第六章_计算机的运算方法

1、16.1 无符号数和有符号数无符号数和有符号数6.3 定点运算定点运算6.2 数的定点表示和浮点表示数的定点表示和浮点表示6.4 浮点四则运算浮点四则运算6.5 算术逻辑单元算术逻辑单元2一、无符号数一、无符号数寄存器的位数寄存器的位数:即机器字长即机器字长反映无符号数的表示范围反映无符号数的表示范围 8 位位 0 25516 位位 0 655353带符号的数带符号的数 符号数字化的数符号数字化的数+ 0.10110 1011小数点的位置小数点的位置+ 11000 1100小数点的位置小数点的位置 11001 1100小数点的位置小数点的位置 0.10111 1011小数点的位置小数点的位置真

2、值真值 机器数机器数1. 机器数与真值机器数与真值二、有符号数二、有符号数42. 原码表示法原码表示法带符号的绝对值表示带符号的绝对值表示(1) 定义定义整数整数x 为真值为真值n 为整数的位数为整数的位数如如x = +1110 x原原 = 0 , 1110 x原原 = 24 + 1110 = 1 , 1110 x = 1110 x原原 = 0，x 2n x 02n x 0 x 2n用用 逗号逗号 将符号位将符号位和数值部分隔开和数值部分隔开5小数小数x 为真值为真值如如x = + 0.1101x原原 = 0 . 1101 x = 0.1101x原原 = 1 ( 0.1101) = 1 . 1

3、101 x 1 x 0 x原原 = 1 x 0 x 1x = 0.1000000 x原原 = 1 ( 0.1000000) = 1 . 1000000 x = + 0.1000000 x原原 = 0 . 1000000用用 小数点小数点 将符号将符号位和数值部分隔开位和数值部分隔开用用 小数点小数点 将符号将符号位和数值部分隔开位和数值部分隔开6(2) 举例举例例例 6.1 已知已知 x原原 = 1.0011 求求 x解解:例例 6.2 已知已知 x原原 = 1,1100 求求 x解解:x = 1 x原原 = 1 1.0011 = 0.0011x = 24 x原原 = 10000 1,1100

4、 = 1100 0.00111100由定义得由定义得由定义得由定义得7例例 6.4 求求 x = 0 的原码的原码解解: 设设 x = + 0.0000例例 6.3 已知已知 x原原 = 0.1101 求求 x解：解： x = + 0.1101同理，对于整数同理，对于整数+ 0 原原 = 0,0000+ 0.0000原原 = 0.0000 x = 0.0000 0.0000原原 = 1.0000 0 原原 = 1,0000 + 0原原 0原原 根据根据 定义定义 x原原 = 0.11018原码的特点：原码的特点：简单、直观简单、直观但是用原码作加法时，会出现如下问题：但是用原码作加法时，会出现

5、如下问题：能否能否 只作加法只作加法 ? 找到一个与负数等价的正数找到一个与负数等价的正数 来代替这个负数来代替这个负数就可使就可使 减减 加加加法加法 正正 正正加加加法加法 正正 负负加法加法 负负 正正加法加法 负负 负负减减减减加加 要求要求 数数1 数数2 实际操作实际操作 结果符号结果符号正正可正可负可正可负可正可负可正可负负负9- 123(1) 补的概念补的概念 时钟时钟逆时针逆时针- 363顺时针顺时针+ 9 6153. 补码表示法补码表示法可见可见 3 可用可用 + 9 代替代替记作记作 3 + 9 （mod 12）同理同理 4 + 8 （mod 12） 5 + 7 （mod

6、 12） 时钟以时钟以 12为模为模减法减法 加法加法称称 + 9 是是 3 以以 12 为模的为模的 补数补数10结论结论 一个负数加上一个负数加上 “模模” 即得该负数的补数即得该负数的补数 一个正数和一个负数互为补数时一个正数和一个负数互为补数时 它们绝对值之和即为它们绝对值之和即为 模模 数数 计数器计数器（模（模 16） 101110110000+ 0101 1011100001011 0000 ？可见可见 1011 可用可用 + 0101 代替代替同理同理 011 0.1001自然去掉自然去掉记作记作 1011（mod 24） + 0101（mod 23） + 101 （mod 2

