正弦定理和余弦定理的应用举例(解析版)

1、.正弦定理和余弦定理的应用举例考点梳理1用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型测量距离问题、 高度问题、角度问题、计算面积问题、 航海问题、物理问题等2实际问题中的常用角(1)仰角和俯角与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角， 目标视线在水平视线上方的角叫仰角，目标视线在水平视线下方的角叫俯角 (如图 )(2)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东 30°，北偏西 45°，西偏北 60°等；(3)方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如 B 点的方位角为 (如图 )(4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数【助学 ·微博】解三角形

2、应用题的一般步骤(1)阅读理解题意， 弄清问题的实际背景， 明确已知与未知， 理清量与量之间的关系侧重考查从实际问题中提炼数学问题的能力(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解Word 文档.(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等解三角形应用题常有以下两种情形(1)实际问题经抽象概括后， 已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需

3、设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程 (组 )得出所要求的解考点自测1(2012·江苏金陵中学 )已知 ABC 的一个内角为 120°，并且三边长构成公差为 4 的等差数列，则三角形的面积等于解析记三角形三边长为a4，a，a 4，则 (a4)2 (a4)2 a22a(a4)cos1120°，解得 a 10，故 S2×10× 6× sin 120°153.答案1532若海上有 A，B，C 三个小岛，测得 A，B 两岛相距 10 海里， BAC60°，ABC 75°，则 B， C 间的距离是海里解

4、析由正弦定理，知BCAB.解得 BC 56(海里 )° °sin 60°sin 180°6075答案56Word 文档.3(2013·日照调研 )如图，一船自西向东匀速航行，上午10 时到达一座灯塔 P的南偏西 75°距塔 68 海里的 M 处，下午 2 时到达这座灯塔的东南方向的N 处，则这只船的航行速度为海里 /时68sin 120°34 6解析由正弦定理，得 MN sin 45° 34 6(海里 )，船的航行速度为4176 2(海里/ 时)答案17624在 ABC 中，若 23absin Ca2 b2 c2，

5、则 ABC 的形状是解析由 23absin C a2 b2c2， a2 b2c2 2abcos C 相加，得 a2b2 2absin C6 .又 a2b2 2ab，所以是sin C1，从而 sin C1，且 ， 时等号成立，所以ABC66a b C 3等边三角形答案等边三角形ba5(2010·江苏卷 )在锐角 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b ，c.若ab6cos，则tan Ctan C的值是Ctan Atan Bba解析利用正、余弦定理将角化为边来运算，因为ab 6cos C，由余弦定理a2b 2a2b2 c2223 2tan Ctan C sin C cos A

6、cos B得 ab 6· 2ab，即 a b 2c .而tan A tan Bcos C sin A sin BsinCsinCc22222 2c2 c4.·22223cos C sin Asin Bab ca b c22ab· 2ab2c c答案4考向一测量距离问题Word 文档.【例 1】 如图所示， A、B、C、D 都在同一个与水平面垂直的平面内，B、D为两岛上的两座灯塔的塔顶测量船于水面A 处测得 B 点和 D 点的仰角分别为 75°， 30°，于水面 C 处测得 B 点和 D 点的仰角均为 60°，AC0.1 km.(1)求

7、证： ABBD；(2)求 BD.(1)证明 在 ACD 中， DAC30°， ADC 60° DAC 30°，所以 CD AC0.1.又 BCD180°60°60 ° 60°，故 CB 是 CAD 底边 AD 的中垂线，所以 BDBA.ABAC(2)解在 ABC 中， sin BCAsinABC，即ACsin 60° 32 6AB(km)，sin 15°2032 6(km)因此， BD2032 6km.故 B、D 的距离约为20方法总结 (1)利用示意图把已知量和待求量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解

