分式运算中的常用技巧(教师版)

1、分式运算中的常用技巧(教师版在数式的相关运算中,分式的运算是同学们感到比较头疼的,含分式的综合解答题的正确率也比较低;其实分式的运算涵盖知识点多,技巧性强,是很能考查数学素养的.分式的运算之所以容易计算错误,除了知识上原因,方法技巧也很重要;我觉得除了要掌握常规的计算方法,有必要掌握一些计算的技巧,下面我精选一部分含分式的解答题,让我们共同来探究.1、先约分、再计算:例.计算:444242222+-+x x x x x x x分析:按常规的解法本题应先找出两个分式分母的最简公分母(2x x 2+后通分,化成同分母的分式后再相加;细心的同学会发现,若把两个分式的分子、分母分解因式后,先约分就已经

2、是同分母了,就“省去”了通分的过程;相比较先约分、再相加显得更为简捷.解:原式=(2x x 4x 2x 2x 4x 22x 2x x 2x 2x 2x 2x 2+-+-+=+=+ 变式训练: 2222a 93a 6a 3a 2a 3a 1-+-2、分步通分:例.计算:4214121111x x x x +- 分析:本题中原所有分式的最简公分母是(241x 1x 1x 1x -+,若按此通分解答过程的繁琐性就不用说了;如果我们进行分组、分步通分就不会因为出现“庞大”的分子导致在计算中出错;比如,若我们先计算111x 1x +-+,最简公分母为(1x 1x -+即21x -,则111x 1x +-

3、+ 2221x 1x 21x 1x 1x +-=+=-,后面的如法炮制,过程清楚,计算简便. 解:原式(=22222422444421x 21x 1x 1x 2422441x 1x 1x1x1x1x 1x1x1x1x+-+-+=+=+-+-+-+=(444488841x 41x 4481x 1x 1x 1x 1x +-+=+=-+-变式训练:.16x 4x 6x 5x 7+-+.3、整体通分法: 例.计算:242+-a a 分析:本题若把a 2-分成两项与后面的通分在想加减,要多一些计算的过程;若把a 2-看成一个整体,即a 21-再与后面的通分显然更简单.解:原式=(222a 2a 24a

4、44a 44a a 2a 2a 2a 2a 2a 2-+-+=+=+变式训练:4a 2a 2-+-4、巧用裂“项”法: 例. 计算:(10099132121111-+-+-+-x x x x x x x x分析:本题若将原式通分再相加,进行手工计算的式子有多长,时间耗费多少就不言而喻了.仔细分析,=-=-=-这个裂“项”的技巧,有:(;111111111x x 1x 1x x 1x 2x 2x 1x 2x 3x 3x 2=-=-=-,以此类推,最后互为相反数特征的不和为0,最后计算就简便了.真可谓是“四两破千斤”.解:原式=1111111111x 1x x 2x 1x 3x 2x 99x 98

5、x 100x 99-+-+-+-+- =+1111111111x x 1x 1x 2x 2x 3x 98x 99x 99x 100-+-+-+-+ - =11x x 100-+-=(x 100xx x 100x x 100-+-=(100x x 100-变式训练:(11111x x 1x 1x 2x 2x 3x 2014x 2015x 2015x 2016+5、利用分配律:例.计算:1x 11x x 1x x 22-÷ +- 分析:本题有两种解法.其一、按常规解法先算括号里面的,见下面的方法1;其二、用分配律进行运算,见下面的解法2.两种方法比较方法2更简单. 略解:(方法1:先算括

6、号里的原式=(1x 11x 1x 1x x 1x 1x 1x x 22-÷+-+-+ =(1x 1x 11x 1x x x x 2x 222-+÷+-+-+=(11x 1x 1x 1x x3x 2-+-+ =x 3x 2+(方法2:利用分配律原式=(11x 1x 1x x 1x x 2-+ +- =(1x 1x 1x x1x 1x 1x x 2-+-+-=(1x x 1x x 2-+=x x x 2x 222+-+ =x 3x 2+变式训练:x2x 24x 4x 1x 2x 1222-÷+-6、巧代换:例.设abc 1=,求1c ac c1b bc b 1a ab

