数理统计基本概念（课堂PPT）

1、数理统计基本概念数理统计基本概念第六章第六章 数理统计的基本概念数理统计的基本概念6.1 总体、样本与统计量总体、样本与统计量6.2 常用统计分布常用统计分布数理统计基本概念数理统计基本概念 一、引言一、引言数理统计数理统计以概率论为理论基础以概率论为理论基础, ,研究研究 2) 研究如何合理地研究如何合理地分析随机数据分析随机数据从而作出从而作出科学的科学的推断推断 ( (称为称为统计推断统计推断).).6.1 总体、样本与统计量总体、样本与统计量 1）研究如何以有效的方式研究如何以有效的方式收集和整理收集和整理随随机数据机数据; ;数理统计的引入数理统计的引入数理统计基本概念数理统计基本概

2、念 两类工作有密切联系两类工作有密切联系. .将主要介绍统计推断方面的内容将主要介绍统计推断方面的内容. .总体总体：研究对象的全体所组成的集合：研究对象的全体所组成的集合. .个体个体：组成总体的每个单位元素：组成总体的每个单位元素. . 例例1 要考察本校男生的身体情况，则将本校要考察本校男生的身体情况，则将本校的所有男生视为一个总体，而每一位男生就是的所有男生视为一个总体，而每一位男生就是一个个体一个个体. .二、总体二、总体数理统计基本概念数理统计基本概念 如，关心电子元件的寿命，则寿命如，关心电子元件的寿命，则寿命 X 为其为其一个数量指标，且一个数量指标，且 X 是服从指数分布的随

3、机是服从指数分布的随机变量变量. . 例例2 考察某厂生产的电子元器件的质量，将全考察某厂生产的电子元器件的质量，将全部产品视为总体，每一个元器件即为一个个体部产品视为总体，每一个元器件即为一个个体. . 通常需要对总体的一项或几项通常需要对总体的一项或几项数量指标数量指标进进行研究行研究. . 如仅考虑男生的身高和体重如仅考虑男生的身高和体重(X, Y) , ,不考虑不考虑男生的视力、胸围等男生的视力、胸围等. . 数理统计基本概念数理统计基本概念以后将以后将( (实际实际) )总体和数量指标总体和数量指标X等同等同起来起来. .总总 体体 是是 随随 机机 变变 量量 由于上述数量指标往往

4、是由于上述数量指标往往是随机变量随机变量，具有，具有一定的分布一定的分布. .总体分布总体分布是指是指数量指标数量指标 X的分布的分布. .三、样本三、样本 一般，从总体中抽取一部分一般，从总体中抽取一部分( (取取 n 个个) )进进行观测，再依据这行观测，再依据这 n个个体的试验个个体的试验( (或观察或观察) )的结果去推断总体的性质的结果去推断总体的性质. .数理统计基本概念数理统计基本概念 样本样本: : 按照按照一定的规则一定的规则从总体中抽取的从总体中抽取的一部分个体一部分个体. .抽样抽样：抽取样本的过程：抽取样本的过程. .样本容量样本容量：样本中个体的数目：样本中个体的数目

5、 n . 将第将第 i 个个体的对应指标记为个个体的对应指标记为 Xi，i=1,2, , n, 构成的随机向量构成的随机向量 (X1 , X2 , , Xn )称为样本称为样本. 样本样本是一组随机变量是一组随机变量，其具体试验其具体试验(观察观察)数值记为：数值记为：x1 , x2 , , xn ，称为，称为样本观测值样本观测值，简称简称样本值样本值.数理统计基本概念数理统计基本概念为使样本具有代表性，抽样应满足什么条件为使样本具有代表性，抽样应满足什么条件从民意测验看抽样从民意测验看抽样?（1）Xi 与总体同分布；与总体同分布；（2） X1 , X2 , , Xn 相互独立相互独立. 定义

6、定义6.1.1 设设X1 , X2 , , Xn是来自总体是来自总体X的样本，如果的样本，如果相互独立相互独立且每个分量与总体且每个分量与总体同分布同分布，称其为，称其为简单随机样本简单随机样本，简称样本，简称样本.数理统计基本概念数理统计基本概念 若总体若总体X的分布函数为的分布函数为 F(x), 则样本则样本X1 , X2 , , Xn的联合分布函数为的联合分布函数为,),(221121nnnxXxXxXPxxxF nkkXxFk1)(数理统计基本概念数理统计基本概念数理统计基本概念数理统计基本概念 51151)(1ixiiiiipxpxXP).5 , 2 , 1(, 1, 0 ixi 故

7、故 ( X1 , X2 , , X5 ) 的联合分布律为的联合分布律为 51551)(1ixixiippPX1=x1 , X2 =x2, , X5 =x51(1),0,1xxP Xxppx 解：因解：因数理统计基本概念数理统计基本概念),(21nXXX), 1 , 0(!11 inniikkeknii 数理统计基本概念数理统计基本概念则则 2212)(2221)2(),( inixnneXXX 数理统计基本概念数理统计基本概念判断统计量判断统计量是随机变量且不含未知参数，称是随机变量且不含未知参数，称 T为为统计量统计量. 对相应的样本值对相应的样本值( x1 , x2 , , xn ) ，称

