概率与统计41

1、4.14.1数学期望数学期望第四章第四章随机变量的数字特征随机变量的数字特征一、离散型随机变量的数学期望一、离散型随机变量的数学期望平均值是日常生活中最常用的一个数字特征，平均值是日常生活中最常用的一个数字特征， 它对评它对评判事物作出决策等具有重要作用判事物作出决策等具有重要作用.一般地，一般地，定义定义设设X是离散型随机变量的概率分布为是离散型随机变量的概率分布为1 2, ,iiP Xxp i如果如果iiipx 1绝对收敛，绝对收敛， 则定义则定义X的数学期望的数学期望 （又称（又称 1)(iiipxXE均值）为均值）为例例1 甲甲, , 乙两人进行打靶乙两人进行打靶, , 所得分数分别记

2、为所得分数分别记为,1X,2X它们的分布律分别为它们的分布律分别为,8 . 02 . 002101kpX1 . 03 . 06 . 02102kpX试评定他们的成绩的好坏试评定他们的成绩的好坏.解解: 我们来计算我们来计算1X的数学期望的数学期望, , 得得8 . 18 . 022 . 0100)(1 XE(分分).这意味着这意味着, , 如果甲进行很多次的射击如果甲进行很多次的射击, , 那么那么, , 所所得分数的算术平均就接近得分数的算术平均就接近 1.8, ,而乙所得分数的而乙所得分数的数学期望为数学期望为).(5 . 01 . 023 . 016 . 00)(2分分 XE很明显很明显

3、, , 乙的成绩远不如甲的成绩乙的成绩远不如甲的成绩. .例例2 某种产品每件表面上的疵点数服从参数某种产品每件表面上的疵点数服从参数 8 . 0的泊松分布的泊松分布, ,若规定疵点数不超过若规定疵点数不超过 1 个为一等品个为一等品,值值 10 元元; ; 疵点数大于疵点数大于 1 个不多于个不多于 4 个为二等品个为二等品,价值价值 8 元元; ; 疵点数超过疵点数超过 4 个为废品个为废品, , 求求: :(1) 产品的废品率产品的废品率; ;(2) 产品价值的平均值产品价值的平均值.解解: 设设X代表每件产品上的疵点数代表每件产品上的疵点数, ,由题意知由题意知. 8 . 0 价价价价

4、)1(因为因为 408 . 0!8 . 01414kkekXPXP,412001. 0 所以产品的废品率为所以产品的废品率为.412001. 0查表查表例例2求求: :(1) 产品的废品率产品的废品率; ;(2) 产品价值的平均值产品价值的平均值.解解)2(设设Y代表产品的价值代表产品的价值, , 那么那么Y的概率分布为的概率分布为: :44110810 XPXPXPPY所以产品价值的平均值为所以产品价值的平均值为418110)( XPXPYE40 XP0!8 . 08!8 . 010428 . 0108 . 0 kkkkekek).(61. 9元元 查表查表二、连续型随机变量的数学期望二、连

5、续型随机变量的数学期望定义定义 设设X是连续型随机变量，是连续型随机变量， 其密度函数为其密度函数为),(xf如果如果 dxxxf)(绝对收敛，绝对收敛，定义定义X的数学期望为的数学期望为 .)()(dxxxfXE注：注：并非所有随机变量都有数学期望，并非所有随机变量都有数学期望，例如，例如， 若若X的的的密度函数为的密度函数为)1(1)(2xxF ),( x由于由于2021( )xx f x dxdxx 02)1ln(1x 所以所以)(XE不存在不存在.例例4 已知随机变量已知随机变量X的分布函数的分布函数,4, 140, 4/0, 0)( xxxxxF求求).(XE解解随机变量随机变量X的

6、分布密度为的分布密度为, 040, 4/1)()( 其它其它xxFxf故故. 2841)()(40240 xdxxdxxxfXE例例某商店对某种家用电器的销售采用先使用后某商店对某种家用电器的销售采用先使用后付款的方式付款的方式, , 记使用寿命为记使用寿命为X(以年计以年计), 规定规定: :, 3 X设寿命设寿命X服从指数分布服从指数分布, , 概率密度为概率密度为,0, 00,101)(10/ xxexfx, 1 X, 21 X, 32 X一台付款一台付款 1500 元元;一台付款一台付款 2000 元元;一台付款一台付款 2500 元元;一台付款一台付款 3000 元元.试求该类家用电

