第4章(1)-弯曲内力

1、4-1 4-1 对称弯曲的概念对称弯曲的概念桥式吊梁桥式吊梁1镗刀杆镗刀杆火车轮轴火车轮轴弯曲特点弯曲特点 以弯曲变形为主的杆件通常称为以弯曲变形为主的杆件通常称为梁梁常见弯曲构件截面常见弯曲构件截面对称弯曲对称弯曲具有具有纵向对称面纵向对称面外力都作用在此外力都作用在此对称面对称面内内梁变形后轴线所在平面与外力所在平面相重合，梁变形后轴线所在平面与外力所在平面相重合，称为称为对称弯曲对称弯曲（一定是（一定是平面弯曲）平面弯曲）。1 1、梁不具有纵对称面；、梁不具有纵对称面；2 2、梁虽有纵对称面，但外力没有、梁虽有纵对称面，但外力没有作用在纵对称面内，从而变形后轴作用在纵对称面内，从而变形后

2、轴线所在平面与梁的纵对称面不一致。线所在平面与梁的纵对称面不一致。非对称弯曲非对称弯曲yzFzyFq qxq q4-2 梁的剪力和弯矩梁的剪力和弯矩剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图I. 梁的剪力和弯矩梁的剪力和弯矩lalFFA取左侧分离体分析任一横截面取左侧分离体分析任一横截面m-m上的内力上的内力lalFFFASlFaFBxlalFxFMAmmxaABF FBFAFAFSyAmmxxCM 0yF0CM切向应力的合力，切向应力的合力，称为称为剪力剪力法向应力的合力，称为法向应力的合力，称为弯矩弯矩由其右边分离体的平衡条件同样可得由其右边分离体的平衡条件同样可得 0yF0CMlalFFFFBS0SB

3、FFF0 xlFxaFMBxlalFxaFxlFMBFBammxABF FAFAFSyAmmxxCMMFSmF mBCFB剪力剪力FS: : 绕研究对象内部绕研究对象内部顺时针顺时针转为正；反之为负。转为正；反之为负。或者说：或者说：左上右下的左上右下的FS为正，反之相反。为正，反之相反。弯矩弯矩M：使梁变成：使梁变成下凸下凸的弯矩为的弯矩为正正；使梁变成上凸；使梁变成上凸的弯矩为负。或者说：的弯矩为负。或者说：左顺右逆的左顺右逆的M为正，为正，反之相反。反之相反。 FS()FS()FS(+)FS(+)M(+)M(+)M()M()II. 剪力剪力Fs和弯矩和弯矩M的符号规则：的符号规则：例例

4、求图示外伸梁在截面求图示外伸梁在截面11、22、33和和44横截面上的剪力和弯矩。横截面上的剪力和弯矩。解：支反力为解：支反力为 0yF0AM032aFFaaFB)(2FFBFFFAB)(3 FFA xyAF Baa2a11224433Me =3FaFBFA截面截面11 0yF 01CM01aFM) (1顺顺FaMFF1S截面截面22 0yF 02CM02aFM) (2顺顺FaM02SFFFAFFFFA22SM1FS1F C111FAM2FS2F C222 xyAF Baa2a11224433Me =3FaFBFA截面截面3303aFaFMA) (3逆逆FaMFFFB24S截面截面4404aF

5、MB) (24顺顺FaM03SFFFAFFFFA23S xyAF Baa2a11224433Me =3FaFBFA33C3M3F FS3FAFS4M44C4FB4III. 可以直接利用可以直接利用外力简化法外力简化法求解内力：求解内力：1. 内力与外力之间的大小关系规律内力与外力之间的大小关系规律（1）横截面上的剪力在数值上等于该截面左侧（或）横截面上的剪力在数值上等于该截面左侧（或右侧）梁上所有外力在轴线垂直方向投影的代数和。右侧）梁上所有外力在轴线垂直方向投影的代数和。（2）横截面上的弯矩在数值上等于该截面左侧（或横截面上的弯矩在数值上等于该截面左侧（或右侧）梁上所有外力对截面形心取矩的代

6、数和。右侧）梁上所有外力对截面形心取矩的代数和。2. 内力符号与外力方向之间的关系规律：内力符号与外力方向之间的关系规律：（1）“左上右下左上右下”的外力引起正值剪力，反之则相反。的外力引起正值剪力，反之则相反。（2）“左顺右逆左顺右逆”的外力偶引起正值弯矩，反之则相反的外力偶引起正值弯矩，反之则相反。（3）所有向上所有向上的外力均引起正值弯矩，反之则相反。的外力均引起正值弯矩，反之则相反。3、在集中力作用处，剪力值发生突变，突变值、在集中力作用处，剪力值发生突变，突变值=集中力大小；集中力大小；在集中力偶作用处，弯矩值发生突变，突变值在集中力偶作用处，弯矩值发生突变，突变值=集中力偶矩大小。

