【课件】6.2.5向量的数量积课件-高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册第六章

1、第6章 平面向量及其应用6.2.5 向量的数量积学习目标XUE XI MU BIAO1.了解向量数量积的物理背景，即物体在力F的作用下产生位移s所做的功.2.掌握向量数量积的定义及投影向量.3.会用两个向量的数量积求两个向量的夹角以及判断两个向量是否垂直.4.掌握向量数量积的性质我们已经学习了向量的加、减运算、实数与向量的乘积我们已经学习了向量的加、减运算、实数与向量的乘积运运算算等，知道了它们的几何意义。等，知道了它们的几何意义。 总之：向量的加减是：总之：向量的加减是：“弯弯直的变换直的变换”，实数与向量的乘积实数与向量的乘积是：是：“伸缩的变换伸缩的变换”，向量的加法主要是：向量的加法主

2、要是： “首尾相接首尾相接” ” ；向量向量的减法主要的减法主要是：是： “共起点共起点指向被减数指向被减数的的终点终点”；实数实数与向量的与向量的乘法主要是：乘法主要是：“把原来向量同向或反向缩短或拉伸把原来向量同向或反向缩短或拉伸”。自然我们会想到一个问题：自然我们会想到一个问题：“向量与向量能不能相乘呢？向量与向量能不能相乘呢？”，如果能，如果能，向量的乘法又该怎样定义呢？向量的乘法又该怎样定义呢？这节这节课我们开始研究学习课我们开始研究学习向量的数量向量的数量积积；首先我们看一个实例，学习有关的准备知识。首先我们看一个实例，学习有关的准备知识。-其结果其结果仍仍是向量是向量。F【实例实

3、例】力力对物体所做的功对物体所做的功 W = F s cosW = F s cos 一个物体在力F的作用下产生位移s，那么力F所做的功应当怎样计算？FS FS 其其 中中是是与与 的的 夹夹 角角 功是一个标量，它由力和位移两个向量来确定，这给我们一种启示，能否把功看成两个向量相乘的结果呢？受此启发，我们引入向量“数量积”的概念。因为力做功计算公式中涉及力与位移的夹角，所以下面我们先要定义向量的夹角的概念。0 , (,a bOOAa OBb 已已知知两两个个非非零零向向量量 、 如如图图），是是平平面面上上任任意意一一点点，作作(0)AOBab则则叫叫做做向向量量 与与 的的夹夹角角。OOA

4、AB BabOOA AB B0ab显显然然，当当时时，与与 同同向向， 当当 = = 时时， a a与与b b反反向向，2.ababab如如果果 与与 的的夹夹角角是是，则则称称 与与，记记作作：垂垂直直.ab向量的夹角向量的夹角可表示为50ABC4585练习一：练习一：在在ABC中，已知中，已知A=45，B=50，C=85，求下列向量的夹角：求下列向量的夹角： (1)ABAC 与45130854513085(2);ABC 与B(3)ACC 与B 。（3）要注意 =0，但0 （1 1）向量的线性运算的结果）向量的线性运算的结果仍是向量仍是向量，而向量，而向量的数量的数量积结果积结果是数量是数量

5、。| | |cos aba b 【定定义义】已已知知两两个个非非零零向向量量和和，它它们们的的夹夹角角为为，我我们们把把数数量量000:零零向向量量与与任任意意向向量量的的数数量量积积为为 ，即即a 规定：【注意注意】 aba b叫叫做做 与与的的数数量量积积（或或内内积积），记记作作，即即：(2) aababb 数数积积内内积积写写与与 的的量量（或或），不不能能成成： 对比向量的线性运算，我们发现，向对比向量的线性运算，我们发现，向量的量的线性运算的结果线性运算的结果是一个是一个向量向量，而两个，而两个向量的向量的数量积数量积是一个是一个数量数量，这个数量的大，这个数量的大小与两个向量的长