7、器一台收费试求该类家用电器一台收费Y的数学期望的数学期望.解解 先求出寿命先求出寿命X落在各个时间区间的概率落在各个时间区间的概率, , 即有即有,0952. 0110111 . 01010/ edxeXPx,7408. 010133 . 0310/ edxeXPx 212 . 01 . 010/10121eedxeXPx,0861. 0 ,0779. 0 3 . 02 . 03210/10132 eedxeXPx解解 先求出寿命先求出寿命X落在各个时间区间的概率落在各个时间区间的概率, , 即有即有1 XP3 XP21 XP,0861. 0 ,0779. 0 32 XP,0952. 0 ,7

8、408. 0 7408. 00779. 00861. 00952. 03000250020001500kpY得得,15.2732)( YE即平均一台收费即平均一台收费15.2732元元.则则Y的分布律为的分布律为三、随机变量函数的数学期望三、随机变量函数的数学期望设设X是一随机变量，是一随机变量，)(Xg为一实函数，为一实函数， 则则)(XgY 也是一随机变量，也是一随机变量，理论上，理论上， 虽然可通过虽然可通过X的分布求的分布求再按定义按义求出再按定义按义求出 的数学期的数学期)(Xg望望),(XgE但这种但这种求法一般比较复杂求法一般比较复杂.)(Xg的分布，的分布，出出下面将不加证明地

9、引入有关计算随机变量函数的下面将不加证明地引入有关计算随机变量函数的数学期望的定理。数学期望的定理。随机变量函数的数学期望随机变量函数的数学期望定理定理1 设设X是一个随机变量，是一个随机变量，),(XgY 且且)(YE存存在在, 于是于是(1) 若若X为离散型随机变量，为离散型随机变量，其概率分布为其概率分布为, 2 , 1, ipxXPii则则Y的数学期望为的数学期望为1( ) ()();iiiE YE g Xg x p (2)若若X为连续型随机变量，为连续型随机变量， 其概率密度为其概率密度为),(xf则则Y的数学期望为的数学期望为( ) ()( ) ( ).E YE g Xg x f

10、x dx 注：注：上述定理可推广到二维以上的情形上述定理可推广到二维以上的情形随机变量函数的数学期望随机变量函数的数学期望定理的定理的重要性重要性在于：在于：求求)(XgE时，时， 不必知不必知道道)(Xg的分布，的分布，只需知道只需知道X的分布即可的分布即可.这给求随机变量函数的数学期望带来很大方便这给求随机变量函数的数学期望带来很大方便.例例设离散型随机变量设离散型随机变量 的分布律如下，的分布律如下，X求求).(2XE10121 83 83 81 8/XP 解：解： 2222133110128888()E X 1348881 随机变量函数的数学期望随机变量函数的数学期望例例5 设随机变量

11、设随机变量),1 , 0( NX求求).(2XE解解,21)(22xexf , x)(2XE,2122 xxde dxexx22221 分部积分得分部积分得)(2XE 2221xxde . 1 定理定理2 设设),(YX是二维随机向量，是二维随机向量，),(YXgZ 且且)(ZE存在，存在， 则则(1) 若若),(YX为离散型随机向量，为离散型随机向量， 其概率分布其概率分布为为), 2 , 1,(, jipyYxXPijji则则Z的数学期望为的数学期望为;),(),()(11 jiijjipyxgYXgEZE(2)若若),(YX为连续型随机向量，为连续型随机向量， 其概率密度为其概率密度为)

12、,(yxf则则Z的数学期望为的数学期望为 .),(),(),()(dxdyyxfyxgYXgEZE例例9 设设),(YX的联合概率分布为的联合概率分布为: :8/1008/1308/38/3013210XY求求).(),(),(YXEYEXE 解解 要求要求)(XE和和),(YE需先求出需先求出X和和Y的边缘的边缘分布分布. . 关于关于X和和Y的边缘分布为的边缘分布为4/14/331PX8/18/38/38/13210PY4/14/331PX8/18/38/38/13210PY则有则有23413431)( XE23813832831810)( YE83)21(83)11(0)01()( YX