7、集中力偶矩大小。 xAF B11224433Me =3FaFA=3FFB =-2F*例例 图示简支梁受到三角形分布荷载的作用，最大图示简支梁受到三角形分布荷载的作用，最大荷载集度为荷载集度为q0，试求截面，试求截面C上的内力。上的内力。解：先求支反力解：先求支反力0AM0BM03220llqlFB0320llqlFA30lqFB60lqFAxyABalCq0FBFAq0l/2截面截面C的内力的内力llqlqlaqaFFAC2622000SlaqalqalaqaaFMAC66323000思考：思考：是否可以将梁上的分布荷载全部用静力等效后的是否可以将梁上的分布荷载全部用静力等效后的合力代替来求截

8、面合力代替来求截面C的内力？的内力？FSCMCFAaAa/3lxqxq0)(3. 3. 剪力方程和弯矩方程剪力方程和弯矩方程剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图1. 1. 内力方程：内力方程：2. 2. 剪力图和弯矩图：剪力图和弯矩图：表示梁在各截面上剪力和弯矩表示梁在各截面上剪力和弯矩的图形。的图形。剪力方程：剪力方程：FS=FS（x）弯矩方程：弯矩方程：M=M（x）xFS计算步骤：计算步骤：(1)(1)确定支座反力；确定支座反力；(2)(2)分段建立剪力、弯矩方程；分段建立剪力、弯矩方程；(3)(3)作剪力图、弯矩图。作剪力图、弯矩图。xM q解：解：任选一截面任选一截面x ，写出剪力和弯矩方程写

9、出剪力和弯矩方程x lxqxxFS0 lxqxxM02/2依方程画出剪力依方程画出剪力图图和弯矩和弯矩图图FSxqll由剪力由剪力图、弯矩图可见。图、弯矩图可见。最大剪力和弯矩分别为最大剪力和弯矩分别为: :qlFSmax2/2maxqlM例例: :悬臂梁受均布载荷悬臂梁受均布载荷q作用。作用。试写出剪力和弯矩方程，试写出剪力和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。并画出剪力图和弯矩图。qx xM xFS例例 图示简支梁受集度为图示简支梁受集度为q的满布荷载作用。试作梁的的满布荷载作用。试作梁的剪力图和弯矩图。剪力图和弯矩图。解：解：1 1、求支反力、求支反力2qlFFBA2 2、列剪力方程和弯矩方

10、程、列剪力方程和弯矩方程 qxqlqxFxFA2S 2222qxqlxxqxxFxMAxFBFABlAqFAM(x)FS(x)xAqql 2FS ql28l/2M BlAq3 3、作剪力图和弯矩图、作剪力图和弯矩图2max,SqlF82maxqlM 222qxqlxxM qxqlxF2S例例 图示简支梁受集中荷载图示简支梁受集中荷载F作用。试作梁的剪力图作用。试作梁的剪力图和弯矩图。和弯矩图。解：解：1 1、求支反力、求支反力lFbFAlFaFB2 2、列剪力方程和弯矩方程、列剪力方程和弯矩方程 需分两段列出需分两段列出xBlAF abCFBFAAC段段CB段段 lxalFaFxFBS axl

11、FbxF0S lxaxllFaxlFxMB)( axxlFbxM0 xBlAF abCFBFAFAxAM(x)FS(x)FBBFS(x)M(x)3、作剪力图和弯矩图作剪力图和弯矩图xllFaxM)(2 lFbxFS1 xlFbxM1 lFaxFS2FS FblxFalMxFablF BlAabC由剪力、弯矩图知：由剪力、弯矩图知：在集中力作用点，弯在集中力作用点，弯矩图发生转折，剪力矩图发生转折，剪力图发生突变，其突变图发生突变，其突变值等于集中力的大小，值等于集中力的大小，从左向右作图，突变从左向右作图，突变方向沿集中力作用的方向沿集中力作用的方向。方向。例例 图示简支梁在图示简支梁在C点受

12、矩为点受矩为Me 的集中力偶作用。试的集中力偶作用。试作梁的剪力图和弯矩图。作梁的剪力图和弯矩图。解解: : 1、求支反力、求支反力 lMFAe lMFBe0AM0elFMAMe FA FBBlACab2、 列剪力方程和弯矩方程列剪力方程和弯矩方程剪力方程无需分段：剪力方程无需分段： lxlMFxFA0eS弯矩方程弯矩方程两段：两段：AC段：段：CB段：段： xlMxFxMAe xllMMxFxMAeelxaax 0FA FBBlACabxAFAM(x)FS(x)xFBBFS(x)M(x)3、作剪力图和弯矩图、作剪力图和弯矩图 lMxFeSBlACabFslxMe lMxMealMeb由剪力、