8、三角形的模型(2)利用正、余弦定理解出所需要的边和角，求得该数学模型的解(3)应用题要注意作答Word 文档.【训练 1】 隔河看两目标 A 与 B，但不能到达，在岸边先选取相距3千米的C，D 两点，同时测得 ACB75°， BCD45°，ADC30°，ADB45°(A，B，C，D 在同一平面内 )，求两目标 A，B 之间的距离解如题图所示，在 ACD 中， ADC30°， ACD120 °， CAD30°，ACCD3(千米 )在 BDC 中， CBD180° 45°75°60°.由正

9、弦定理，可得3sin 75°6 2(千米)BCsin 60°2在 ABC 中，由余弦定理，可得AB2 AC2BC22AC·BCcosBCA，即 AB2 ( 3)2 6 2 22 3·6 2cos 75° 5，22AB 5(千米 )所以两目标 A，B 间的距离为5千米考向二测量高度问题Word 文档.【例 2】 (2010 ·)某兴趣小组要测量电视塔AE 的高度 H(单位： m)如图所示，垂直放置的标杆 BC 的高度 h4 m ，仰角 ABE， ADE.(1)该小组已测得一组、的值，算出了 tan 1.24，tan 1.20，请据此算出

10、H的值；(2)该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d(单位：m)，使 与 之差较大，可以提高测量精度若电视塔的实际高度为125 m ，试问 d 为多少时， 最大？解Hh，ADHHh(1)由 AB，BD及 ABBDAD 得tantantan tan tanH解得htan 4×1.24124.tan Htan tan 1.24 1.20Word 文档.因此，算出的电视塔的高度 H 是 124 m.H(2)由题设知 dAB，得 tan d.由 ABADBDHhHhtan，得 tan d， tantan tan hh所以 tan()H H h，1tan tan2 H H

11、 hddH Hh，即 d H Hh 125× 1254 555时，上式当且仅当 dd取等号所以当 d55 5时， tan()最大因为0< < <2，则 0< < 2，所以当 d55 5时， 最大故所求的 d 是 555 m.方法总结 (1)测量高度时，要准确理解仰、俯角的概念(2)分清已知和待求， 分析 (画出 )示意图，明确在哪个三角形应用正、 余弦定理(3)注意竖直线垂直于地面构成的直角三角形【训练 2】如图所示，测量河对岸的塔高 AB 时，可以选与塔底 B 在同一水平面内的两个测点 C 与 D，现测得 BCD ， BDC ， CD s，并在点 C

12、测得塔顶 A 的仰角为 ，求塔高 AB.解在 BCD 中， CBD，Word 文档.BCCD由正弦定理得 sinBDCsinCBD，CDsinBDCs·sin 所以 BCsinCBDsin stan sin 在 RtABC 中， ABBCtan ACB sin .考向三运用正、余弦定理解决航海应用问题【例 3】 我国海军在东海举行大规模演习 在海岸 A 处，发现北偏东 45°方向，距离 A( 31)km 的 B 处有一艘 “敌舰 ”在 A 处北偏西 75°的方向，距离 A 2 km 的 C 处的 “ 大连号 ” 驱逐舰奉命以 10 3 km/h 的速度追截 “敌舰

13、 ”此时，“敌舰 ”正以 10 km/h 的速度从 B 处向北偏东 30°方向逃窜，问“ 大连号 ” 沿什么方向能最快追上 “敌舰 ”？解设“大连号 ”用th 在D处追上 “ 敌舰 ” ，则有CD103t，10t，BD如图在 ABC 中， AB3 1， AC 2， BAC 120°，由余弦定理，得BC2AB2AC22AB·AC·cosBAC ( 3 1)222 2·( 31)·2·cos 120°6BC6，且 sin ABCAC232.·sinBAC6· 2BC245°，ABCWord

14、 文档.BC 与正北方向垂直 CBD90°30°120°，在 BCD 中，由正弦定理，得BD·sinCBD10t sin 120° 1sin BCDCD103t 2， BCD30°.即“大连号 ” 沿东偏北 30°方向能最快追上 “ 敌舰 ”方法总结 用解三角形知识解决实际问题的步骤：第一步：将实际问题转化为解三角形问题；第二步：将有关条件和求解的结论归结到某一个或两个三角形中第三步：用正弦定理和余弦定理解这个三角形第四步：将所得结果转化为实际问题的结果【训练 3】 (2013·广州二测 )如图，渔船甲位于岛屿 A

