利用几何画板开展中学数学虚拟

1、数学利用几何画板开展中学数学虚拟实验的实践与研究萧山中学 沈建刚摘要 “数学这门科学，需要观察，还需要实验。”在中学数学教学中，开展数学实验已经成为当前数学教育改革和实践的一个新动向，我们数学实验课题组对中学数学虚拟实验进行了两年的实践与研究，本文是我们在实践与研究过程中的心得与体会。关键词 数学虚拟实验；几何画板；研究性学习；建构主义。一、引言数学家欧拉曾说过：“数学这门科学，需要观察，还需要实验。”数学王子高斯也曾提到过，他的许多定理都是靠实验、归纳发现的，证明只是补充的手续。数学家G.波利亚则精辟地指出：数学有两个侧面，一方面是欧几里德式的严谨科学，从这方面看，数学像是一门系统的演绎科学

2、，但是另一方面，在创造过程中的数学更像是一门实验性的归纳科学。同时，在新教材的教学大纲中，国家首次把“学生创新意识的培养”纳入教学目标，要求学生：对自然界和社会中的数学现象具有好奇心，不断追求心知，独立思考，会从数学的角度发现和提出问题，进行探索和研究。在中学数学教学中引入数学虚拟实验，使学生在实验中，获得切身的学习体验，得到探索数学、研究数学的机会，更获得创新的环境。因此，在中学数学教学中开展数学虚拟实验成为了当前数学教育改革和实践的一个新动向。随着CAI(计算机辅助教学)的发展，尤其是几何画板软件的出现与日益普及，一个贴近中学数学教学实际的实验平台呼之欲出，为中学数学虚拟实验的真正开展创造

3、了良好的软件环境。2002年我们成立了数学虚拟实验课题组，组织了部分同学，进行了两年的实践，以下是我们实践过程中的一些所思所想，想借此，让人们认识中学数学虚拟实验，为实验在中学数学教学中的应用尽一份力。二、数学虚拟实验概念的界定数学虚拟实验是指在一定的教学思想指导下，借助现代教学技术，为完成某种教学目标而进行的一种基于软件平台的数学活动。在现代汉语词典中，实验解释为：为了检验某种科学理论或假设而进行某种操作或从事某种活动。可以看出数学实验是一种实验活动，但是用于中学数学教学的数学实验，事实上，已经赋予了新的内容。l 鲜明的教学特征，实验的出发点与归宿点都围绕中学数学教学目标，涉及的内容为中学数

4、学的教学内容。l 有别于传统教学中的教具使用与模型展示，特指基于软件平台的虚拟实验；也有别于物理、化学实验，更注重学生对实验的构思与软件的操作水平，不讲究实验台上的操作技能。l 皮亚杰的“建构主义理论”认为，主体认识的实质是主体利用原有的知识结构对外界客体进行加工，改造整合的过程，所以实验主张学生自主参与、自主探索，尊重以人为本的教育精神。三、数学虚拟实验的软件保障由美国Scott Steketee和Nick Jackiw开发，Key Curriculum Press 公司出版发行的几何画板主要用于平面几何、解析几何、射影几何、初等代数等教学的软件平台，它以点、线、圆为基本元素，通过对这些基本

5、元素的变换、构造、测算、动画、跟踪轨迹等，显示或构造出较为复杂的图形，把较为抽象的数学对象形象生动化，让人在动态中认识数学对象的不变关系，在其中实现观察、猜想、验证、推理与交流等数学实验活动。几何画板提供的画点、画线和画圆的工具注重数学方面的准确性：线分为线段、射线和直线；画的圆是正圆。这实际上提供了计算机上的直尺和圆规，可以模拟尺规作图，演绎欧几里德几何。几何画板中的“作图”菜单可以帮助用户快速地绘制常用的尺规图形。比如：平行线，垂线，以圆心和圆周上的点画圆等。几何画板提供了旋转、平移、缩放、反射等图形变换功能，可以按指定值、计算值或动态值对图形进行平移、旋转和缩放等变换。用户可以用几何画板