13、弯矩图知：由剪力、弯矩图知：在集中力偶作用点，弯矩图在集中力偶作用点，弯矩图发生突变，其突变值为集中力偶的大小。发生突变，其突变值为集中力偶的大小。 思考：对称性与反对称性思考：对称性与反对称性Bl/2FA AFBCl/2F xMFl/4xFsF/2F/2Bl/2FA AFBCMe l/2FslxMe MxMe/2Me/2 结构对称、外力对称时，弯矩图为正对称，结构对称、外力对称时，弯矩图为正对称，剪力图为反对称剪力图为反对称 结构对称、外力反对称时，弯矩图为反对称，结构对称、外力反对称时，弯矩图为反对称，剪力图为正对称剪力图为正对称结论：结论： 例例 求下列外伸梁的内力方程并画内力图。求下列

14、外伸梁的内力方程并画内力图。解：解：(1)(1)计算支反力：计算支反力：qaRA45qaRB41a2aqCBA(2)(2)列剪力、弯矩方程：列剪力、弯矩方程：以以A为原点。为原点。xRARB)(xFs)0()(xaxaq)20(41axqa)(xM)0()(212xaxaq)20()2(41axxaqa+-qa41qaFsM-221qa在集中力作用处，在集中力作用处， Fs 图发生突变，图发生突变， M图对应处有一尖角。图对应处有一尖角。 （3 3）画内力图：）画内力图：III. 弯矩、剪力与分布荷载集度之间的关系弯矩、剪力与分布荷载集度之间的关系 0yF xqxxFddS0CM xFxxMS

15、dd xxqxFddS 02ddddSxxxqxxFxMxMxM xxFxMddS 0ddSSSxxqxFxFxF略去略去mmnnmmCnnq(x) FS(x) M(x)M(x)+dM(x)OF yxMe q(x)xdxFS(x)+dFS(x) xqxxM22dd xqxxFddS xFxxMSddq(x)、FS(x)、M(x)间的微分关系间的微分关系其中分布荷载集度其中分布荷载集度 q(x) 以以向上向上为为正正，向下为负。，向下为负。OF yxMe q(x)1. 微分关系的几何意义：微分关系的几何意义：)()(SxqdxxdF 剪力图上某点处的切线斜率等于该点处荷载集度的大小剪力图上某点处

16、的切线斜率等于该点处荷载集度的大小 。 )()(SxFdxxdM弯矩图上某点处的切线斜率等于该点剪力的大小。弯矩图上某点处的切线斜率等于该点剪力的大小。 )()(22xqdxxdM弯矩图上某点处的切线斜率的变化率等于该点荷载集度的大小弯矩图上某点处的切线斜率的变化率等于该点荷载集度的大小 。 3. 弯矩、剪力与分布荷载集度之间的弯矩、剪力与分布荷载集度之间的积分关系积分关系 及几何意义及几何意义BAXXBASxxqxFd)()(dBAXXSASBxxqFFd)( 式中：式中：FSA 、FSB分别表示分别表示A、B两两个横截面上的剪力。个横截面上的剪力。 任何两个截面上的剪力任何两个截面上的剪力

17、之差之差，等于这，等于这两个截面间梁段上的荷载图的面积。两个截面间梁段上的荷载图的面积。几何意义几何意义：xxFMMBAXXSABd)( 式中：式中：MA、MB分别表示分别表示A、B两个横两个横截面上的弯矩。截面上的弯矩。几何意义：几何意义： 任何两个截面上的弯矩任何两个截面上的弯矩之差之差，等于这两个截，等于这两个截面间的剪力图的面积。面间的剪力图的面积。 目录目录作图步骤作图步骤1. 1. 求支座反力，求支座反力，2. 2. 分段描述：判断各段形状（水平线、斜直线、分段描述：判断各段形状（水平线、斜直线、曲线），曲线）， 分段原则：集中力、集中力偶、支座、分布荷分段原则：集中力、集中力偶、

18、支座、分布荷载起点及终点处载起点及终点处3. 3. 求每一段控制截面的求每一段控制截面的FS、M值，值，4. 4. 按规律连线。按规律连线。 例例 作下列各图示梁的内力图。作下列各图示梁的内力图。FSxqaFBABAS 段段：0: qaqaFACCS段段aaqaqBCqa2xMqa-223qa-20qaMMAB 223 22qaaqaaqaMC A相切相切解：解：1.1.求支座反力求支座反力FS/kNox例例作图示外伸梁的作图示外伸梁的Fs、M图。图。2. 从左起，计算控制截面的从左起，计算控制截面的 FS值值,并由微分关系判断线并由微分关系判断线 形，画形，画 Fs图图3. 同理画同理画 M

