第4章锐角三角函数

1、第4章 锐角三角函数4.1正弦和余弦 第1课时 正弦学习目标1、 会求直角三角形中锐角的正弦2、 会利用正弦值求直角三角形中的边3、 掌握直角三角形勾股定理的综合运用知识梳理1、 探究直角三角形的直角边与斜边的比规 律：在有一个锐角的所有直角三角形中的对边与斜边的比值是一个 。2、 正弦定 义：在直角三角形中，锐角的 与 的比叫作的正弦，记住，即= 。范 围：01。课堂探究类型之一 求直角三角形中锐角的正弦例1 如图，ABC中，ACB=90°,CDAB于D.AD=4,CD=3,求、的值。类型之二 求直角三角形的边长例2 如图，在ABC中，A=30°,B=45°,A

2、C=8,求AB,BC的长。当堂测评10分钟1、（20分）在ABC中，C=90°,AB=2,AC=1,则的值是（ ）A、 B、 C、 D、22、（20分）在ABC中，C=90°, =,则的值（ ）A、 B、 C、 D、3、（20分）在ABC中，C=90°，AB=10,AC=8则的值是（ ）A、 B、 C、 D、4、（20分）将RtABC各边长都扩大为原来的5倍，则的值是（ ）A、变大 B、变小 C、不变 D、不能确定5、（20分）如图，在RtABC中，CD是斜边AB上的高，则下列线段的比不等于的是（ ）A、 B、 C、 D、BDCA第4章锐角三角函数4.1正弦和余弦

3、 第1课时 正弦课后练习1、在RtABC中，C=90°,A、B、C的对边分别是a、b、c，则= ，= 。2、如图在RtABC中，C=90°,AB=6, =,则BC= ，AC= 3、已知RtABC中，C=90°那么的值（ ）A、与AB的大小有关 B、与BC的大小有关C、与AC的大小有关 D、与A的大小有关4正方形网格中，AOB如图放置，则sinAOB的值为()A 、 B、C、 D、 25、已知ABC中，AB=17,AC=8,BC=15,求、；6、已知，在ABC中，C=90°,AB=13,BC=5(1)求AC；（2）求、；（3）计算的值。7、在ABC中，AB

4、=AC=10,BC=12,求的值。8、如图所示，已知在ABC中，A的两边长分别为b,c .求证：第2课时 余弦学习目标1、 会求直角三角形中锐角的余弦2、 会求特殊角的正、余弦值的有关计算3、 掌握互余两角的正余弦的关系4、 会利用锐角的余弦值求直角三角形的边5、 掌握方程思想与函数的综合应用知识梳理1、 30°、45°、60°角的正弦值特 殊 角： ， ， 。2、余弦的定义定 义：在直角三角形中，锐角的 邻边 与斜边 的比叫作的余弦，记作，即= 。范 围：对于任意锐角都有01。课堂探究类型之一 特殊角的正弦与余弦例1计算+-类型之二 求锐角的正、余弦例2 RtA

5、BC中，C=90°,AC:BC=12:5,求、的值。类型之三 求直角三角形的边例3 如图，矩形ABCD中，DEAC于E,设ADE=,且=，AB=4, AD的长为（ ）A、3 B、 C、 D、当堂测评10分钟1、（20分）在RtABC中，已知C=90°,A=30°,则的值是（ ）A、 B、 C、 D、12、（20分） 下列各式中正确的是（ ）A、= 30° B、60°=(2×30°)=230° C、°+ 45°=1 D、°=°3、（20分）已知，在ABC中，C=90°

6、，A,B，C所对的边分别是a,b,c,且c=3b，则等于（ ）A、 B、 C、 D、4、（20分）如图，在RtABC中，已知ACB=90°,ABDCCDAB于D点，AC=4,BC=3, 则BCD的值是（ ）A、 B、 C、 D、5、（20分）在RtABC中，C=90°, =，则AC:BC:AB的结果为（ ）A、 3:4:5 B、 4:3:5 C、 3:5:4 D、5:4:3第2课时 余弦课后练习1在RtABC中，C=90°，BC=3,AC=4,则= , = 。CBA2如图，在RtABC中，C=90°，AB=8，=，则AC的长为 。3在RtABC中，C=9

7、0°，AB=13,AC=12,则= , = 。430°= ，45°= ，60°= 。5计算°·°-= 。6在RtABC中，C=90°，A=2B，则 等于（ ）A、 B、 C、 D、7.如图，在平面直角坐标系中，点P（3，4）是第一象限内的点，且OP与x轴正半轴的夹角，则cos的值为xyP(3,4)oA B. C. D. 8在RtABC中，C=90°，下列各式中正确的是（ ）A B C D 9如果A为锐角，且=,则（ ）A 0°A30° B 30°A45°C 45&#

