图形变换试题的几点浅析

1、图形变换试题的几点浅析半壁山镇初级中学 李国文图形变换试题是近年来河北中考必考的一道试题，在整套试题的第23或24题的位置，分值为10分。此类试题多是借助平移、旋转把三角形、正方形等基本图形相对于另一图形进行位置的变换，利用全等等知识进行猜想与证明，难度不是很大，但学生答题时失分却很多。纵观近几年试题对此有了些浅显的认识，下面结合两道试题进行一下简单分析：一、典型例题剖析例1、如图，四边形ABCD是正方形，AC交BD于点O，直角三角尺的一条直角边始终垂直于AD，垂足为F点，且直角顶点P在直线BD上滑动（点P不与B、D重合），另一直角边交AB于点E。当点P与点O重合时，通过观察与测量，猜想OEF

2、的形状是 如图，当点P为BD上任意一点时，猜想OEF的形状是 并证明你的结论。如图，当点P为DB的延长线上一点，且直角三角尺的一条直角边与DA的延长线交于点F时，请猜想此时OEF的形状，并简要说明理由。 分析：1、此题的本质此题考察的是一个直角三角形的直角顶点P以BD所在的直线为滑道进行平移，图1是平移前的基本图形，图2、图3都是平移后的图形，直角三角形相对于正方形的位置发生了变化，但所问的问题没变都是猜想OEF的形状。既然是猜想就需观察要认真、细微，判断要准确。另外解决此类问题的方法要有一般性，也就是说这种方法在一般情况下应该适用于变化前后的所有图形，比如第一个图形证明那两个三角形全等，第二

3、个图形也要证明这两个三角形全等，甚至在书写过程中可以抄写前面的过程，当然一般会有一个条件细微变化一下。2、错因：做这种题学生往往沉醉于特殊的图形中应用特殊的条件去证明第一个问题，使得方法不能延续。比如在图1（特殊图形）中同学们可以联想到三角形中位线，从而等到OF=AB，OE=AD来达到目的。或者利用直角三角形斜边的中线的性质来证明。但是这些方法都是只适用于这个特殊的图形不能解决图形变化后的问题，致使同学们和容易证明了第一问而不能证明另外的问题。有的同学去证明四边形AEOF是正方形，再找线段OE=OF的过程中知道证明三角形全等，但是选择那两个三角形全等有局限于特殊性了比如选择AEOAFO来达到目

4、的，而图形变化后又不存在这样的全等了了。3、方法点拨此题应该结合基本图形，仔细观察图形变换后的较为简单的图2，两者比较着看哪些条件是不变化的，从中寻求一般方法。比如究竟哪两个三角形全等，仔细寻找不难发现证明AOFBOE是一般方法，所有图形都可以证明这两个三角形全等而得到结论。在这里还要提一下，有的同学可能想证明AOF和EOP全等可是一看条件不够或者其中AOF有一个45°角而EOP中根本没有45°角，从而放弃证明。所以说这类题一定要找到问题的实质，在图形的变化中究竟哪些量不发生改变，也就是以不变应万变的道理。4、答案：我们在比较一下三个图形的证明全等的条件 （1）OA=OBB

5、E=EO=AFFAO=EBO=45°（2）OA=OBBE=EP=AFFAO=EBO=45°（3）OA=OBBE=EP=AFFAO=EBO=135°例2、用两个全等的正方形ABCD和CDFE拼成一个矩形ABEF，把一个足够大的直角三角尺的直角顶点与这个矩形的边AF的中点D重合，且将直角三角尺绕点D按逆时针方向旋转，当直角三角尺的两直角边分别与矩形ABEF的两边BE、EF相交于点G、H时，如图甲，通过观察或测量BG与EH的长度，你能得到什么结论？并证明你的结论；当直角三角尺的两直角边分别与BE的延长线，EF的延长线相交于点G、H时（如图乙），你在图甲中得到的结论还成立

