求曲线与方程（2）

1、求求曲曲线线的的方方程程( (轨轨迹迹方方程程) )的的一一般般步步骤骤: : 一一、建建立立适适当当的的坐坐标标系系，设设曲曲线线上上任任一一点点的的坐坐标标，及及相相关关点点的的坐坐标标; ; 二二、( (限限) )找找条条件件，由由条条件件( (代代) )列列方方程程; ; 三三、化化简简方方程程. . 证证明明所所得得方方程程( (可可以以省省略略) )为为所所求求的的曲曲线线方方程程. . 复习：复习：直接法直接法定义法定义法待定系数法待定系数法点差法点差法代入法代入法参数法参数法求曲线方程例1 动点P（x，y）到定点A（3，0）的距离比它到定直线x5的距离少2.求：动点P的轨迹方程

2、O35Axym解法一直接法思考：如何化去绝对值号？P点在直线左侧时，|PH|PA|，不合题意故 x5P如图，PH22(3)(0)52xyx y 212x22(3)(0)3xyx 例1 动点P（x，y）到定点A（3，0）的距离比它到定直线x5的距离少2求：动点P的轨迹方程35Axym解法一 直接法直接法解法二 定义法定义法如图，如图，3n作直线 n：x 3则点则点P到定点到定点A（3，0）与定直线）与定直线 n：x 3 等距离等距离P（x，y）故，点故，点P的轨迹是的轨迹是以以为焦点，为焦点， 以以为准线的抛物线为准线的抛物线An依题设知 x5，y 2 12x22(3)(0)52xyx 22(3

3、)(0)3xyx 所以动点所以动点P的轨迹方程为的轨迹方程为 y 212x例例2已知圆A：(x2)2y21与点A（2，0），B（2，0），分别求出满足下列条件的动点P的轨迹方程.（1）PAB的周长为10；（2）圆P与圆A外切,且点B在动圆P上（P为动圆圆心）；（3）圆P与圆A外切且与直线x1相切（P为动圆圆心）.【分析】（1）根据题意，先找出等价条件，再根据条件判定曲线类型，最后写出曲线方程. （1）|PA|PB|10|AB|6. （2）|PA|PB|1. （3）P点到A的距离比P点到直线x1的距离多1，即P点到A的距离等于P点到直线x2的距离.定义法定义法【解析】(1)根据题意，知|PA|P

4、B|AB|10，即|PA|PB|64|AB|，故P点的轨迹是椭圆，且2a6，2c4，即a3，c2，b ，因此其方程为 （2）设圆P的半径为r，则|PA|r1，|PB|r，因此|PA|PB|1. 由双曲线的定义知，P点的轨迹为双曲线的右支，且2a1，2c4，即a ，c2，b ，因此其方程为5221095xyy12152224141152yxx （3）依题意，知动点P到定点A的距离等于到定直线x2的距离，故其轨迹为抛物线，且开口向左，p4因此其方程为y28x.【小结】解题时应注意动点的几何特征，若盲目进行代数运算则可能较繁琐.例3等腰直角三角形ABC中，斜边BC长为 ，一个椭圆以C为其中一个焦点，

5、另一个焦点在线段AB上，且椭圆经过点A，B求：该椭圆方程24O解xyACBO|BC| =24如图，D设椭圆的另一个焦点为D以直线DC为x轴，线段DC的中点为原点建立直角坐标系设椭圆方程为22221xyab（ab0)则|AD|AC|2a，|BD|BC|2a 所以，|AD|BD|AC|BC|4a即8 4 2 4a待定系数法待定系数法例3 等腰直角三角形ABC中，斜边BC长为 ，一个椭圆以C为其中一个焦点，另一个焦点在线段AB上，且椭圆经过点A，B求：该椭圆方程24O解xyACBO得22a D|AD|AC|2a|AC|24242|AD|22在ADC中|DC|2|AD|2|AC|2( )2162422

6、2cc2 6，b2 a2c2(2 )2624故所求椭圆方程为22164242xy注：重视定义！注：重视定义！2xy0ABCMl点差法点差法xy0ABCMlO【小结】 （1 1）“ “轨迹轨迹” ”与与“ “轨迹方程轨迹方程” ”是两个不同的是两个不同的概念，前者要指出曲线的形状、位置、大小等特征，概念，前者要指出曲线的形状、位置、大小等特征，后者指方程后者指方程( (包括范围包括范围). ).（2 2）求动点轨迹时应注意它的）求动点轨迹时应注意它的完备性与纯粹性完备性与纯粹性. .化简过程若破坏了方程的同解性，要化简过程若破坏了方程的同解性，要注意补上遗漏的点或者要挖去多余的点注意补上遗漏的点

7、或者要挖去多余的点. .()xy，CABDxy0代入法代入法例例5 5ABC的顶点的顶点B，C的坐标分别为的坐标分别为(0，0)、(4，0)，AB边上的中线的长为边上的中线的长为3，求顶点求顶点A的轨迹方程的轨迹方程. .定义法定义法()xy，MCABDxy0例例5 5ABC的顶点的顶点B，C的坐标分别为的坐标分别为(0，0)、(4，0)，AB边上的中线的长为边上的中线的长为3，求顶点求顶点A的轨迹方程的轨迹方程. . 例6设椭圆与双曲线有公共的焦点F1（-4，0），F2（4，0），并且椭圆的长轴长是双曲线实轴长的2倍，试求椭圆与双曲线交点的轨迹.参数法参数法【解析】法一：设双曲线实半轴长为a