15、 的南偏西 60°方向的 B 处，且与岛屿 A 相距 12 海里，渔船乙以 10 海里 /时的速度从岛屿 A 出发沿正北方向航行， 若渔船甲同时从 B 处出发沿北偏东 的方向追赶渔船乙，刚好用 2 小时追上，此时到达 C 处(1)求渔船甲的速度；(2)求 sin 的值解 (1)依题意知， BAC 120°， AB12(海里 )， AC 10×220(海里 )，Word 文档.BCA，在 ABC 中，由余弦定理，得BC2AB2AC22AB·AC·cosBAC122202 2×12×20×cos 120 °

16、784.BC解得 BC 28(海里 )所以渔船甲的速度为2 14 海里 / 时(2)在 ABC 中，因为 AB12(海里 )，BAC 120°， BC 28(海里 )， BCA ，由正弦定理，得ABBC.sin sin 120°3ABsin 120° 12× 23 3即 sin BC2814.高考经典题组训练1 (四川卷改编 )如图，正方形ABCD 的边长为 1，延长 BA 至 E，使 AE1，连结 EC、ED，则 sinCED _.解析 在 RtEAD和 Rt中，易知2，5，在DEC中，由EBCEDECED2EC2 CD22513 10余弦定理得 co

17、sCED2 ·10 .sin CEDED EC2× 2×51010 .Word 文档答案.10102 (2011·新课标卷 )在 ABC 中， B60°，AC3，则 AB 2BC 的最大值为解析由正弦定理知AB3BC，sin Csin 60° sin AAB2sin C， BC 2sin A.又 A C 120°， AB2BC2sin C 4sin(120°C) 2(sin C 2sin 120°cos C2cos 120°sin C)2(sin C 3cos Csin C) 2(2sin C

18、3cos C)32 7sin(C )，其中 tan 2 ，是第一象限角由于 0°C120°，且 是第一象限角，因此 AB 2BC 有最大值 2 7.答案 273(湖北卷改编 )若ABC的三边长为连续三个正整数，且> > 320 cosA B C, baA，则 sin A sin B sin C _.解析由 A> B> C，得 a> b> c.设 ac2，bc1，则由 3b20acos A，得c 1 2c2 c2 2，即 3(c 1)2c10(c 1)(c2)(c3)，3(c 1)20(c2)·2 c 1 c解得 c 4，所以 a

19、 6， b 5.答案 6544.Word 文档.(2·陕西卷 )如图，A，B 是海面上位于东西方向相距5(33)海里的两个观测点，现位于 A 点北偏东 45°，B 点北偏西 60°的 D 点有一艘轮船发出求救信号，位于 B 点南偏西 60°且与 B 点相距 20 3海里的 C 点的救援船立即前往营救，其航行速度为 30 海里 /时，该救援船达到 D 点需要多长时间？解 由题意知 AB5(3 3)海里， DBA 90°60°30°，DAB 90°45°45°，所以 ADB 180°(45

20、°30°) 105°，DBAB在 ADB 中，由正弦定理得 sinDABsinADB，AB·sinDAB5 3 3 ·sin 45°所以 DB sinADB sin 105°5 3 3 ·sin 45°3(海里 )，sin 45 10°cos 60°cos 45°sin 60°又 DBC DBA ABC30°(90°60°) 60°，BC 203(海里 )，在 DBC 中，由余弦定理得CD2 BD2BC2 2BD·B