6、吗？简要说明理由。分析：1、此题本质此题考察的是一个直角三角形绕直角顶点D（线段AF的中点）逆时针旋转，在旋转过程中直角三角形相对于矩形的位置发生变化，位置发生变化了，但是我们会发现DCG于DFH全等的条件没有变。2、方法点拨观察、猜测结论应该是线段BG=EH。在图甲中易证DCGDFH，可得GC=HF，然后用正方形的边BC和EF分别做差就可以证出BG=EH；在图乙也是先证明DCGDFH，可得GC=HF，然后再用正方形的边BC和EF分别做和可以证出BG=EH。在这个问题中一般方法就是证明DCGDFH。掌握这些方法后我们再来欣赏河北省近两年的中考题08中考24（本小题满分10分）如图14-1，的边

7、在直线上，且；的边也在直线上，边与边重合，且（1）在图14-1中，请你通过观察、测量，猜想并写出与所满足的数量关系和位置关系；（2）将沿直线向左平移到图14-2的位置时，交于点，连结，猜想并写出与所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想；（3）将沿直线向左平移到图14-3的位置时，的延长线交的延长线于点，连结，你认为（2）中所猜想的与的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由A（E）BC（F）PlllAABBQPEFFCQ图14-1图14-2图14-3EPC通法是：(BCQACP BC=AC CP=CQ BCQ=ACP=90°)图14-1AHC(M)DEB

8、FG(N)G图14-2AHCDEBFNMAHCDE图14-3BFGMN09年24题：在图14-1至图14-3中，点B是线段AC的中点，点D是线段CE的中点四边形BCGF和CDHN都是正方形AE的中点是M（1）如图14-1，点E在AC的延长线上，点N与点G重合时，点M与点C重合，求证：FM = MH，FMMH；（2）将图14-1中的CE绕点C顺时针旋转一个锐角，得到图14-2，求证：FMH是等腰直角三角形；（3）将图14-2中的CE缩短到图14-3的情况，FMH还是等腰直角三角形吗？（不必说明理由）通法是(FBMHDM FB=DM BM=DH FBM=MDH)24（1）证明：四边形BCGF和CD

9、HN都是正方形，又点N与点G重合，点M与点C重合，FB = BM = MG = MD = DH，FBM =MDH = 90°FBM  MDHFM = MH FMB =DMH = 45°，FMH = 90°FMHM图2AHCDEBFGNMP（2）证明：连接MB、MD，如图2，设FM与AC交于点PB、D、M分别是AC、CE、AE的中点，MDBC，且MD = BC = BF；MBCD，且MB=CD=DH四边形BCDM是平行四边形 CBM =CDM又FBP =HDC，FBM =MDH

10、FBM  MDHFM = MH， 且MFB =HMDFMH =FMDHMD =APMMFB =FBP = 90°FMH是等腰直角三角形 （3）是二、教学的几点建议：1、图形变换问题多是利用平移和旋转将基本图形的位置进行相应的变化，所以教师在教学时应该全面的对图形的变换这一章节进行复习，让同学们很好的掌握平移和旋转的性质。对此类问题进行分析时，要帮助学生探索出不变的是什么，都哪些变化了，在变化中求不变。2、充分、系统的复习好三角形全等、互余、互补、特殊四边形的性质等有关的基础知识，为解决此类问题打下坚实的基础。3、培养同学们观察细微的观察能力，通过认真观察、正确的判断、猜想所问问题的结论也是解决这类问题的关键之一。所以一定让我们的学生敢想，有所想这样才行。4、此类问题的图形都是由简单到复杂，由特殊到一般，而解决问题的方法却是包揽全部图形的一般方法。所以我们老师在教学时一定在变化前的图形（基本图形）中多下功夫，尽可能让我们的学生说出解决这一问题的所有的方法，然后再去掉这一问题中的特殊条件，锤炼出能够解决问题的一般方法。这也是解决图形变化问题的关键所在，是个误区，如何走出误区或者不进误区，这就需要长时间的培养和训练。5、教师在教学中不能光顾思路的点播而不顾解题步骤的训练