7、） + 1.011111 + 0101（mod24） 1011（mod24）(2) 正数的补数即为其本身正数的补数即为其本身 + 10000+ 10000两个互为补数的数两个互为补数的数+ 0101+ 10101分别加上模分别加上模结果仍互为补数结果仍互为补数 + 0101 + 0101 + 010124+1 10111,0101用用 逗号逗号 将符号位将符号位和数值部分隔开和数值部分隔开丢掉丢掉 10110 , 1 ,?1011（mod24）可见可见?+ 01010101010110110101+（mod24+1）100000=12(3) 补码定义补码定义整数整数x 为真值为真值n 为整数的

8、位数为整数的位数x补补 = 0，x 2n x 02n+1 + x 0 x 2n（mod 2n+1）如如x = +1010 x补补 = 27+1 +( 1011000 )=x补补 = 0,1010 x = 10110001,0101000用用 逗号逗号 将符号位将符号位和数值部分隔开和数值部分隔开101100010000000013小数小数x 为真值为真值x = + 0.1110 x补补 = x 1 x 02 + x 0 x 1（mod 2）如如x补补 = 0.1110 x = 0.11000001.0100000 x补补 = 2 + ( 0.1100000 )=用用 小数点小数点 将符号位将符

9、号位和数值部分隔开和数值部分隔开0.110000010.000000014(4) 求补码的快捷方式求补码的快捷方式= 100000= 1,011010101 + 1= 1,0110 又又x原原 = 1,1010则则x补补 = 24+1 1010= 11111 + 1 1010= 1111110101010当真值为当真值为 负负 时，时，补码补码 可用可用 原码除符号位外原码除符号位外每位取反，末位加每位取反，末位加 1 求得求得+ 1设设 x = 1010 时时15(5) 举例举例解：解：x = + 0.0001解：由定义得解：由定义得x = x补补 2 = 1.0001 10.0000 x原

10、原 = 1.1111例例 6.6 已知已知 x补补 = 1.0001求求 xx补补 x原原 ？由定义得由定义得例例 6.5 已知已知 x补补 = 0.0001求求 x x = 0.1111 = 0.1111 16例例 6.7解：解：x = x补补 24+1 = 1,1110 100000 x原原 = 1,0010当真值为当真值为 负负 时，时，原码原码 可用可用 补码除符号位外补码除符号位外每位取反，末位加每位取反，末位加 1 求得求得x补补 x原原 ？ x = 0010= 0010求求 x已知已知 x补补 = 1,1110由定义得由定义得17真值真值0, 10001101, 01110100

11、.11101.00100.00000.00001.00000,10001101,10001100.11101.11100.00001.0000不能表示不能表示练习练习求下列真值的补码求下列真值的补码 1补补 = 2 + x = 10.0000 1.0000 = 1.0000+ 0补补 = 0补补由小数补码定义由小数补码定义= 1000110 x补补 x原原x = +70 x = 0.1110 x = 0.0000 x = 70 x = 0.1110 x = 0.0000 x = 1.0000= 1000110 x补补 = x 1 x 02+ x 0 x 1（mod 2）184. 反码表示法反码

12、表示法(1) 定义定义整数整数x反反 = 0，x 2n x 0( 2n+1 1) + x 0 x 2n（mod 2n+1 1）如如x = +1101x反反 = 0,1101 = 1,0010 x = 1101x反反 = (24+1 1) 1101 = 11111 1101用用 逗号逗号 将符号位将符号位和数值部分隔开和数值部分隔开x 为真值为真值n 为整数的位数为整数的位数19小数小数x = + 0.1101x反反 = 0.1101x = 0.1010 x反反 = (2 2-4) 0.1010= 1.1111 0.1010= 1.0101如如x反反 = x 1 x 0( 2 2-n) + x