6、研究运动变换着的非欧几里德几何问题。几何画板还提供了度量和计算功能，比如测量线段的长度、测量一个角的角度。对测量出来的值可以进行计算，包括四则运算、幂运算、三角运算等等。这样，象验证“三角形三内角和等于180°”之类的问题就非常的容易。许多有关定量的研究也可借助几何画板。此外，几何画板还有坐标系功能（包括直角坐标系和极坐标系），与其他功能相配合可以绘制多种函数图像，比如：直角坐标系下的正弦函数图像、极坐标系下的摆线、参数方程的图像、函数曲线族等。为研究方程、函数和曲线提供了方便条件。几何画板不能制作复杂的动画，但可以针对几何教学的要求制作简单的动画和移动。然后再将简单的动画和移动通过

7、定义、构造或变换成为比较复杂的动画和移动。几何画板的功能图 四、数学虚拟实验的教学意义1、提供知识形成的体验。传统的数学学习是学生通过老师滔滔不绝的“讲”来“听”数学，利用虚拟的数学实验的教学，则可以通过学生自己亲身的参与，让学生感受、理解知识产生和发展的过程，形成自己的经验、猜想，产生对结论的感知，理解对知识意义的主动建构，真正变“学数学”为“做数学”。实验案例1：观察函数图象的变化规律【实验目的】变化系数，观察函数图象的变化规律【实验步骤】（1）拖动点，使系数A由1连续变到2，由1变到0.5，观察前后图象的变化规律，观察图象上点P的变化规律。（2）复原系数A的值，拖动点，使系数由1连续变到

8、2，由1变到0.5，观察前后图象的变化规律，观察图象上点P的变化规律。（3）复原系数的值，拖动点，使系数由0连续变到1.57（的近似值），由0变化到，观察前后图象的变化规律，观察图象上点P的变化规律。（4）复原系数的值，拖动点，连续变化，使系数由0变到1.57，系数由1变到2，使系数A由1变到2，观察的图象到的图象的变化规律。实验一、观察函数图象的变化规律（5）记录实验结果，写出实验报告。在实验中，学生兴致盎然，完全没有了原来学习的那种拘谨、无奈和沉重，因为兴趣，他们放松了心境，充满热情地投入到实验中去，他们认真观察、互相交流；在学生获得了感性认识后，老师再加以归纳总结，学生对知识的获得就变得

9、自然、亲切。实验中，学生事实上并不满足于给定的实验步骤，许多的学生对三个系数的变化顺序加以改变，发现结果改变了，这又促使他们作了更进一步的思考，事实上这真是图象变化中的一个难点。事后，有些学生在实验报告中写到：“数学实验使数学复活了，我觉得，数学有了生命力。”2、提供探究问题的手段布鲁纳指出：“探索是数学教学的生命线”，平时我们非常关注学生在思维层面上的探索，提供给学生许多思考的方法与思想。然而，在中学数学中，有许多与图象有关的问题，事实上都可以借助图象得到解决。平时，我们用尺、圆规作图，也徒手作草图，可是往往由于图象的不标准，或缺乏动态的过程，掩盖了重要的几何规律，使教学效果大打折扣。几何画

10、板利用它准确、简便的作图功能，和动态地保持几何关系的特性，给解决、探究相关的数学问题开创了一个崭新而有效的手段（虚拟实验）。实验案例2：研究直线与双曲线的各种位置关系 【实验目的】通过观察直线与双曲线的各种交点情况研究直线与双曲线的位置关系【实验步骤】（1）建立直角坐标系XOY，作出双曲线E、直线L，双曲线的两条渐近线；注：利用两个按钮点A、B可改变双曲线E的形状，利用两个按钮点C、D可旋转直线L，也可平行移动直线L，渐进线会随着双曲线的变化而变化。实验二、研究直线与双曲线的位置关系（2）移动或旋转直线L，观察直线与双曲线的交点个数与位置关系；（3）改变双曲线E的形状，观察直线与双曲线的交点个

11、数与位置关系；（4）记录实验结果，归纳、总结观察结果，写出直线与双曲线位置关系的实验报告。学生面对清晰、准确的图象，如此轻松、简便的操作，他们的热情得到激发，四、五人的一个学习小组，他们分工合作，基本上能完整的发现直线与双曲线的各种位置关系，以下是部分同学的实验报告片段。“我发现直线与双曲线只有一个交点的情况应有两种情形：一种相切，一种与双曲线的渐近线平行。”“双曲线的渐进线是非常重要的，若对平行于渐进线的直线CD进行旋转，朝一个方向它就与双曲线没有交点，朝另一方向，就有两个交点，而且交点在逐渐的靠拢，直至相切。”“过定点D与双曲线只有一个交点的直线最多有四条。”学生的潜力是巨大的，关键在于如