8、176;A60° D 60°A90°10. 如图，在直角坐标系内，O为原点，点A的坐标为（10，0）点B在第一象限内，BO=2，BOA= 60°.求 （1）点B的坐标；COBA（2）BA0的值11. 如图，在RtABC中，C=90°，B=30°，AD是A的平分线,AB=，求DCBA（1）AC的长，（2）CAD的度数，（3）AD的长第3课时 同角间的正、余弦的关系学习目标1、 已知一角的正弦（余弦），求该角的余弦（正弦）2、 掌握正、余弦函数的综合应用知识梳理1、 同一锐角的正弦与余弦的关系平方关系：若是锐角，则=1。2、知识归纳概 念

9、：在直角三角形中，一个锐角为，则 ， 。注 意：当为锐角时，。特 殊 角：特殊角的正弦、余弦值： ， ， ； ， ， 。关 系：互余两角正、余弦之间的关系 ， 。课堂探究类型之一 根据正弦、余弦定义计算例1 已知ABC中，C=90°,求的值。类型之二 互余两角的正弦与余弦的关系例2 在RtABC中，已知C=90°,若=0.4321，则= 。类型之三 正弦、余弦的应用例3 在等腰ABC中，AB=AC=10，BC=12,则的值是（ ）A、 B、 C、 D、 当堂测评10分钟1、（20分）已知B为锐角且=0，则的值为（ ）A、 B 、 1 C、 D、 2、（20分）在ABC中，C

10、=90°,若=,则的值为（ ）A、 B、 C、 D、 3、（20分）在ABC中，=,=,则ABC为（ ）A、锐角三角形 B、钝角三角形C、直角三角形 D、等腰直角三角形4、（20分）已知A为锐角且，那么（ ）A、0°A60° B、60°A90°C、0°A30° D、30°A90°5、（20分）RtABC中，C=90°, = b=8，则c的值为（ ）A、12 B、24 C、10 D、20第3课时 同角间的正、余弦的关系课后练习1、若锐角A满足,则A= 。2、已知锐角满足，则的大小关系是 。3、若为

11、锐角，则= 。4、在ABC中，A=30°,B-C=60°,BC=2,则AC= 。5、在ABC中，若|sinA|+（cosB）2=0，则C的度数是（）A30°B45°C60°D90°6、若为锐角，则的值（ ）A、大于1 B、等于1 C、小于1 D、大于0且小于17、若A、B、C是三角形三个内角，则等于（ ）A、 B、 C、 D、8、计算（1） （2）9、如图，在矩形ABCD中，AEBC，EC=8,求菱形的面积。10、如图，在矩形ABCD中，DEAC,AB=6,求AD的长。11、试求4.2正切学习目标1、掌握视角、仰角、俯角的概念2、掌握

12、正切的定义3、掌握特殊角的正切值的计算与应用4、掌握运用计算器求锐角的正切值和逆运算5、掌握锐角三角函数的综合运用6、掌握公式的运用知识梳理1、 仰角、俯角的概念（如图）正切的定义：如图，在直角三角形中，锐角 与 的比叫角的正切，记作 。3、特殊角的正切函数值特 殊 角：= ，= ，= 。课堂探究类型之一 特殊角的正弦、余弦、正切函数值的综合应用例1 计算：（1）；（2）类型之二 应用三角函数的知识解决简单的实际问题ECBA例2 如图，小颖利用有一个锐角是30°的三角板测量一棵树的高度，已知她与树之间的水平距离BE为5m，AB为1.5m（即小颖的眼睛距地面的距离），那么这棵树高CE是

13、（ ） A、（）m B、（）m C、m D、4m类型之三 由锐角的一种三角函数值求其他三角函数值例3、已知ABC，C=90°,=3,c=4,求A的三个三角函数值。当堂测评10分钟1、（20分）已知,则锐角A= 。2、（20分）ABC中，C=90°，若,则 。3、（20分）在ABC中，C=90°, ,AC=6,则BC= .4、（20分）在直角坐标中，ABC的三个顶点坐标分别为A(-4,1) B(-1,3) C(-4，3)则= 。5、在ABC中，C=90°,，则A= 。4.2正切课后练习1、在ABC，C=90°,则的值（ ）A、 B、 C、 D、

14、2、在ABC中，已知=，则ABC是（ ）A、锐角三角形 B、直角三角形C、钝角三角形 D、不能确定3、已知C=90°,在ABC中，的值为（ ）A、 B、0 C、1 D、24、.如图，如图3，在平面直角坐标系中，点P（3，m）是第一象限内的点，且OP与x轴正半轴的夹角的正切值为，则sin的值为（ ）A B. C. D. 5、在ABC中，C=90°,则A、B的对边a,b之间的关系是（ ）A、a=2b B、b=2aC、a+b=1 D、a=b6、已知，则锐角= 。7、若,则锐角A= 。8、在ABC中，C=90°,AB=2,BC=,则= .9、在ABC中，已知C=90