13、0 x 1（mod 2 2-n）用用 小数点小数点 将符号位将符号位和数值部分隔开和数值部分隔开x 为真值为真值n 为小数的位数为小数的位数20(2) 举例举例例例 6.10 求求 0 的反码的反码设设 x = + 0.0000+0.0000反反= 0.0000解：解：同理，对于整数同理，对于整数+0反反= 0,0000例例6.9 已知已知 x反反 = 1,1110 求求 x例例6.8 已知已知 x反反 = 0,1110 求求 x解：解：由定义得由定义得 x = + 1110解：解：= 1,1110 11111= 0001由定义得由定义得x = x反反 (24+1 1)x = 0.0000 0

14、.0000反反= 1.1111 0反反= 1,1111 + 0反反 0反反 21三种机器数的小结三种机器数的小结 对于对于正数正数，原码原码 = 补码补码 = 反码反码 对于对于负数负数 ，符号位为符号位为 1，其其 数值部分数值部分原码除符号位外每位取反末位加原码除符号位外每位取反末位加 1 补码补码原码除符号位外每位取反原码除符号位外每位取反 反码反码 最高位最高位为为符号位符号位，书写上用，书写上用“,”（整数）（整数）或或“.”（小数）将数值部分和符号位隔开（小数）将数值部分和符号位隔开22例例6.11 00000000000000010000001001111111100000001

15、0000001111111011111111011111111128129-0-1-128-127-127-126二进制代码二进制代码 无符号数无符号数对应的真值对应的真值原码对应原码对应 的真值的真值补码对应补码对应 的真值的真值反码对应反码对应 的真值的真值012127253254255-125-126-127-3-2-1-2-1-0+0+1+2+127+0+1+2+127+0+1+2+127+0 设机器数字长为设机器数字长为 8 位（其中位为符号位）位（其中位为符号位）对于整数，当其分别代表无符号数、原码、补码和对于整数，当其分别代表无符号数、原码、补码和反码时，对应的真值范围各为多少？

16、反码时，对应的真值范围各为多少？23例例6.12 解：解：已知已知 y补补 求求 y补补 y补补 = 0. y1 y2 yny = 0. y1 y2 yny = 0. y1 y2 yn y补补 = 1.y1 y2 yn + 2-n y补补 = 1. y1 y2 yn y原原 = 1. y1 y2 yn + 2-n y = （0. y1 y2 yn + 2-n） y = 0. y1 y2 yn + 2-n y补补 = 0. y1 y2 yn + 2-n设设 y补补 = y0. y1 y2 yn每位取反，每位取反，即得即得 y补补y补补连同符号位在内，连同符号位在内，末位加末位加 1每位取反，每位

17、取反，即得即得 y补补y补补连同符号位在内，连同符号位在内，末位加末位加 1245. 移码表示法移码表示法补码表示很难直接判断其真值大小补码表示很难直接判断其真值大小如如 十进制十进制x = +21x = 21x = +31x = 31x + 25+10101 + 100000+11111 + 10000010101 + 10000011111 + 100000大大大大错错错错大大大大正确正确正确正确0,101011,010110,111111,00001+10101 10101+11111 11111= 110101= 001011= 111111= 000001二进制二进制补码补码25(1

18、) 移码定义移码定义x 为真值，为真值，n 为为 整数的位数整数的位数移码在数轴上的表示移码在数轴上的表示x移码移码2n+112n2n 12n00真值真值如如x = 10100 x移移 = 25 + 10100用用 逗号逗号 将符号位将符号位和数值部分隔开和数值部分隔开x = 10100 x移移 = 25 10100 x移移 = 2n + x（2nx 2n）= 1,10100= 0,0110026(2) 移码和补码的比较移码和补码的比较设设 x = +1100100 x移移 = 27 + 1100100 x补补 = 0,1100100设设 x = 1100100 x移移 = 27 110010