8、,则椭圆的长半轴长为2a，由题意得2a4，由半焦距为4，可得椭圆与双曲线方程为： 设点P的坐标为（x,y），A（x1,y1）, B(x2,y2), 因A，B在椭圆上，所以 由4可得2222116xyaa222214416xyaa22223416yyaa222(4)(16)4aay即 ，将此式代入式可得a22|x|， 再把代入式，消去a，得 当x0，得（x5）2y29; 当x0，得（x5）2y29; 由2a4，得2|x|8. 所以，所求轨迹为两个圆，并除去它们与y轴的交点.221816 8xyxx，法二：设椭圆与双曲线交点法二：设椭圆与双曲线交点P（x，y），）， 由椭圆与双曲线的定义及已知条件

9、，可得由椭圆与双曲线的定义及已知条件，可得 |PF1|PF2|2|PF1|PF2|， 即即|PF1|3|PF2|或或|PF2|3|PF1|， 将将P点坐标（点坐标（x，y）代入，化简可得）代入，化简可得 （x5）2y29及（及（x5）2 y29. 因交点因交点P不会在不会在x轴上，轴上，y0，故故2|x|8， 所以所求轨迹方程是所以所求轨迹方程是（x5）2y29（y0），），（x5）2y29（y0）.轨迹为两个圆，并除去它们与轨迹为两个圆，并除去它们与y轴的轴的交点交点. .【小结】由于探讨的对象是由于探讨的对象是“交点的轨迹交点的轨迹”，求，求轨迹方程的过程是一个创造性的轨迹方程的过程是一个

10、创造性的“建模建模”过程，并不过程，并不能完全依靠已有，因此，充分认清题设条件后或选择能完全依靠已有，因此，充分认清题设条件后或选择适当的参数，建立方程组，消去参数后就得适当的参数，建立方程组，消去参数后就得“交点轨交点轨迹方程迹方程”（如方法一）或选择根据几何等式的传递，（如方法一）或选择根据几何等式的传递，构建新的几何条件（如方法二）都是常见的解题思构建新的几何条件（如方法二）都是常见的解题思路路1 1求圆锥曲线的轨迹方程要注意利用圆锥曲线求圆锥曲线的轨迹方程要注意利用圆锥曲线的定义解题，从而简化解题过程的定义解题，从而简化解题过程. . 2 2求关于求关于轴对称的曲线的方程的一般步骤：（

11、轴对称的曲线的方程的一般步骤：（1）设所求曲线上任一点设所求曲线上任一点P(x，y)；（；（2）求出其关于点或轴）求出其关于点或轴对称的点对称的点p(x，y)；（；（3）将）将p坐标代入已知曲线得所求坐标代入已知曲线得所求曲线方程曲线方程. . 3 3涉及多个动点的轨迹问题，可用动点代入法或涉及多个动点的轨迹问题，可用动点代入法或参数法求解，分清主动点和从动点，选择适当参数是参数法求解，分清主动点和从动点，选择适当参数是解题的关键解题的关键. . 4 4求轨迹要注意取值范围和求轨迹要注意取值范围和“ “杂点杂点” ”的去除的去除. .规律总结规律总结 基础训练1动点P与定点A(1，0)，B(1

12、，0)的连线的斜率之积为1，则P点轨迹方程是 【解析】直接法x2y21(x1)2设设P为双曲线为双曲线 上一动点，上一动点，O为坐标为坐标原点，原点，M为线段为线段OP的中点，则点的中点，则点M的轨迹的轨迹方程方程为为2214xy 【解析】（代入法）设P(x1，y1)，M(x，y)则x12x，y12y，代入得x24y21x24y213两条直线axy10和xay10(a1)的交点的轨迹方程是222222(1)0111()()222(1)0 xyxyxy 且 【解析】（参数法） axy10， xay10. yx得y2yx2x0， 即 . a1 x1 x0 y0 且 y122111()()222xy

13、 4 4已知两圆已知两圆C1：(x4)2y22，C2：(x4)2y22，动圆动圆M与两圆与两圆C1，C2都相切，则动圆圆心都相切，则动圆圆心M的轨迹方的轨迹方程是程是【解析】( (定义法定义法) )动圆动圆M与两圆与两圆C1，C2都都要相切，有要相切，有四种情况：四种情况：动圆动圆M与与两圆都相外切，两圆都相外切，动圆动圆M与两圆都相内切；与两圆都相内切；动圆动圆M与圆与圆C2内切、与圆内切、与圆C1外切；外切；动圆动圆M与圆与圆C1内切、与圆内切、与圆C2外切外切. .221024xyx或 在情况下，显然，动圆圆心M的轨迹方程为x0；在的情况下，如图设动圆M的半径为r，则|MC1|r ，|M

14、C2|r ，故得|MC1|MC2|2 ；在的情况下，同理得|MC2|MC1|2 . 由得|MC1|MC2|2 . 根据双曲线定义，可知点M的轨迹是以C1（4，0）、C2（4，0）为焦点的双曲线，且a ，c4，b2c2a214，其方程为22124xy222222221024xyx或 所求轨迹方程为：所求轨迹方程为： 知识要点1求轨迹方程的一般步骤建系、设点、列式、代入、化简、检验（检验就是要检验点的轨迹的纯粹性和完备性） 2求轨迹方程的常用方法 （1）直接法：题目中的条件有明显的等量关系，或者可以利用平面几何知识推出等量关系，列出含动点（x，y）的解析式. （2）定义法：分析题设几何条件，根据圆锥曲线的定义，判断轨迹是何种类型的曲线，直接求出该曲线的方程. （3）代入法：如果轨迹动点P（x，y）依赖于另一动点Q（a，b），而Q（a，b）又在某已知