15、76;，sinA+sinB=，则sinAsinB=10、直线与轴相交所成的锐角的正切值为，求直线的解析式。11、如图，在ABC中C=30°,BAC=105°,ADBC,AC=2,求BC的长。12、等腰三角形的两边分别是4和6，求底角正切值。4.3 解直角三角形及其应用第1课时 解直角三角形学习目标1、 掌握直角三角形的边角关系2、 掌握解直角三我形的定义3、 掌握解直角三角形的类型知识梳理1、 直角三角形的边角关系边角示意：如图，在RtABC中,C=90°,A,B,C的对边分别记作a,b,c。三边关系： （勾股定理）互余关系： 。边角关系:，2、 解直角三角形定

16、义：在直角三角形中，由除直角外的已知元素（至少有一个是边），求出未知元素的过程叫解直角三角形。提 醒：在解直角三角形的定义中，除直角外的5个元素，知道的2个元素中，至少有一个元素是边。3、解直角三角形的四种基本类型类型已知条件（两个）解 法1 一条直角边和一个锐角（a，A）(1)B=90°-A(2) (3) 2斜边和一个锐角（c，A）(1)B=90°-A(2) (3)或 3两条直角边（a,b）（1）（2）（3） B=90°-A4斜边和一条直角边（c,a）（1）（2）（3） B=90°-A原 理：（1）有“斜”选“弦”，无“斜”选“切”；（2）尽量使未知元

17、素在分子的位置上，以便用乘法运算求未知元素；（3）尽量使用原始数据，以减少误差的积累，也可避免由于中间数据有错而产生新的误差。课堂探究类型之一 已知直角三角形一边及一锐角解直角三角形例1 如图，在RtABC中，C=90°,B=30°,b=20,解这个直角三角形。（精确到0.1）类型之二 已知直角三角形两边解直角三角形例2：如图所示,在RtABC中,C=90°,AC=,BC=,解这个直角三角形。例3 如图所示，在RtABC中，C=90°,B=30°,D是BC上一点，ADC=45°,AC=4,求BD.当堂测评10分钟1、（20分）在ABC

18、中，C=90°,b=5,则B= ,C= 。2、（20分）在ABC中，C=90°,a=，c=，则b= ，A= ,B= .3、在ABC中，C=90°,A=30°,c-a=2,则B= ,a= ,b= ,c= .4、（20分）在ABC中，C=90°,已知b与A，则下列关系中不正确的是（ ）A、 B、 C、 D、5、（20分）在ABC中，C=90°,已知A及A的对边a，则斜边为（ ）A、 B、 C、 D、4.3 解直角三角形及其应用第1课时 解直角三角形课后练习1、在ABC中，C=90°,AC=2,BC=3,下列各式正确的是（ ）A、

19、 B、 C、 D、 2、在ABC中，C=90°,若,AB=4,则AC的长为（ ）A、2 B、 C、8 D、3、在ABC中，A=60°,AC=1,BC=,那么B为（ ）A、30° B、60° C、30°或150° D、60°或120°4、若等腰三角形的底角为30°，腰长为6，那么它的面积为（ ）A、4.5 B、 C、 D、365、如图，在ABC中，C=90°,B=40°AB=m,BCA则BC的长为（ ）A、 B、C、 D、6、在ABC中，C=90°，a=，b=3，则A= ,c=

20、 。7、在ABC中，C=90°，A=30°,b=6,则a= 。c= 。8、在ABC中，C=90°，c-b=8-,A=30°则a= .9、在菱形ABCD中，对角线AC=12,BD=8,则= .10、如图，在ABC中，C=90°,AC=6,BAC的平分线AD=,求B,AB,BC的长。第2课时 用解直角三角形的方法解决水平面与垂直面的问题学习目标1、 掌握解直角三角形在水平面和垂直面方面应用2、 掌握建立数学模型的方法。知识梳理1、 用解直角三角形知识解决水平面内的实际问题2、用解直角三角形知识解决垂直面内的实际问题。仰 角：视线在水平线上方且与水平

21、线的夹角。俯 角：视线在水平线的下方且与水平线的夹角课堂探究类型之一 解直角三角形在水平面内的应用例1 去年某省将地处A、B两地的两所大学合并成了一所综合性大学，为了方便A、B两地师生的交往，学校准备在相距2km的A、B两地之间修筑一条笔直公路（即图中的线段AB）,经测量，在A地的北偏东60°方向、B地偏西45°方向的C处有一个半径为0.7km的公园，问计划修筑的这条公路会不会穿过公园。类型之二 解直角三角形在垂直面内的应用DCAB例2 如图，河对岸有一铁塔AB，在C处测得塔顶A的仰角为30°，向塔前进16米到达D,在D处测得A的仰角为45°，求铁塔AB