7、 a +的值?分析:由abc 1=,可知1abc =,且c 0;若将题中最前面的分式分子、分母都乘以c ,中间的分式的分母1换成abc ,本题的三个式子就将非常巧妙化成了同分母的分式,一切问题便都迎刃而解了.解:abc 1=1abc =,且c 0原式 =(ac b c ac b cabc ac c bc b abc ac c 11ac c b ac c 1ac c 1+=+=ac 1cac c 1ac c 1ac c 1ac c 1ac c 11+=+= 点评:本题在破解题上有些特殊性,须从1abc =才能看的出些端倪;当我们把中间分式的1换成abc 后,就很容易看得出后面两个是同分母的分式了

8、,在通过第一个分式的变形、代换来“服从”另外两个分式.从本题我们得到的启发是代数式的变形除了要顺逆两用、加减乘除等来帮忙、还要注意数式之间的相互转换.7、设参法(辅助未知数法:例.已知5z4y 3x =,求2222y xy 2x 3y 2xy 3x -+-的值?分析:本题通过5z4y 3x =的条件可以找出x y z 、之间的关系,然后变换代入进行分式的约分,但过程繁杂.若设x y zk 345=,则,x 3k y 4k z 5k =,代入后进行计算就比较简单了(这里k 起个辅助作用,最后会约去的.解:设x y zk 345=,则,x 3k y 4k z 5k =,代入:(2222222222

9、2222223k 33k 4k 25y x 3xy 2y 9k 36k 50k 23k 23263x 2xy y 27k 24k 25k 26k 33k 23k 4k 5y -+-+-+=+-+-+-变式训练:已知:a b c 235=,求22222a ab b 3a 2ab 2b -+-的值.8、“因式分解”法:例.计算:(11221122-÷-+÷-b a b a b a b a分析:本题若按常规解法,就要先算括号里面的,也就是要分别通分后相加减后再进行后面的运算,步骤是比较多的.我们发现(222211a b a b -=-,可以借用整式中分解因式的技巧,将(22221

10、1a b a b -=-分解成(1111a b a b -+-,然后进行约简. 解:原式=(111111111111a b ab ab ab a b a b -+-÷+-÷-=1111a b a b -+=12a -=2a变式训练:2121212m m m m 2m 2m 1m 1-+-9、乘方法、倒数法:例.已知51=+x x ,求、221x x +;、44-+x x ;、1242+x x x . 分析:本题按常规解法将要求的式子配方,然后再整体代入求值.有的同学对于配方一类的题显得有些吃力,基础较弱的同学对积的2倍是个常数觉得抽象.其实根据本题的条件和要求的代数式和,若

11、用等式两边同时同次方的乘方法仍是在意义条件范围内;题可以用倒数(分子、分母颠倒的办法解决. 略解:,2222111x 5x 5x 225x x x +=+=+= . 221x 25223x +=-=. 221x 23x+=22244244111x 23x 2529x 5292527x x x +=+=+=-= , .设242x m x x 1=+,则422221x x 11x 123124m x x +=+=+= 1m 24=,即242x 124x x 1=+.变式训练:.若1m 7m -=,求. 22m m -;. 441m m+;.242m m m 1+ 的值.若221a 5a+=,试求1

12、a a -的值.10、去分母法:例.已知:a b 、都是正实数,且b a b a +=-211,求22b 2ab 3a 2ab7-+的值?分析:两头凑,从已知出发通过去分母或通分很容易得出ab 与22a b -之间的关系而要求的代数式变形后是以ab 与22a b -为结构的.解:(22112b a 2b a a b 2ab a b 2ab a b a b ab a b-=-+=-=-+(227ab 7ab 7ab 7ab 7ab722ab 3ab 22ab 3ab 4ab 3ab ab 2a b 3ab=-+-+-+-+原式变式训练:若331x y -=,求+2225x y3x 2x y 3x