12、何激发。3、提供知识创新的机会“促进素质教育就是要以培养学生的创新精神和实践能力为重点”。创新意识是高素质人才的重要标志。利用几何画板提供的直观、灵活，富有美感的实验环境，可以使学生的想象力得到发挥，在不断享受实验成功的喜悦后，可以进一步激活思维，产生灵感，充分展示创造活力。实验案例3：抛物线 顶点张角的性质【实验目的】探索抛物线 顶点张角的性质【实验步骤】（1）作出抛物线的图象E，作出抛物线的顶点张角AOB，AB为抛物线的弦；（2）变化抛物线E等，观察角AOB的变化规律，写出实验报告。我们的实验设计是比较开放的，给出的只是一个问题的情景：一支抛物线及抛物线的张角，至于这个张角与哪个量有关，有

13、怎样的关系，则需要学生自己去设计，去实践，在寻找规律的过程中，学生需要有探索的精神，还需要有突破某些常规的勇气。因为兴趣，因为某些不确定性，实验激发了学生的创造力，在学生的实验报告中，我们发现了许多好的实验结果。有的学生发现张角 AOB与直线斜率有关，有的学生发现与弦AB在X轴上的交点的位置有关，有的学生还找到了张角保持90度时的动弦AB过的定点，有一个学生则将问题研究推广到平面上任意点P对抛物线弦AB的张角。虚拟实验给了学生知识创新实践的一个崭新平台。实验三、抛物线顶点张角的研究实验五、数学虚拟实验在中学数学教学中的应用1、在概念教学中的应用概念在中学数学教学中，尤其在高中阶段，是教学的重点

14、和难点；突破数学概念的抽象性，给学生一种全面、直观的感知，一直是教师努力的方向。利用数学虚拟实验，让学生制作动态图型，由此切入开展教学，我们作了一些尝试。在椭圆的第一定义的教学过程中，我们发现，学生对概念中的关键条件“定长大于两定点的距离”理解不深，很容易忽视。为此我们让学生，用第一定义，在几何画板上作出可变化的椭圆，然后改变定长或改变两定点，观察变化情况。下面是一个学生的实验报告。实验课题：椭圆的第一定义【实验目的】利用第一定义作出椭圆，并验证定义中的条件“定长大于两定点的距离。”【实验步骤】（1）建立坐标系XOY；（2）在画面的右上角作一线段AB，定义为椭圆的长轴长；测出AB的长度；（3）

15、在X轴上作关于原点对称的两点F1，F2，使|AB|>| F1F2|，测出F1F2的长度；（4）在AB上任取一点P，测出PA，PB的长度；（5）以F1为圆心，PA长为半径作圆C1，以F2为圆心，PB长为半径作圆C2，再作出两圆的交点M1，M2；（6）构造M1，M2关于点P的轨迹，两个半椭圆形成椭圆图象，隐藏两圆；（7）拖动点B，缩小AB的距离，观察图象的变化，发现当|AB|=| F1F2|时，椭圆蜕化成一条线段，当|AB|<| F1F2|，图象消失。实验四、椭圆第一定义实验利用动态的演示，学生对概念的理解是深刻的，用事实去说明数学的严谨性，在这里，起到“此时无声胜有声”的效果。在所有

16、圆锥曲线的定义教学中，我们利用数学虚拟实验，有效的解决了概念教学中的难点，取得了预期的教学效果。2、在习题教学中的应用进行数学习题教学是提高学生解决问题能力的重要途径，但是，在习题教学中，我们发现对学生思维的诱导，有时显得特别的苍白，一些习题的思路引导，很难做到完美，留下不小的遗憾。然而几何画板利用其快速的运算能力，使得对问题的各种设想的验证变得随手可得，图象的自然、快捷更新，让实验者更容易触及问题的答案。在有关圆锥曲线中最值问题的学习时，我们遇到了以下习题。在椭圆上找一点P，使P 到椭圆右焦点E与一定点G（2，1）的距离之和最小。实验五、椭圆中的最值实验在教学过程中，想使学生的思路，从点P与