21、C·cos DBC13001 2002×103×203×2900，30所以 CD 30(海里 )，则需要的时间t 301(小时 )Word 文档.所以救援船到达 D 点需要 1 小时（江苏省2013 届高三高考压轴数学试题） 在 ABC 中 ,角 A,B,C 所对的边分别为a,b,c,已知a=5,b=4,cos(- )=31.A B32( ) 求 sin B 的值 ;( )求 cos C 的值 .分层训练 A 级基础达标演练(时间： 30 分钟满分： 60 分)一、填空题 (每小题 5 分，共 30 分 )1若渡轮以 15 km/h 的速度沿与水流方向成

22、120°角的方向行驶，水流速度为4km/h ，则渡轮实际航行的速度为(精确到 0.1 km/h)Word 文档.答案13.5 km/h2江岸边有一炮台高 30 m ，江中有两条船，船与炮台底部在同一水面上，由炮台顶部测得俯角分别为 45 °和 60°，而且两条船与炮台底部连线成 30°角，则两条船相距 _m.解析如图， OM AOtan 45 °30 (m) ，3ON AOtan 30 ° 3 × 30103 (m)，由余弦定理得，MN 900 3002×30× 103× 300 10 3 (m

23、)32答案1033某人向正东方向走x km 后，他向右转 150°，然后朝新方向走3 km，结果他离出发点恰好3 km ，那么 x 的值为解析如图，在 ABC 中，AB x，BC3，AC3，ABC30°，由余弦定理得(3 )2 32 x2 2×3 × cos 30°，即x233 6 0，解得x13，xxx223，经检测均合题意答案3或2 34.如图所示，为了测量河对岸A，B 两点间的距离，在这一岸定一基线CD，现已测出 CDa 和 ACD 60°， BCD30°， BDC105°， ADC60°，则 AB

24、 的长为解析在 ACD 中，已知CD a， ACD 60°，ADC60°，所以 ACa.在 BCD 中，由正弦定理可得asin 105°1aBC3sin 45°2.在 ABC 中，已经求得AC 和 BC，又因为 ACB30°，Word 文档.所以利用余弦定理可以求得A，B 两点之间的距离为ABAC2BC2 AC·BC·°2a2cos 302 .答案22 a15(2010·新课标全国卷 )在 ABC 中， D 为边 BC 上一点， BD2CD， ADB120°， AD ，若 ADC 的面积为3，则

25、BAC_.23解析由 A 作垂线 AHBC 于 H.因为ADC1133，所以2(31)，· ·sin 60° ×2×DC· 3DCS2DA DC22又因为 AHBC， ADH60°，所以 DH ADcos 60 °1， HC2(3 1)DH2 33.1又 BD2CD， BD31， BHBDDH3.又AHAD·sin 60° 3，所以在 RtABH 中 AHBH，BAH45°.HC 2 33又在 RtAHC 中 tan HACAH3 23，所以 HAC 15°.又 BAC BA

26、H CAH 60°，故所求角为 60°.答案60°6.如图，为测得河对岸塔AB 的高，先在河岸上选一点C，使 C 在塔底 B 的正东方向上，测得点A 的仰角为 60°，再由点 C 沿北偏东 15°方向走 10 米到位置D，测得 BDC45°，则塔 AB 的高是 米解析 在 BCD 中， CD10(米)， BDC 45°， 15°90°105°， 30°，BCCD，BCDDBCsin 45° sin 30°BCCDsin 45°sin 30° 10

27、2Word 文档.AB(米 )在 Rt ABC 中， tan 60°BC，ABBCtan 60 °106(米 )答案106二、解答题 (每小题 15 分，共 30 分)7(2011·常州七校联考 )如图，在半径为3、圆心角为60°的扇形的弧上任取一点P，作扇形的内接矩形PNMQ ，使点 Q 在 OA 上，点 N、M 在 OB 上，设矩形 PNMQ 的面积为 y，(1)按下列要求写出函数的关系式：设 PNx，将 y 表示成 x 的函数关系式；设 POB ，将 y 表示成 的函数关系式；(2)请你选用 (1)中的一个函数关系式，求出y 的最大值2223解(1) ON OP P