8、，称 t =T( x1 , x2 , , xn ) 为统计量的为统计量的统计值统计值.四、统计量四、统计量 定义定义6.1.2 设设X1 , X2 , , Xn是总体是总体X的样本，的样本，T为为n元实值函数，若样本的函数元实值函数，若样本的函数T=T(X1 , X2 , , Xn)数理统计基本概念数理统计基本概念2555121)1( , 2 , max , XXpXiXXXi 例例 1 设总体设总体 X B( 1 , p )，其中，其中 p 是未知是未知参数，参数， ( X1 , X2 , , X5 ) 是来自是来自 X 的简单随的简单随机样本，机样本， 1) 指出以下变量哪些是统计量，为什

9、么？指出以下变量哪些是统计量，为什么？2) 确定确定( X1 , X2 , , X5 ) 的联合概率分布？的联合概率分布？ 25pX 解解 只有只有 不是统计量不是统计量,因因 p 是未知参数是未知参数.数理统计基本概念数理统计基本概念总总 体体 是是 随随 机机 变变 量量 统计量统计量 是是 随机变量随机变量( (或向量）或向量）样样 本本 是是 随随 机机 向向 量量数理统计基本概念数理统计基本概念样本均值样本均值： 样本方差样本方差： niiXnX11 niiXXnS122)(11常见统计量：常见统计量：样本样本 k 阶原点矩阶原点矩： 样本样本k阶中心矩阶中心矩： nikikXnA1

10、111()nkkiiBXXn 统称统称样本矩样本矩数理统计基本概念数理统计基本概念XA 12222221111niinBSXXAAnn 几个重要关系式几个重要关系式：X, S2, Ak, Bkx, s2, ak, bk统计量统计量统计值统计值数理统计基本概念数理统计基本概念 思考思考 样本矩与总体矩样本矩与总体矩 ( (即第四章中定义即第四章中定义的矩的矩) ) 的概念有什么区别？的概念有什么区别？ 样本矩样本矩 是是 随机变量随机变量! ! 总体矩总体矩 是是 数值数值! !数理统计基本概念数理统计基本概念总体、个体总体、个体简单随机样本简单随机样本统计量统计量 求样本的联求样本的联合分布律

11、或合分布律或密度函数密度函数样本均值样本均值样本方差样本方差样本矩样本矩数理统计基本概念数理统计基本概念 某厂生产的一批产品中次品率为某厂生产的一批产品中次品率为 p 。从中。从中抽取抽取1010件产品装箱。件产品装箱。数理统计基本概念数理统计基本概念数理统计基本概念数理统计基本概念6.2 常用统计分布常用统计分布Rxexfx ,21)(22 上侧分位数上侧分位数u ( 0 1）满足）满足 标准正态分布标准正态分布 udxxfuXP)(一、四种常用统计分布一、四种常用统计分布数理统计基本概念数理统计基本概念对于正态分布有对于正态分布有：上侧分上侧分位点位点u 1)(u )(11uuXPuXP阴

12、影部分阴影部分面积为面积为 数理统计基本概念数理统计基本概念查表查表 如如 0.025 时，时， u ？975. 0025. 01)(025. 0 u96. 1025. 0 u数理统计基本概念数理统计基本概念 例例6.2.1 设随机变量设随机变量X 服从正态分布服从正态分布N(0,1), 对给对给定的定的(0 45 ) )时，有时，有数理统计基本概念数理统计基本概念 2(n) 的的上侧分位数上侧分位数( 0 1 )： )(2222)()(ndxxfnP阴影部分面阴影部分面积为积为 数理统计基本概念数理统计基本概念例例6.2.3 查表计算概率查表计算概率?1.961.58,(0,1)1. XPN

13、X?24.996P6.262,(15)2.222 ),1 , 0(. 1NX58. 196. 196. 158. 1 XPXPXP 58. 1196. 1 XPXP918. 0)943. 01 (975. 0)58. 1 (1 )96. 1 ( 数理统计基本概念数理统计基本概念注意注意 应注意分布表的定义与查法！应注意分布表的定义与查法！(15)2.2224.996P6.2622 24.996P6.262P22 0.9250.050.975 996.24)15(262. 6)15(205. 02975. 0 数理统计基本概念数理统计基本概念3.自由度为自由度为 n的的 t 分布分布Tt(n)