17、右焦点的距离转移至P与左焦点的距离，我们遇到了困难。是含含糊糊的过去，还是大费口舌，“从动点到两定点的基本最值问题谈起”，拐个大弯，引出思路。我们感到困惑。数学实验给了我们“柳暗花明又一村”的感觉。我们试着让学生在画板中实验，利用几何画板的测算功能，学生很快发现当P右焦点与定点G的反向延长线上时，距离变得最小（如图）。右焦点就这样被自然的诱导出来了。新的教学手段的发掘，让我们真正体会到了教学的乐趣。3、在开展研究性课程中的应用将研究性课程编入全日制普通高中数学实验教材，是我国高中课程改革的一项重大的举措。教育部印发的普通高中“研究性学习”实施指南中，将研究性学习定义为：“学生在教师指导下，从自

18、然、社会和生活中选择和确定专题进行研究，并在研究过程中主动地获取知识、应用知识、解决问题的学习活动。”在教材中，我们发现研究性课程内容都是源于现实生活的内容，是具有很强实验性的内容，我们选择了部分易于虚拟实验的课程，在开展研究性学习中作了一些实验尝试。实验六、学生制作的力的分解模型图在数学实验教材的第一册（下）的研究性课题是向量在物理中的应用。其中的一个例子：用同样长的两个绳子挂一个物体，如果绳子的最大拉力是F，物体受到的重力为G，要求分析绳子受到的拉力F1与两绳之间的夹角的关系。为此我们要求学生，利用几何画板模拟这一物理现象。为了能制作逼真的实验模型，同学们都显得非常的认真，也非常的投入。制

19、作小组成员分工合作，有条不紊的进行各项工作。他们先学习理论知识：向量的平行四边形法则、力的平衡、斜三角形的解法，再收集资料，设计模型，在完成模型前，他们已经付出了许多，也学到了许多。所以当他们进行实验时，一个个都显得非常专注。利用虚拟实验的形式，放手让学生去研究、去学习、去合作，去解决问题，我们觉得这就已经达到了开展课题学习的目的了。六、开展数学虚拟实验后取得的教学效果在实验的前后，我们对参加课题的50名同学的作了两次问卷调查，比较发现，开展数学实验后，学生对数学学习的兴趣明显提高，学习方法也有所改变，学习能力有了一定的提高，学习成绩进步明显。在对学习兴趣、学习态度一栏的统计中，选择“对数学有

20、浓厚的兴趣”的同学由原来的10人上升到16人，选择“对数学有一定的兴趣”的同学由原来的26人上升至31人，选择“讨厌数学学习的同学”由原来的14人下降至3人。在对学习方法一栏的统计中，选择“学习方法得当，学习很有效率”的同学由原来的12人上升至16人，选择“学习注意方法，学习有效率”的同学由原来的25人上升至30人，选择“不知如何学习”的同学由原来的13人下降到4人。在对学习能力的统计中，选择“学习中，对概念清晰，解题迅速、准确，学习感觉轻松”的同学由原来的7人上升到10人，选择“学习中，能大致弄懂概念，解题能有思路，学习任务能够基本完成”的同学由原来的29人上升到37人，选择“学习中，概念不

21、清，解题没有思路，学习感觉累”的同学由原来的14人下降至3人。对实验的高二40位同学的统计，高一期末的平均分为75.2分，年级平均分为74.6。高二期末的平均分为71.1，年级平均分为68.7，差异在增加。数学实验之所以能取得上述的效果，一个主要原因是它符合时代的特征，顺应现代教学的要求。试想，处于21世纪的信息时代，对能力的要求，对知识的要求都已发生了变化，我们的教学对象他们从小就接触了电脑，从网上获取知识已成为了许多同学的习惯，他们的思维，他们的活动方式都烙上了明显的时代特征，传统的方法、传统的教学行为已经压制了他们太久。新的教学手段的出现，自然激发起学生的激情，产生以上的效果也就不足为奇。七、开展数学虚拟实验后的几点体会1、通过实践，已经证明数学虚拟实验在中学数学教学中所起的特殊作用，显示出数学实验所具有的生命力。然而，在开展数学实验的过程中，我们也遇到了不少的困难，比如，时间的问题，教学中引入实验，就必须给学生充分的时间，而当前中学数学课程的总体安排，还是不可能提供出这个空间，所以我们建议，缩减中学数学内容，把中学数学实验纳入教学计划，真正落实“有利于学生