与抛物线有关的两个重要三角形

1、与抛物线有关的两个重要三角形刘伟 重庆市北碚区江北中学（400714）二次函数是初等函数中最为重要的一个函数，其图象抛物线，进一步加强了代数与几何的联系，其中蕴含的数学思想和方法，对学生观察问题、研究问题、解决问题是十分有益的。二次函数的图象抛物线与坐标轴交点构成的有关线段、三角形面积等代数与几何综合问题，是历年中考数学压轴题的重点和热点。y P C A O D B x 抛物线，当=b2-4ac0时，抛物线与轴必有两个交点为、；当时，抛物线与y轴相交于点C（0，c）。设抛物线的顶点为P，此时我们得到与抛物线有关的两个重要三角形：ABC与ABP。那么这两个三角形的面积、形状与抛物线的系数a,b,

2、c, 有怎样的内在联系呢？下面就此问题作如下探讨：一、关于ABC抛物线与轴的两个交点为、，则。根据一元二次方程根与系数的关系有：所以A、B两点间的距离 即 （1）这就是抛物线与轴的两个交点之间的距离公式。而|OC|=|yc|=|c|, 所以SABC=即 SABC= （2）这就是抛物线与两坐标轴交点构成三角形的面积公式。二、关于ABP由抛物线的对称性可知，它的形状、大小由P，A，B三点坐标确定。由（1）知：. 设D是抛物线对称轴与x轴的交点，则|PD|=|yp|=设PAB=，在RtPAD中，于是我们得到：当=600时，ABP为等边三角形，此时=12；当=450时，ABP为等腰直角三角形，此时=4

3、。即 当=12时，ABP为等边三角形 （3） 当=4时， ABP为等腰直角三角形 （4）综上所述，上面研究的两个三角形，一是由抛物线与两坐标轴的交点构成的三角形；二是由抛物线的顶点和抛物线与x轴的两个交点构成的三角形。利用以上几个结论，可迅速解决一些比较复杂的与二次函数有关的中考题。例1已知抛物线y=ax2+bx+c(a0)与x轴相交于不同的两点A（x1,0）、B（x2,0）（x1x2）,与y轴的负半轴交于点C。若抛物线顶点的横坐标为-1，A，B两点间的距离为10，且ABC的面积为15。（1） 求此抛物线的解析式；（2） 求出点A和点B坐标；（3） 在x轴上方，（1）中的抛物线上是否存在点P，

4、使得以A，B，P为顶点的三角形与ABC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。解：（1）抛物线顶点的横坐标为-1，由=10，得：b2-4ac=(10a)2,又由b=2a得：c= -24a.由ABC的面积为15，则有：(2)、(3)留给读者自己完成。例2 已知抛物线 (n0)经过点、，ABC的面积等于12。(1) 求这条抛物线的解析式及它的顶点坐标；(2) 如果点在这条抛物线上，点P在y轴的正半轴上，且BCP为等腰三角形，求直线PB的解析式。解：（1）由题意得：, 又OD=|y1|=|-2n|=-2n (n0,抛物线与x轴总有两个交点。又两个交点都在x轴的正半轴上。所以不论m取任何实数，此函数图象都与x轴有两个交点，且两个交点都在x轴的正半轴上。解：(2)根据前面探讨的结论（2）知： SABC= 整理得：m4+10m2-24=0. 解得：m2=2或m2= -12（舍）。 (3)假设存在实数m，使PB