22、的高。当堂测评10分钟1、（30分）如图，某飞机在空中A处探测地面目标B，此时从飞机看目标B的俯角为30°，飞行高度AC=1200m，则飞机到目标B的距离AB为（ ）A、1200m B、2400m C、400m D、1200m2、(30分)如图，坡角为30°的斜边上有两树间的水平距离AC=4，则两树间的坡面距离AB为（ ）A、8m B、m C、m D、mOAB3、（40分）如图，机器人从A点沿着西南方向行了个单位到过B点观察原点O在它的南偏东60°的方向上，则原来A的坐标为 。（结果保留根号）第2课时 用解直角三角形的方法解决水平面与垂直面的问题课后练习1、小明从

23、A点出发以和河岸成30°角的方向游泳600米到河对岸B处，则河宽 米。2、小王站在地面上，看四楼阳台上的小红，其仰角为60°，那和小红看小王的俯角是 。3、如图，某校的科技楼与教学大楼相对而立，两楼间的距离AC=10米，某学生在上实验操作课时，在科技楼底A处测得教学楼顶B的仰角为45°，在教学楼底C处，测得科技楼顶D处的仰角为60°，则科技楼的高度比教学楼的高度高 。4、一棵树被风吹折，如图折断部分与地面成30°角，若树尖A着地处与树根C的距离是米，则原树高为（ ）米A、5 B、10 C、15 D、（）5、如图，在高楼前D点测得楼顶的仰角为30

24、°，向高楼前进60米到C点，又测得仰角为45°，则该高楼的高度大约为（ ）A、82米 B、163米C、52米 D、70米6、如图，两建筑物的水平距离为a米，从A测得D点的俯角为，测得C点的俯角为，则较低建筑物CD的高为( )米。 DCBAA、a B C、 D、7、2013年3月，某煤矿发生瓦斯爆炸，该地救援队立即赶赴现场进行救援，救援队利用生命探测仪在地面、两个探测点探测到处有生命迹象.已知、两点相距4米，探测线与地面的夹角分别是和，试确定生命所在点的深度.（精确到0.1米，参考数据：，）8如图，小方在五月一日假期中到郊外放风筝，风筝飞到C 处时的线长为20米，此时小方正好

25、站在A处，并测得CBD=60°，牵引底端B离地面1.5米，求此时风筝离地面的高度（结果精确到个位）第3课时 用解直角三角形的方法解决梯形问题学习目标1、 掌握解直角三角形的四边形中的应用2、 掌握坡角、坡度的有关概念3、 掌握坡角、坡度的应用4、 逐步具备“转化”思想方法知识梳理1、 梯形与直角三角形转 化：梯形常化归成矩形有直角三角形来解，如图:：2、 解直角三角形在梯形中的应用问题转化：将生活应用问题转化为数学模型应 用 一：求等腰梯形的高。方 法：把梯形的高放到直角三角形的直角边上去。应 用 二：求一腰与下底的角。方 法：把下底角放到直角三角形的锐角中。3、 坡度的表达形式定

26、义：竖直的高度与水平前进距离的比叫作坡度，用字母表示，即4、 坡度的表达形式比 例 式：坡度通常写成1：m5、 坡角定 义：坡面与地平面的夹角叫作坡角。6、坡度与坡角之间的关系公 式：课堂探究类型之一 解直角三角形知识在菱形中的运用例1 若菱形的周长为24，两相邻角的度数之比是12，则菱形的面积是多少？DCBA类型之二 解三角形知识在梯形中的运用CBAD例2 如图，梯形ABCD中，AD/BC,AB=CD,AD=6,BC=14,，求.类型之三 坡角、坡度的运用例3 ,如图，拦洪坝的横断面为梯形ABCD，已知上底BC=5m，迎水平坡度，背水坡度，坝高4m，求：（1） 下底AD的长（精确到1m）；（2） 迎水坡CD的长；（3） 坡角。CBAD类型之四 由不同坡比构建不同的直角三角形求ADCB例4 如图，拦水坝的横断面为等腰梯形ABCD,坝顶宽BC为6m，坝高为3.2m，为了提高水坝的拦水能力，需要将水坝加高2m，并且操持坝顶宽度不变，迎水坡CD 的坡度不变，但是背水坡度由原来的 ，求加高后的坝底HD的长为多少。当堂测评10分钟CBA1、（20分）如图，斜坡AB=50m，若它的水平距离AC为30m，则斜坡AB的坡度= 。2、（20分）