第5章重心和形心

1、工程力学电子教案工程力学电子教案第五章第五章 重心和形心重心和形心工程力学电子教案工程力学电子教案 工程实践中常常需要计算或测定结构物重心的位置，而求物体重心的问题，实质上就是求平行力系的合力问题。 任一物体都由无数个微元体组成，这些微元体的体积小至可看成是质点。任一微元体所受重力（即地球的吸引力）Pi ，其作用点的坐标xi、yi、zi与微元体的位置坐标相同。所有这些重力构成一个汇交于地心的汇交力系。由于地球半径远大于地面上物体的尺寸，这个力系可看作一同向的平行力系，其合力即为物体的重量，而此力系的中心则为物体的重心。 工程力学电子教案工程力学电子教案1. 重心坐标的一般公式zxyPPiCiC

2、C1P1x1y1xCyCxiyiz1zCzio工程力学电子教案工程力学电子教案右图是一个空间力系，则P=Pi合力的作用线通过物体的重心，由合力矩定理即于是有)()(iyyPMPMiiCxPxPPxPxiiCzxyPPiCiCC1P1x1y1xCyCxiyiz1zCzio工程力学电子教案工程力学电子教案同理有 为确定 zC ，将坐标系连同物体绕y轴转90 ，使重力与x轴平行，得2. 均质物体的重心坐标公式这时物体容重g 是常量，则于是有PyPyiiCPzPziiCiiVPVPgg,zxyPPiCiCC1P1x1y1xCyCxiyiz1zCziO工程力学电子教案工程力学电子教案 上式也就是求物体形

3、心位置的公式。即对于均质的物体，其重心与形心的位置是重合的。zxyPPiCiCC1P1x1y1xCyCxiyiz1zCziOVxVxiiCVyVyiiCVzVziiC工程力学电子教案工程力学电子教案3. 均质等厚薄板的重心和平面图形的形心 对于均质等厚的薄板，如取平分其厚度的对称平面为xy平面，则其重心的一个坐标zC 等于零。设板厚为d ，则有V =Ad， Vi = Aid则上式也即为求平面图形形心的公式。AxAxiiCAyAyiiC工程力学电子教案工程力学电子教案 （1）积分法； （2）组合法； （3）悬挂法； （4）称重法。具体方法：工程力学电子教案工程力学电子教案1. 积分法积分法 对于

4、任何形状的物体或平面图形，均可用下述演变而来的积分形式的式子确定重心或形心的具体位置。对于均质物体，则有VVzzVVyyVVxxVCVCVCd,d,d工程力学电子教案工程力学电子教案若为平面图形，则例5-1 用积分法求下列平面图形的形心位置。AAyyAAxxACACd,db(y)ydyC2ROxy工程力学电子教案工程力学电子教案解：建立如图所示坐标系，则xC= 0现求 yC 。 则222)(yRybyyyybAdR2d)(d2230232202232|)(32d2dRyRyyRyAySRAAxb(y)ydyC2ROxy工程力学电子教案工程力学电子教案代入公式有32d2R /34/23 ACyA

5、RyARb(y)ydyC2ROxy工程力学电子教案工程力学电子教案2. 组合法组合法 当物体或平面图形由几个基本部分组成，而每个组成部分的重心或形心的位置又已知时，可按第一节中得到的公式来求它们的重心或形心。这种方法称为组合法。下面通过例子来说明。例5-1 角钢截面的尺寸如图所示，试求其形心位置。y15020 x20200O(a)y15020 x20200O12(b)工程力学电子教案工程力学电子教案 解：取Oxy坐标系如图(b)所示，将角钢分割成两个矩形，则其面积和形心为：A1=（200-20）20=3600 x1=10 mmy1= 110 mmA2= 15020=3000 15020 x20

6、200Oy12(b) x2=75 mmy2= 10 mm2mm2mm工程力学电子教案工程力学电子教案由组合法，得到xC=A1 + A2 A1 x1 + A2 x2= 39.5 mmC (xC ,yC)15020 x20200Oy12(b)yC=A1 + A2 A1 y1 + A2 y2= 64.5 mm另一种解法： 负面积法15020 x20200Oy1 将截面看成是从200mm150mm的矩形中挖去图中的小矩形（虚线部分）而得到，从而A1= 200150= 30000 mm2工程力学电子教案工程力学电子教案x1= 75 mm, y1= 100 mmA2= -180130 = -23400 m

7、m2故xC=3000075 - 234008530000 - 23400=39.5 mmyC=30000100 - 2340011030000 - 23400= 64.5 mm两种方法的结果相同。x2= 85 mm, y2= 110 mm15020 x20200Oy1工程力学电子教案工程力学电子教案3. 悬挂法悬挂法 以薄板为例，只要将薄板任意两点A和B依次悬挂，画出通过A和B两点的铅垂线，两条铅垂线的交点即为重心C的位置，如图。想一想，为啥？ABABC工程力学电子教案工程力学电子教案 4. 称重法称重法 对较笨重的物体，如汽车，其重心测定常采用这种方法。 图示机床重2500 N，现拟用“称重

8、法”确定其重心坐标。为此，在B处放一垫子，在A处放一秤。当机床水平放置时，A处秤上读数为1750N，当=20 时秤上的读数为1500 N。试算出机床重心的坐标 。思考题思考题5-1yx2.4 mCBA(,)ccxy工程力学电子教案工程力学电子教案 边长为a的均质等厚正方形板 ABCD，被截去等腰三角形AEB。试求点E的极限位置 ymax以保证剩余部分AEBDC的重心仍在该部分范围内。 ABCDEymaxaaxy例题例题5-2：工程力学电子教案工程力学电子教案解：采用负面积法分析xC =2a极限位置 yC= ymax：ABCDEymaxaaxy3/2/max1max1yyyaA2/,222ayaAyC=-A1 + A2 -A1 y1 + A2 y2, 即