19、0 x补补 = 1,0011100补码与移码只差一个符号位补码与移码只差一个符号位= 1,1100100= 0,0011100100127- 1 0 0 0 0 0- 1 1 1 1 1- 1 1 1 1 0- 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0+ 0 0 0 0 1+ 0 0 0 1 0+ 1 1 1 1 0+ 1 1 1 1 1真值真值 x ( n = 5 )x补补x移移x 移移对应的对应的十进制整数十进制整数(3) 真值、补码和移码的对照表真值、补码和移码的对照表0123132333462630 0 0 0 0 00 0 0 0 1 00 0 0 0 0 10 1 1 1 1 11

20、0 0 0 0 01 0 0 0 0 11 0 0 0 1 01 1 1 1 1 01 1 1 1 1 10 1 1 1 1 10 1 1 1 1 00 0 0 0 1 00 0 0 0 0 10 0 0 0 0 01 1 1 1 1 11 0 0 0 1 01 0 0 0 0 11 0 0 0 0 0- 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0+ 1 1 1 1 10 0 0 0 0 01 1 1 1 1 10 0 0 0 0 01 0 0 0 0 028 当当 x = 0 时时 +0移移 = 25 + 0 当当 n = 5 时时可见，可见，最小真值的移码为全最小真值的移码为全 0(4)

21、移码的特点移码的特点用移码表示浮点数的阶码用移码表示浮点数的阶码能方便地判断浮点数的阶码大小能方便地判断浮点数的阶码大小= 1,00000= 1,00000= 000000 0移移 = 25 0 +0移移 = 0移移 100000移移= 25 100000最小的真值为最小的真值为 25= 10000029小数点按约定方式标出小数点按约定方式标出一、定点表示一、定点表示Sf S1S2 Sn数符数符数值部分数值部分小数点位置小数点位置Sf S1S2 Sn数符数符数值部分数值部分小数点位置小数点位置或或定点机定点机小数定点机小数定点机整数定点机整数定点机原码原码补码补码反码反码(1 2-n) +(1

22、 2-n)(2n 1) +( 2n 1) 1 +(1 2-n) 2n +( 2n 1)(1 2-n) +(1 2-n)(2n 1) +( 2n 1)30二、浮点表示二、浮点表示N = Srj浮点数的一般形式浮点数的一般形式S 尾数尾数j 阶码阶码r 基数（基值）基数（基值）计算机中计算机中 r 取取 2、4、8、16 等等当当 r = 2N = 11.0101= 0.110101210 = 1.1010121 = 1101.012-10 = 0.001101012100 计算机中计算机中 S 纯小数、可正可负纯小数、可正可负j 整数、可正可负整数、可正可负 规格化数规格化数二进制表示二进制表示

23、311. 浮点数的表示形式浮点数的表示形式Sf 代表浮点数的符号代表浮点数的符号n 其位数反映浮点数的精度其位数反映浮点数的精度m 其位数反映浮点数的表示范围其位数反映浮点数的表示范围jf 和和 m 共同表示小数点的实际位置共同表示小数点的实际位置jf j1 j2 jm Sf S1 S2 Sn j 阶码阶码S 尾数尾数阶符阶符数符数符阶码的阶码的数值部分数值部分尾数的数值部分尾数的数值部分小数点位置小数点位置322. 浮点数的表示范围浮点数的表示范围2( 2m1)( 1 2n)2( 2m1)2n2( 2m1)( 1 2n)2( 2m1)2n最小负数最小负数最大负数最大负数最大正数最大正数最小正

24、数最小正数负数区负数区正数区正数区下溢下溢0上溢上溢上溢上溢215 ( 1 2-10) 2-15 2-10 215 ( 1 2-10) 设设 m = 4 n =10上溢上溢 阶码阶码 最大阶码最大阶码下溢下溢 阶码阶码 1）时，需）时，需 右规右规即尾数出现即尾数出现 01. 或或 10. 时时尾数右移一位尾数右移一位，阶码加阶码加 196例例6.27x = 0.1101 210 y = 0.1011 201求求 x +y（除阶符、数符外，阶码取除阶符、数符外，阶码取 3 位，尾数取位，尾数取 6 位）位） 解：解：x补补 = 00, 010; 00. 110100y补补 = 00, 001;