13、y-的值.11、分类讨论:例.已知k bca a cbc b a =+=+=+,判断一次函数y kx k =-一定经过那些象限?分析:要判断一次函数y kx k =-一定经过那些象限的关键是要确定k 的取值情况,而k 的取值和a b c 、有关,由于本题未给定a b c 、的条件,所以要进行讨论. 在当a b c 、均不等于0的情况下,分为a b c 0+=和a b c 0+进行讨论,见下面的解答.解:.当a b c 、均不等于0且a b c 0+时,有(a b b c a c 2a b c k 2c a b a b c+=+,即y 2x 2=-,此时一次函数的图象经过一、三、四象限.当当a

14、b c 、均不等于0, 但a b c 0+=时,此时,a b c a c b b c a +=-+=-+=-,代入c a b k 1c a b-=-,即y x 1=-+,此时一次函数的图象经过一、二、四象限.变式训练:已知a b c 、均是不等于0的有理数,试求:b ab ac a c bc abca b c ab bc ac abc +的值?课外选练:一、计算或化简: ;ba a 2ab b a a b b a .1-÷-+÷ - ;b a b2a b a b a 1a 2.2-+-+ (;3x x 13x 4x 1x 2x 1x 2x x x 2x .322222+&#

15、247;-+-(;6a a a a 3a 4a a a 2.42222-+-;1a 44a 44a 2a 4.5 -÷- +-;21a 1a 44a 14a 81.622 -÷ +- ;1a 4a 4a 2a a 4a 21a a 4a .732222+-+- ;y xy 2x y x y x xy xy 2x x y x .8222232+-+-÷+- (1x 2x xx 1x x1x 2x .92222-+-÷+-(.4x 2x 4x x 2x 4x .1022-+-+-+二、解答题:2015 年 周末班学案 1.如果 自信释放潜能；付出铸就成功！

16、WLS x y z x+ y+z = = ¹ 0 ,求 的值？ 2 3 4 x + -z 2 2 2 x + 18 2.已知 x 为整数，且 的值也为整数，求所有符合条件的 x 值的和？ + + 2 x+2 3- x x -9 æ 2 xy - y 2 ö ÷ ¸ç x - ç ÷ ，其中 x = 2, y = -1 . x è ø 2 1 x - 4x 4 - x æ x + 3 ö 4.先化简,再求值:若 x = , 求 ¸ ×ç- 

17、7; 的值？ x x+3 x è x3 ø 3.先化简,再求值: x- y x 5.在三个整式 x2 -1，x2 + 2x + 1, x2 + x 中，请你从中一个作为分子，另一个作为分母组成一个分式，并将这 个进行化简，再求当 x = 2 时分式的值？ 6.阅读题： 当 a - b > 0 时，有 a > b ; a - b = 0 时，有 a = b ; 当 a - b < 0 时，有 a < b . 请运用上面的结论解答下面的问题： x > 0, y > 0 时，计算 4x2 4 x 2 - 4 xy + y 2 4x2 4 x 2

18、 - 4 xy + y 2 - ( y - 2 x )2 y2 的值，并比较 与 ( y - 2 x )2 y2 的大小？ 7.阅读下面题目的解答过程，然后回答问题，计算： 解：原式= = 1 1 x - 4x + 4 2 ¸ x+2 × 4 - x2 . x-2 ( ) ( x - 2) 1 2 ¸ ´ x+2 × ( 2 - x )( 2 + x ) x-2 x-2 × ( 2 - x )( 2 + x ) x+2 第一步 第二步 ( x - 2) 2 =1 第三步 回答： .上述过程中，第一步使用的公式的字母表达式为 .第二步使用的法则的字母的表