14、又称学生氏分布又称学生氏分布-第一个研究者第一个研究者以以Student作笔名发表文章作笔名发表文章. .RxnxnnnxfnT ,)1()2()21()(212 数理统计基本概念数理统计基本概念即即随机变量随机变量 T 服从服从自由度为自由度为 n 的的 t 分布分布. 定理定理2 设随机变量设随机变量X, Y 相互独立相互独立, X N(0,1)，Y 2(n)，则，则)(ntnYXT 结构定理结构定理数理统计基本概念数理统计基本概念 )()()(ntTdxxfntTP阴影部分面阴影部分面积为积为 t (n) 的的上侧分位数上侧分位数 t (n) ( 0 1 )：数理统计基本概念数理统计基本

15、概念T 分布的特点分布的特点：1.关于纵轴对称关于纵轴对称：)()(1ntnt 例例 查表计算查表计算：0.95(20)?t 7247. 1)20()20()20(05. 005. 0195. 0 ttt解解数理统计基本概念数理统计基本概念t t= t1 因因 =PTt=PT t=1 PT t故故 PTt=1.即即 t= t1 数理统计基本概念数理统计基本概念例例 查表计算查表计算：0.95(80)?t 解解645. 1)80()80(05. 005. 095. 0 utt)30()( nunt 2. n 较大时，较大时，).()(limxxfTn 数理统计基本概念数理统计基本概念 4. F

16、分布分布 F F ( n1 , n2 )121121212222121212()2(),0( )() ()220,0nnnnnFnnnnxn xnxnnfxx 称称X 服从第一自由度为服从第一自由度为n1,第二自由度为第二自由度为n2的的F分布分布. .数理统计基本概念数理统计基本概念 定理定理3 设随机变量设随机变量X，Y 相互独立相互独立， X 2(n1) ，Y 2(n2)，则，则即随机变量即随机变量 F 服从第一自由度为服从第一自由度为n1，第二自，第二自由度为由度为n2 的的F分布分布.),(2121nnFnYnXF 结构定理结构定理数理统计基本概念数理统计基本概念F ( n1 , n

17、2 )的的上侧分位数上侧分位数F ( n1 , n2 ) ( 0 1 )： ),(2121)(),(nnFFdxxfnnFFP阴影部分阴影部分面积为面积为 数理统计基本概念数理统计基本概念推论推论1推论推论2),(1),( 1221nnFFnnFF若若),(1),(),( 1221121nnFnnFnnFF 若若数理统计基本概念数理统计基本概念证证),(11),(1211211nnFFPnnFFP ,),(11211 nnFFP),(112nnFF又因又因),(),(112211nnFnnF 数理统计基本概念数理统计基本概念二、抽样分布定理二、抽样分布定理定理定理1则则方差，方差，分别是样本均

18、值和样本分别是样本均值和样本的样本的样本是正态总体是正态总体设设2221,),(,.,SXNXXXXn ;)1(2相相互互独独立立与与SX2(2)( ,);XNn );1(1)3(222 nSn )1()4( ntnSX 数理统计基本概念数理统计基本概念应用例应用例)1 , 0()2(:)4(NnXU 由由证明证明)1()1()3(222 nSnV 由由可可得得再再由由定定理理是是相相互互独独立立的的和和可可知知由由2 . 2 . 6 ,)1(VU11)1()1(22 nSnnXnVU )1( ntnSX 数理统计基本概念数理统计基本概念定理定理2)1, 1()1(2122222121 nnF

19、SSF 设正态总体设正态总体 X 与与 Y 相互独立，相互独立， X , 样本为样本为(X1,X2， X n1),样样本均值和样本方差为本均值和样本方差为 ；21, SX),(211 N Y ，样本为，样本为( Y1,Y2， Y n2)，样本均值和样本方差为样本均值和样本方差为 .22, SY),(222 N有有时，时，当当2221)2( 数理统计基本概念数理统计基本概念YX )2(11)()(212121 nntnnSYXTw 2)1()1(21222211 nnSnSnSw其其中中， 分析分析 证明证明: (2) 服从服从正态分布正态分布，Sw2可化为可化为 2分布分布,二者组合而成的统计

20、量应服从二者组合而成的统计量应服从 t 分布分布.22221 因因数理统计基本概念数理统计基本概念)11( ,(22121 nnNYX 故故)1 , 0(11)()(2121NnnYXU 令令分分布布的的可可加加性性，由由2 )2()1()1(2122222211 nnSnSnV 数理统计基本概念数理统计基本概念 因因 ， 相互独立，故相互独立，故U 与与 V也相互也相互 独立，从而独立，从而21,SX22,SY2)(21 nnVUT2)(11w)()(212121 nntnnSYX 数理统计基本概念数理统计基本概念数理统计基本概念数理统计基本概念例例 2 2 设设nXXX,21是来自正态总体是来自正态总体),(2 N的样本的样本，记记 kiiknkXkX1)1(1，求统计量，求统计量kkXX 1的分布的分布 ( (nk 1) )。 解解 由由 ,11)(11)(1111 kikiikkXEkXE 同同理理 )(kXE 所以所以0)(1 kkXXE数理统计基本概念数理统计