25、 00. 101100 对阶对阶 尾数求和尾数求和j补补 = jx补补 jy补补 = 00, 010 11, 111100, 001阶差为阶差为 +1 Sy 1, jy+1 y补补 = 00, 010; 00. 010110Sx补补 = 00. 110100Sy补补 = 00. 010110对阶后的对阶后的Sy补补01. 001010+尾数溢出需右规尾数溢出需右规97 右规右规x +y补补 = 00, 010; 01. 001010 x +y补补 = 00, 011; 00. 100101右规后右规后 x +y = 0. 100101 2114. 舍入舍入在在 对阶对阶 和和 右规右规 过程中

26、，可能出现过程中，可能出现 尾数末位丢失尾数末位丢失引起误差，需考虑舍入引起误差，需考虑舍入(1) 0 舍舍 1 入法入法 (2) 恒置恒置 “1” 法法98例例 6.28x = ( )2-5 y = () 2-4 5878求求 x y（除阶符、数符外，阶码取除阶符、数符外，阶码取 3 位，尾数取位，尾数取 6 位）位）解：解：x补补 = 11, 011; 11. 011000y补补 = 11, 100; 00. 111000 对阶对阶j补补 = jx补补 jy补补 = 11, 011 00, 100 11, 111阶差为阶差为 1 Sx 1, jx+ 1 x补补 = 11, 100; 11.

27、 101100 x = ( 0.101000)2-101y = ( 0.111000)2-100+99 尾数求和尾数求和Sx补补 = 11. 101100Sy补补 = 11. 001000+110. 110100 右规右规x y补补 = 11, 100; 10. 110100 x y补补 = 11, 101; 11. 011010右规后右规后 x y = (0.100110)2-11= ( )2-319321005. 溢出判断溢出判断 设机器数为补码，尾数为设机器数为补码，尾数为 规格化形式，规格化形式，并假并假设阶符取设阶符取 2 位，阶码的数值部分取位，阶码的数值部分取 7 位，数符取位，

28、数符取 2 位，尾数取位，尾数取 n 位，则该位，则该 补码补码 在数轴上的表示为在数轴上的表示为上溢上溢下溢下溢上溢上溢 对应对应负浮点数负浮点数 对应对应正浮点数正浮点数00,1111111;11.00 0 00,1111111;00.11 111,0000000;11.011 111,0000000;00.100 02127(1) 2-128(2-1+ 2-n)2-1282-12127(12-n)最小负数最小负数最大负数最大负数最小正数最小正数最大正数最大正数0阶码阶码01, 阶码阶码01, 阶码阶码 10, 按机器零处理按机器零处理101二、浮点乘除运算二、浮点乘除运算x = Sx 2

29、jxy = Sy 2jy1. 乘法乘法x y = (Sx Sy)2jx+jy2. 除法除法xy=SxSy 2jx jy(1) 阶码采用阶码采用 补码定点加补码定点加（乘法）（乘法）减减（除法）运算（除法）运算(2) 尾数乘除同尾数乘除同 定点定点 运算运算4. 浮点运算部件浮点运算部件阶码运算部件，尾数运算部件阶码运算部件，尾数运算部件3. 步骤步骤(3) 规格化规格化102一、一、ALU 电路电路组合逻辑电路组合逻辑电路 Ki 不同取值不同取值 Fi 不同不同四位四位 ALU 74181M = 0 算术运算算术运算M = 1 逻辑运算逻辑运算S3 S0 不同取值，可做不同运算不同取值，可做不

