北京市海淀区2016届高三上学期期中考试数学理试题(WORD版)

1、2015.11海淀区高三年级第二学期期中练习数学（理科）本试卷共4页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1,已知集合-尸=卜|/一盘2五口13,4）,则集合中元素的个数为A.1B.2C.3D.42 .下列函数中为偶函数的是a*=b.回天|C-=（匕1）'d.y=2"3 .在AABC中，/且的J=则1y前的值为A. 11B. 1 C. 一2D.3且扁,则为+的的值为4 .数列口J的前n项和为国.若勒一国2内7

2、1内?2）A.1B.3C.5D.65 .已知函数了（力二下列结论错误的是A./=cos"B.函数/（孑）的图象关于直线x=0对称c. /（>）的最小正周期为6. X>0 ”是 x + sinx>0D. /（了）的值域为5司”的A.充分不必要条件B .必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.如图，点O为坐标原点，点A（1,1）.若函数丫-口“（"°，且。xl）及”国二占口，闻中的图象与线段OA分别交于点M,N,且M,N恰好是线段OA的两个三等分点，则a,b满足C.匕。*a>£>>11J-1,8.已知函数

3、,3=a,-11,函数=日/-A41.若函数y=/(为一氟：)恰好有2个不同1,五"零点，则实数a的取值范围是A.(0,+cq)B,(-co,0)lJ(234屿C.f-g,Luci.+8)D.J0)U(0,1)k2/二、填空题(共6小题，每小题的，共30分)9 .J：2工.二10 .在AABC中，角A,B,C的对边分别为a,b，c.若c=4,51ng仙4血白W则Q-，工3=11 .已知等差数列4的公差dhO，且a3a9aio%.若2口=。，则仁-uurr12,已知向量331),点A(3,0)，点B为直线y=2x上的一个动点.若ABPa,则点B的坐标为.一Jt13 .已知函数1/=s皿

4、皿+以卬0),若江苞的图象向左平移,个单位所得的图象与1f5)的图冗象向右平移K个单位所得的图象重合，则面的最小值为14 .对于数列若卡删,理£N,(用逐月)，都有'"为常数)成立，则称数列%°J施一黑L打具有性质|f(o.若数列(%)的通项公式为=2*,且具有性质广，则t的最大值为;若数列(%)的通项公式为4=普一，且具有性质中(10),则实数a的取值范围是三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.15 .(本小题满分13分)已知等比数列1%)的公比g：、0,其n前项和为邑,若见匕4的密必.(I)求公比q和%的值;(n)求证：

5、鸟2%16 .（本小题满分13分）已知函数.F正5m（2H+）+83（2了+"的值;（n）求函数小）的最小正周期和单调递增区间.17 .(本小题满分13分)如图，在四边形ABCD中，AB=8,BC=3,CD=5,=cosZADB=-37(I)求BD的长；18 .（本小题满分13分）已知函数工）=:/+/+以斗1,曲线p=/（T）在点（0,1）处的切线为l（I）若直线l的斜率为一3,求函数1（%）的单调区间；（n）若函数是汽#）区间2,a上的单调函数，求a的取值范围.19 .(本小题满分14分)已知由整数组成的数列%各项均不为0,其前n项和为，且的口，2M佐川.(I)求的值；(n)求叫

6、的通项公式;(出)若=15时，Sn取得最小值，求a的值.20 .(本小题满分14分)已知x为实数，用表示不超过x的最大整数，例如1.2=1,-1.2=-2.l=1k对于函数f(x),若存在褥eR且也成Z,使得，=川加。,则称函数|/卜)是函数.(I)判断函数，(冗)=/一gn式毛)=51口他是否是C函数；(只需写出结论)(n)设函数f(x)是定义R在上的周期函数，其最小正周期为T,若f(x)不是函数，求T的最小值.(出)若函数/勾=巴是G函数，求a的取值范围.海淀区高三年级第二学期期中练习参考答案数学（理科）2015.11阅卷须知：1 .评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数。

7、2 .其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1.B2.B3.A4.C5.D6.C7.A二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.8.D9.310.2;1511.513.414.2;36,）说明；第10,14题第一空3分，第二空2分三、解答题：本大题共6小题，共80分.15.解：（I）法一：因为%为等比数列，且4a3a2a4,所以4a3a32,所以a34,12.(3,6)因为q2电曳4,所以q2.a11因为an0,所以q0,即q2所以a5aq416.法二：因为an为等比数列，且4a3a2a4,所以4a1q2a1q4,所以q24,所以q

8、2,因为an0,所以q4所以a5a1q16.(H)法一：因为q2,所以an因为Sna1(1qn)1qS2n1所以Sn幺一2an2n10,即q2n1n1aq2n21,1n1,因为/0，所以争22an法二：因为q2,所以ana1qn12n1所以sa1(1qn)2n1,n1q所以Sn20,所以Snan2an法三：因为q2,所以anad12n1所以Sna1(1qn)2n1.1q要证Snan2,只需Sn2an,上式显然成立，得证16.解:2.2.只需2n12n3分6分3分6分8分10分13分8分10分13分8分10分13分9(I)因为f(x)3sin(2xcos(2x-),33所以f().3sin(2康

