3）问的方法1，这里体现了新教材中新增内容图形变换的考查，这种方法的运用也给学生的创新意识提出了更高的要求。并且该问还考虑到不同学生的能力水平的差异，设计了辅助AEF，达到让部分学生能够“跳起来就

10、可以摘到桃子”的目的。 从初中、高中教学的衔接上看，本题有很好的发展性和导向性。从初中数学的视角来看，如上所述，本题考查了初中阶段所学的诸如函数、方程、变换、面积等重要知识点。同时又要求学生有扎实的数学功底、较强的分析问题和解决问题的能力，特别是问题的转化和联想能力。从高中数学的视角来看，本题为高中阶段进一步学习直线的斜率、向量的平移、直线与曲线的交点坐标的求法等知识埋下了“伏笔”。从追求完美来看，本题有一点小小的遗憾。从解答中，我们发现在（3）问中所求N点坐标为（1，3），而E点坐标是（1，-1），所以ENy轴，从而发现条件E点坐标有点特殊（因为导致结果有点特殊）。于是在试卷抽样中发现了如下的“投机取巧”的方法。如图3，延长EF交抛物线于N，再过D作DMNE，垂足为点Q，DQ交抛物线于点M。再连MN、AN、EM、AM，并且AM与EN交于点P。xy图3很易求得N（1，3）、Q（1，2）、M（3，2）由坐标知AEFMNQ AE=MQ MNQ=AEFAEMQ四边形AEMN是平行四边形将AEF绕平行四边形AEMN的中心P旋转180°后得到的MNQ，顶点M，N在抛物线上。M（3，2），N（1，3）该方