6、度及其夹角有关。小与两个向量的长度及其夹角有关。|cos a ba b 平面向量平面向量的数量的数量积积2.|5,|4,.3ababa b 已已知知与与 的的夹夹角角，求求例121= | cos54cos54()10.32a bab = =解：.|12,|9,=542.aba bab 设，求求 与与 的的夹夹角角例2【例题解析例题解析】5422= | coscos=.1292|a ba babab ，得：= =解：330,44ab，即 向 量与的 夹 角 为又。= =例3已知向量a，b的夹角为60，|a|2，|b|1，则|a2b|_.由|a|2b|2知，以a与2b为邻边可作出边长为2的菱形OA

7、CB，如图，则|a2b| . 如图，设 和 是两个非零向量，AB= ，CD= ，我们考虑如下的变换：过AB的起点A和终点B，分别作CD所在直线的垂线，垂足分别为A1、B1，得到A1B1，我们称上述变换为向量 向向量 投影，A1B1叫做向量 在向量 上的投影向量. 平面向量数量积的概念3投影、投影向量 如图，我们可以在平面内任取一点O，作OM= ，ON= .过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则OM1就是向量 在向量 上的投影向量.设与 同方向的单位向量为 ， 与 的夹角为，则OM1=ab0, ,【知识点】：对对于于任任意意的的向向量量在在向向量量上上的的投投影影向向量量为为：aOMe1| co

8、s（ 其 中e是 与b同 方 向 的 单 位 向 量 ）aeMabOb1|cos= |cos| 平面向量数量积的概念3直观理解正正0负负31.|120.abbbaa例3 ，向向量量 与与向向量量已已知知的的夹夹角角为为，求求 在在 上上的的投投影影向向量量|1,bbab是单位向量，在 上的投影向量为：解：【例题解析例题解析】=| |aaebaa 与同 方 向 的 单 位 向 量在上 的 投 影 向 量 为 ：解 ：31.|120.aabbba例4 ，向向量量 与与向向量量已已知知的的夹夹角角为为，求求 在在 上上的的投投影影向向量量013| cos1203()=.22abbb 011| | c

9、os120=1=.26| |abeaa（）练习二：练习二：| |=12 | |=824已已知知，求求 在在 上上的的投投影影向向量量. .ababab | | |cos,解解： aba b 241cos,1284| | |aba b 13| |cos12=.488| |在在 上上的的投投影影向向量量为为：bbababb 平面向量数量积的性质 设 与 都是非零向量，为向量 与 的夹角， 是与 方向相同的单位向量，则有如下性质：既可以证明向量垂直，也可以由垂直进行相关计算可以用来求向量的模，实现实数运算往向量运算的转化可用来求两个向量的夹角，夹角的取值与两个向量有关可以通过向量来证明不等式问题或者

10、求最值问题向量数量积的运算律5向量数量积的三大运算律和实数的交换律相同和实数的结合律相同和实数的分配律相同 例题讲解因为n(tmn)0，所以t4.3.已知ab，|a|2，|b|3，则当k为何值时，向量3a2b与kab互相垂直？【解】由题意，可得任意两个向量的夹角都是0或120 两个向量共线分为同向共线与反向共线两种情况，对应的夹角分别是0和180，不要弄错. 未弄清向量的夹角而弄错坑显然BA=-2BC，所以BA与BC共线，故它们的夹角为0.显然BA=-2BC，所以BA与BC共线，因为它们是反向共线，故夹角为180 平面几何性质运用不准确坑 在ABC中，|BC|=5，|CA|=6，BCA=60，求BCCA 判断两个向量的夹角，应先把两个向量移动到同一起点，BC与CA的夹角是BCA的补角. 错用向量运算法则坑课堂练习课堂练习 22000| | cos 0|.a bababababa ba aaaaABCaDa “”解解： 或或 或或 ，所所以以；根根据据向向量量加加法法的的平平行行四四边边形形法法则则知知 ，只只有有当当 ， 同同向向时时取取，所所以以；由由数数量量积积的的性性质质知知， ；因因为为错错误误错错，所所以以，所所误误以以正正确确正正确确3.(, , ,()a b c 多选题）对于任意向量下列命题中不正确的是 .00;Aa