9、Tt-)cos(2-363sin(常323cos()一32(n)因为f(x),3sin(2x-)cos(2x汽3)所以f(x)2立sin(2x2汽3)1-cos(2x2汽3)一汽一2cos-sin(2xsincos(2x)63汽2sin(2x-)汽6汽2sin(2x-)2cos2x,2所以周期T牝n.令2k/2冗2x2ku,1112所以f(x)的单调递增区间为(kn-,kn),kZ.213法二：因为f(x),3sin(2x.cos(2x/,所以f(x).3(sin2汽xcos一3cos2xsin-)(cos2汽xcos-3汽sin2xsin)3所以周期.3(1sin2x22cos2x2支汽.1

10、cos2x)(-cos2x23n2x)2令2k冗22x2k/,1112Tt所以f(x)的单调递增区间为(kn1317.解：(I)法一:在ABD中，因为cosADBADB(0,司,，.4.3所以sinADB根据正弦定理，有BDABsinAsinADB代入AB8,解得BD法二：作7.BEAD于E.因为ABABD中，BEABsin-473.3在BDE中，因为cosADBADB(0,©,所以sin所以BD4、3ADB7BEsinBDE(n)法一：7.在BCD中，根据余弦定理cosBC2CD2BD22BCCD代入BC3,CD5,得cos(0,叽所以所以所以ACABCn,ADC2支.3而在四边形

11、ABCD中AABCC+ADC式.法二：在ABD中,cosABD11_,所以sinABD14cosADB所以sinADB53N，4.37在BCD中，cosDBC11一,所以sin145.3ABD14cosBDC所以cosABCcos(ABD1314DBC)cosABDcosDBCcosADCcos(ADBBDC)cos所以sinADB3314sinADBcosBDCsinABDsinADBsinDBCBDC23982398即cosABC18.解(I)因为f(0)cosADC,所以ABCADCTt.1,所以曲线yf(x)经过点(0,1),又f'(x)x所以f'(0)所以f'

12、(x)当x变化时，2x3,a,2x3.f'(x),f(x)的变化情况如下表：7分3分6分7分10分12分2式13分8分9分11分12分13分2分3分x(,3)3(3,1)1(1,+)f'(x)00f(x)Z极大值极小值Z5分7 分所以函数f(x)的单调递增区间为(，3),(1,+),单调递减区间为(3,1).(n)因为函数f(x)在区间2,a上单调，当函数f(x)在区间2,a上单调递减时，f'(x)0对x2,a成立,2即f'(x)x2xa0对x2,a成立，f'(2)0根据二次函数的性质，只需要',解得3a0.f'(a)09 分又2a,所以

13、2a0.当函数f(x)在区间2,a上单调递增时，f'(x)0对x2,a成立,2只要f'(x)x2xa在2,a上的最小值大于等于0即可，2因为函数f(x)x2xa0的对称轴为x1,当2a1时，f'(x)在2,a上的最小值为f'(a),2解f'(a)=a3a0,得a0或a3,所以此种情形不成立.11分当1a时，f'(x)在2,a上的最小值为f'(1),解f'(1)12a0得a1,所以a1,综上，实数a的取值范围是2a0或a1.13分19 .解：(I)因为2Snanan1,所以2sla1a2,即2ala1a2,2 分4 分因为a1a0,

14、所以a22,(n)因为2Snanan1,所以2Sn1an1%(n2),两式相减,得到2anan(an1an1),因为an0,所以an1an12,所以a2k1,a2k都是公差为2的等差数列，当 n 2k 1 时，an a1 2(k 1) n a 1,当n 2k时,n所以ann(m)an 2 2(k 1) 2ka 1, n为奇数，n为偶数.n,6 分8 分因为2Snanan 1,由(n )知道ann a 1, n为奇数, n , n为偶数，12 分111一(na1)(n1),n为奇数,10 分所以Sn21n(na),n为偶数，2注意到所有奇数项构成的数列是一个单调递增的,所有偶数项构成的数列是一个

15、单调递增的,当n为偶数时，an0,所以此时SnSn1,所以S,5为最小值等价于S3Si5,Si567,法二：因为2&441 ,由(n)知道 ann a 1, n为奇数,n , n为偶数,a一 16,解得 32 a 28 , 2a 32, 31, 30, 29, 28).13分14分10分12分13分14分2分4 分6 分8分9 分10 分11分mm,其中m 0 ,所以a14a50,a6a170,所以1415a10,1617a10,解得32a28.因为数列an是由整数组成的，所以a(32,31,30,29,28).又因为an0,所以对所有的奇数n,anna10,所以a不能取偶数，所以a3

16、1,a29.1(na1)(n1),n为奇数,所以Sn21n(na),n为偶数，2因为§5为最小值，此时n为奇数，1当n为奇数时，Sn-(na1)(n1),2根据二次函数的性质知道，有14因为数列an)是由整数组成的，所以又因为an0,所以对所有的奇数n,anna10,所以a不能取偶数，所以a31,a29.经检验，此时Sn为最小值，所以a31,a29.20 .解：21一一，(I)f(x)xx是函数，3g(x)sin亦不是函数.(n)T的最小值为1.因为f(x)是以T为最小正周期的周期函数，所以f(T)f(0).假设T1,则T0,所以f(T)f(0),矛盾.所以必有T1,函数,而函数l(x)xx的周期为1,且显然不是是综上，T的最小值为1.一(出)当函数f(x)x一是函数时，x若a0,则f(x)x显然不是函数，矛盾.若a0,则f'