第11课时——函数的奇偶性（2）教师版

1、听课随笔第十一课时 函数的奇偶性（2）【学习导航】 学习要求 1熟练掌握判断函数奇偶性的方法；2熟练单调性与奇偶性讨论函数的性质；3能利用函数的奇偶性和单调性解决一些问题【精典范例】一函数的单调性和奇偶性结合性质推导：例1：已知y=f(x)是奇函数，它在(0，+)上是增函数，且f(x)<0，试问：F(x)=在(，0)上是增函数还是减函数？证明你的结论思维分析：根据函数单调性的定义，可以设x1<x2<0，进而判断：F(x1) F(x2)= =符号解：任取x1，x2(，0)，且x1<x2，则x1>x2>0因为y=f(x)在(0，+上是增函数，且f(x)<0

2、，所以f(x2)<f(x1)<0，又因为f(x)是奇函数所以f(x2)= f(x2)，f(x1)=f(x1)由得f(x2)>f(x1)>0于是F(x1) F(x2)= 所以F(x)=在(，0)上是减函数。【证明】设，则，在上是增函数，是奇函数，在上也是增函数说明：一般情况下，若要证在区间上单调，就在区间上设二利用函数奇偶性求函数解析式：例2：已知是定义域为的奇函数，当x>0时，f(x)=x|x2|，求x<0时，f(x)的解析式解：设x<0，则x>0且满足表达式f(x)=x|x2|所以f(x)= x|x2|=x|x+2|又f(x)是奇函数，有f(x

3、)= f(x)所以f(x)= x|x+2|所以f(x)=x|x+2|故当x<0时F(x)表达式为f(x)=x|x+2|.3：定义在（2，2）上的奇函数在整个定义域上是减函数，若f(m1)+f(2m1)>0，求实数m的取值范围解：因为f(m1)+f(2m1)>0所以f(m1)> f(2m1)因为f(x)在(2，2)上奇函数且为减函数所以f(m1)>f(12m)所以所以<m<追踪训练一1. 设是定义在R上的偶函数,且在0，+)上是减函数,则f()与f(a2a+1)（）的大小关系是 （B ） A f()<f(a2a+1)B f()f(a2a+1)C f

4、()>f(a2a+1)D与a的取值无关2. 定义在上的奇函数，则常数 ， ；3. 函数是定义在上的奇函数，且为增函数，若，求实数a的范围。解：定义域是 即 又 是奇函数 在上是增函数 即 解之得 故a的取值范围是思维点拔：一、函数奇偶性与函数单调性关系若函数是偶函数，则该函数在关于对称的区间上的单调性是相反的，且一般情况下偶函数在定义域上不是单调函数；若函数是奇函数，则该函数在关于对称区间上的点调性是相同的追踪训练1已知是偶函数，其图象与轴共有四个交点，则方程的所有实数解的和是 （C） 4 2 0 不能确定2. 定义在(，+)上的函数满足f(x)=f(x)且f(x)在(0，+)上，则不等式f(a)<f(b)等价于( C )A.a<bB.a>bC.|a|<|b|D.0a<b或a>b03. 是奇函数，它在区间（其中）上为增函数，则它在区间上（D） A. 是减函数且有最大值 B. 是减函数且有最小值 C. 是增函数且有最小值 D. 是增函数且有最大值4已知函数ax7+6x5+cx3+dx+8，且f(5)= 15，则f(5)= 31 5定义在实数集上的