13、E81)33( . 4/9 81)03(0)31( 0)23(0)13( 例例7设国际市场上对我国某种出口商品的每年需设国际市场上对我国某种出口商品的每年需求量是随机变量求量是随机变量X(单位单位: :吨吨), ,它服从区间它服从区间,20004000上的均匀分布上的均匀分布, ,每销售出一吨商品每销售出一吨商品, ,可为国可为国家赚取外汇家赚取外汇 3 万元万元; ;若销售不出若销售不出, , 则每吨商品需贮则每吨商品需贮存费存费 1 万元万元, ,问应组织多少货源问应组织多少货源, ,才能使国家收益才能使国家收益最大最大?解解 设组织货源设组织货源t吨吨, , 显然应要求显然应要求,400

14、02000 t国家收益国家收益Y(单位单位: :万元万元) 是是X的函数的函数),(XgY 达式为达式为.,4,3)( tXtXtXtXg表表设设X的概率密度函数为的概率密度函数为),(xf则则, 040002000,2000/1)( 其他其他xxf例例7 解解 设设X的概率密度函数为的概率密度函数为),(xf则则, 040002000,2000/1)( 其他其他xxf于是于是Y的期望为的期望为 40002000)(20001)()()(dxxgdxxfxgYE 400020003)4(20001tttdxdxtx).108140002(2000162 tt此组织此组织 3500 吨商品为好吨

15、商品为好. .考虑考虑t的取值使的取值使)(YE达到最大达到最大, , 易得易得,3500 t因因四、数学期望的性质四、数学期望的性质1.设设C是常数，是常数， 则则;)(CCE 2. 若若X是随机变量，是随机变量， 若若C是常数，是常数， 则则);()(XCECXE 3. 若若),(YX是二维随机向量，是二维随机向量，);()()(YEXEYXE 注：注： 推广到推广到n维随机向量，维随机向量，1212()()()().nnE XXXE XE XE X则则4.若若),(YX是二维随机向量，是二维随机向量， 且且YX,相互独立相互独立,则则).()()(YEXEXYE 推广到推广到n维随机向量

16、的情形：维随机向量的情形：),(11 niiniiXEXEnXXX,(21相互独立相互独立).例例8一民航送客车载有一民航送客车载有 20 位旅客自机场开出位旅客自机场开出, ,旅客有旅客有 10 个车站可以下车个车站可以下车. .如到达一个车站没如到达一个车站没有旅客下车就不停车有旅客下车就不停车, ,以以X表示停车的次数表示停车的次数, ,求求)(XE(设每位旅客在各个车站下车是等可能的设每位旅客在各个车站下车是等可能的, ,并设各旅客是否下车相互独立并设各旅客是否下车相互独立). .解解引入随机变量引入随机变量 , 1, 0iX在第在第在第在第ii站没有人下车站没有人下车站有人下车站有人

17、下车, ,.10, 2 , 1 i易知易知.1021XXXX 解解引入随机变量引入随机变量 , 1, 0iX在第在第在第在第ii站没有人下车站没有人下车站有人下车站有人下车, ,.10, 2 , 1 i易知易知.1021XXXX 现在来求现在来求).(XE按题意按题意, ,任一旅客不在第任一旅客不在第i站站下车的概率为下车的概率为,10/9因此因此 20 位旅客都不在第位旅客都不在第i站下车的概率为站下车的概率为,)10/9(20在第在第i站有人下车的站有人下车的概率为概率为,)10/9(120 即即,)10/9(020 iXP,)10/9(1120 iXP.10, 2 , 1 i即即,)10/9(020 iXP,)10/9(1120 iXP.10, 2 , 1 i由此由此,)10/9(1)(20 iXE.10, 2 , 1 i进而进而)()(1021XXXEXE )()()(1021XEXEXE 784. 8)10/9(11020 (次次). .注注: :本题是将本题是将X分解成数个随机变量之和分解成数个随机变量之和, ,然后利然后利用随机变量和的数学期望等于随机变量数学期望之用随机变量和的数学期望等于随机变量数学期望之和来求数学期望的和来求数学期望的, ,这种处理方法具有一定的普遍这种处理