19、 图。图。20530CA DBm2m1m3E2m30kNq=10kN.mM=60kN.mFAFBkN25AFkN35BF; 0CF;kN20左左sAF;kN5左左sBFkN.30EF530; 0CM;mkN20AM;mkN15左左DM;mkN60BM. 0EM；右右kN5-sAF；右右kN30sBFm;kN45右右DM+-M/kNmxO60201545+-AFBFABCq =10 kN/mFSM0BM06 . 02 . 04 . 01006 . 02 . 04 . 0AAFFqkN33. 1AF0YkN67. 2BF1.332.670.27m2 . 0m4 . 0m.1300.36(补）例：补

20、）例：作如图梁的剪力弯矩图作如图梁的剪力弯矩图AFBFAa2Caq 0BM02212aRaaqaaqAqaFA43qaFB490.283/45/41a.7500.5FS)(qaM)(2qaABCq 2qam a2aaFSMa6110AM05 . 2332aaqqaaFBqaFB613qaFA65AFBF265qa261qa27213qa221qaqa76qaqa65kN8 . 3kN2 . 7BAFF(补）例：补）例：外伸梁外伸梁AB承受荷载如图所示，承受荷载如图所示，作该梁的作该梁的FS、M图。图。解：解： 1、求支反力、求支反力DABm1m4m1kN3kN/m2mkN6C(kN)FS3.8

21、Ex=2.1m4.231.412、分段定端值、分段定端值3、据荷载分布情况逐段绘出梁的剪力、据荷载分布情况逐段绘出梁的剪力图和弯矩图图和弯矩图FAFB3.832.2(kNm)M* * *例：试绘出图示有中间铰的静定梁的剪力弯矩图。例：试绘出图示有中间铰的静定梁的剪力弯矩图。已知：已知： kN81AyFmkN5 .96AMkN29ByF( (逆时针逆时针) )1m0.5m1m3m1mBACDKEq=20kN/m Me=5kNmF=50kNMA FAx FAyFBy 96.515.53155345M图图( (kNm) )813129Fs图图( (kN) )1.45 m1m0.5m1m3m1mBAC

22、DKEq=20kN/m Me=5kNmF=50kNMA FAx FAyFBy4-3 4-3 平面刚架和曲杆的内力图平面刚架和曲杆的内力图、平面刚架平面刚架 由同一平面内不同取向的杆件相由同一平面内不同取向的杆件相互间刚性连接的结构。互间刚性连接的结构。 面内受力时，平面刚架杆件的内力有：轴力、面内受力时，平面刚架杆件的内力有：轴力、剪力、弯矩剪力、弯矩作刚架内力图的约定：作刚架内力图的约定：弯矩图：画在各杆的弯矩图：画在各杆的受拉受拉一侧，不注明正、负号；一侧，不注明正、负号；剪力图及轴力图：可画在刚架轴线的任一侧，但应剪力图及轴力图：可画在刚架轴线的任一侧，但应 注明正、负号；注明正、负号；

23、剪力和轴力的正、负规定仍与前面章节一致。剪力和轴力的正、负规定仍与前面章节一致。例例 试作图示刚架的内力图。试作图示刚架的内力图。解：从自由端取分离体作为解：从自由端取分离体作为研究对象写各段的内力方程，研究对象写各段的内力方程，可不求固定端可不求固定端A处的支反力。处的支反力。 0NxFCB段：段：(上侧受拉上侧受拉) qxxFS)20(2)(2axqxxM)20(ax yxqF=2qa BCA2aa2aDFS(x)M(x)Cqx )0(2NayqayF(左侧受拉左侧受拉)BD段：段： 0SyF ayqayM022(外侧受拉外侧受拉) )3(2NayaqayFDA段：段： )3(2SaxaqayF ayaqayayqaqayM32)(222F=2qa BCay2aDqFS(x)M(x)qBCy2aFS(x)M(x)可取刚性结点可取刚性结点B为分离体，为分离体，考察该结点是考察该结点是否满足平衡条否满足平衡条件来校核内力件来校核内力图的正误。图的正误。F=2qa BCA2aa2aDq2qa2qa26qa22qa2qaFN图图FS图图M图图2aABqC3a 例例 作图示刚架的内力图。作图示刚架的内力图。解解：(1) (1) 求