30、同运算ALUAiBiFiKi103二、快速进位链二、快速进位链1. 并行加法器并行加法器= Ai Bi + (Ai+Bi)Ci-1di = Ai Bi 本地进位本地进位ti = Ai + Bi 传送条件传送条件则则 Ci = di + tiCi-1 Si = Ai Bi Ci-1+Ai Bi Ci-1+Ai Bi Ci-1+Ai Bi Ci-1Ci = Ai Bi Ci-1+Ai Bi Ci-1+Ai Bi Ci-1+Ai Bi Ci-1FAn FAn-1FA1FA0 FAn-2CnSnCn-1Sn-1Cn-2Sn-2C1S1C0S0C-1A0B0A1B1An-2Bn-2An-1Bn-1AnB

31、n1042. 串行进位链串行进位链进位链进位链传送进位的电路传送进位的电路串行进位链串行进位链进位串行传送进位串行传送以以 4 位全加器为例，每一位的进位表达式为位全加器为例，每一位的进位表达式为C0 = d0 + t0C-1 C1 = d1 + t1C0C2 = d2 + t2C1C3 = d3 + t3C2= d0 t0C-1 4 位位 全加器产生进位的全部时间为全加器产生进位的全部时间为 8tyn 位全加器产生进位的全部时间为位全加器产生进位的全部时间为 2nty&C3t3t2t1t0C2C1C0C-1d3d2d1d0设与非门的级延迟时间为设与非门的级延迟时间为ty1053. 并

32、行进位链并行进位链n 位加法器的进位同时产生位加法器的进位同时产生以以 4 位加法器为例位加法器为例C0 = d0 + t0C-1 C1 = d1 + t1C0 C2 = d2 + t2C1C3 = d3 + t3C2 = d1 + t1d0 + t1t0C-1 = d2 + t2d1 + t2t1d0 + t2t1t0C-1 = d3 + t3d2 + t3t2d1 + t3t2t1d0 + t3t2t1t0C-1 （先行进位，跳跃进位）（先行进位，跳跃进位）当当 di ti 形成后，只需形成后，只需 2.5ty 产生全部进位产生全部进位1 & &1 &1 &

33、1 &C-1d3t3d2t2d1t1d0t0 11 1 1C0C1C2C3设与或非门的延设与或非门的延迟时间为迟时间为 1.5ty106 n 位全加器分若干小组，小组中的进位同时产生，位全加器分若干小组，小组中的进位同时产生， 小组与小组之间采用串行进位小组与小组之间采用串行进位当当 di ti 形成后形成后经经 2.5 ty 5 ty 7.5 ty 1 0 ty (1) 单重分组跳跃进位链单重分组跳跃进位链 第第 1 组组 第第 2 组组 第第 3 组组 第第 4 组组C15C14C13C12C11C10C9C8C7C6C5C4C3C2C1C0d15t15d14d13d12t14t1

34、3t12d11d10d9d8t11t10t9t8d7d6d5d4t7t6t5t4d3d2d1d0t3t2t1t0 产生产生 C3 C0 产生产生 C7 C4 产生产生 C11 C8 产生产生 C15 C12以以 n = 16 为例为例C-1107(2) 双重分组跳跃进位链双重分组跳跃进位链 n 位全加器分若干大组，大组中又包含若干位全加器分若干大组，大组中又包含若干小组。每个大组中小组的最高位进位同时产生。小组。每个大组中小组的最高位进位同时产生。大组与大组之间采用串行进位。大组与大组之间采用串行进位。以以 n = 32 为例为例 13245678第第 一一 大大 组组第第 二二 大大 组组C

35、31C27C23C19C15C11C7C3108(3) 双重分组跳跃进位链双重分组跳跃进位链 大组进位分析大组进位分析C3 = d3 + t3C2 = d3 + t3d2 + t3t2d1 + t3t2t1d0 + t3t2t1t0C-1以第以第 8 小组为例小组为例 D8 小组的本地进位小组的本地进位 与外来进位无关与外来进位无关 T8 小组的传送条件小组的传送条件 与外来进位无关与外来进位无关 传递传递外来进位外来进位C7 = D7 + T7C3C11= D6 + T6C7 进一步展开得进一步展开得C15 = D5 + T5C11 C3 = D8+T8C-1 C7 = D7+T7C3C11 = D6+T