第10讲求二次函数最值

1、第十讲 求二次函数的最值主讲人 仇慧珍【知识链接】1.已知二次函数的最小值为1， 若把函数图象向右平移一个单位， 则其最小值为 。2.若函数231yxkx的图象与 x轴无公共点，则k的取值范围为 。 12 32 3x222, 55,yxaxx 55x a2343yxmxm 221,01yxxax 3.已知函数若使函数在上y随x的增大而增大，则实数的取值范围为 。 4. 求函数的最大值为 。5. 若函数的最大值为2，则= 。 a5a 24393mm0【知识建构知识建构】2226,yxm x01x1.已知函数若，求该函数的最大值。2 24()6,yxmm2xm 0,yx2max1,25.xym解：

2、开口向上，在范围内随着的增大而增大，对称轴在范围的左侧，当对称轴为：01 x2xm 2. 函数221,12,yxaxx若求该函数的最大值与最小值。1232xxa xa xa xa 分析：求最值，无论轴动、还是范围动，均把范围看着不动、只要平移对称轴看对称轴与范围及中点的位置关系即可，此题为动轴定范围求最值，分四种情况。 22()1,yxaa,xa x32解：开口向上，对称轴为的范围两端点的中点为结合图象得：1,a 1,a 2,x max45ya1,x min22ya (1) 即当当 31,2a 312a 2,x max45ya,xa 2min1ya (2)即当当 1232xa 1232xa 3

3、22a 322a 1,x max22ya,xa 2min1ya 2a 2a 1,x max22ya2,x min45ya(3) 即当当（4）即当当1232xa 1232xa xx注意：数形结合、分类讨论。2142ayxax 01xa3.已知函数已知函数当当时，其最大值为时，其最大值为2， x012ax 2ax 2ax 求实数求实数 的值。的值。 分析：先求动轴定范围最大值，再分析：先求动轴定范围最大值，再令最大值为令最大值为2，结合，结合 范围求范围求 , 分三分三种情况种情况aa222()24aaayx 2ax (1)0,2a0,a 0,x max126.42aya 解：对称轴为,结合图象得

4、： 即当01x2ax 01,2a02,a,2ax 2max22,3, 24aaya02,a（2 2）即当又则舍去。12a2a 1,x max32102,43ayaa106,3(3)即当 则的值为01x2ax 01x2ax 23yxaxa22x 0y a4. 已知，若时，恒成立，求的取值范围。分析：要使y0恒成立，即要使二次函数在定范围内的最小值恒大于0，结合图象，分三种情况。-22 x2ax 2ax 2ax 22412()24aaayx.2ax 22x 0y y(1)2,2a 4,a 2,x min7730,3yaa4a a对称轴当恒成立，即要使最小值恒大于0。结合图象得：即当又，则无解舍去

5、解：-2 2x2ax 的22,2a 44a ,2ax 2min4120,4aay 44,a a42a 2,2a 4,a 2,x min70,7yaa a74.a (2) 即当又则的范围为(3)即当则的范围为。62,a 又4,a -22x2ax -22x2ax 1 1、二次函数值小于、二次函数值小于0 0在范围内在范围内恒成立问题，等价于求其在范恒成立问题，等价于求其在范围内最大值恒小于围内最大值恒小于0. 0. 2 2、若二次函数值大于、若二次函数值大于0 0在范围内在范围内恒成立，等价于求其在范围内最恒成立，等价于求其在范围内最小值恒大于小值恒大于0.0. 解题解题回顾回顾【学习诊断学习诊断

6、】222(2)3,yxmx102x23yxax (04)x 的最小值为 。2. 求函数的最大值。3x042ax 2ax 2ax 1.二次函数2212()24aayx 2ax (1)0,2a0,a 0,x max3.y解：开口向下，对称轴为即04,2a08,a,2ax 2max12.4ay(3)4,2a8,a 4,x max413.ya(2)(2)即当即当当当x2ax xx0404402ax 2ax 221,01yxaxax a3. 若函数的最大值为2，求实数的值。 分析：动轴定范围，求最大值，再令最大值等于2，结合 的范围 ，求出 的值。 aa22()1,yxaaa ,xa(1)0,a 0,x

7、 max121yaa 解：开口向下，对称轴为当(2)01,axa2max1512,2yaaa 01aa(3)1,a 1,x max2yaa1,2.当 又则无解舍去。当则的值为01xax01xax01xax212,2yxaxa 0,a 02x0y a4. 已知函数且时，恒成立，求的取值范围。022ax 2ax a分析：要使y0恒成立，即要使二次函数在动轴定范围内，最大值恒小于0。因为对称轴x= /2大于等于0，结合图象，则分两种情况。2228()24aaayx 0a 2ax 002,x0y y 解：开口向下，又对称轴恒成立，则要使的最大值恒大于0。 当(1)02,2a2ax 即当04a2max2

8、80,424aaya 04a02a 又02x2ax 2,2a4,a 2,x max51260,25yaa4a a(2) 即当又 则无解舍去。02x2ax 02a 【巩固练习】243yxx ( 14)x x1.求二次函数的最大值及取得的值。223yxx(0)xaa2.已知的最大值为3，最小值为2，求的取值范围。最大值时max2,7xy12a243,yxx 1txt 3. 3. 求函数求函数在并求最大值函数的最大值。分析：先求定轴动范围二次函数最大值的解析式，再把t t作为自变量，求最大值函数的最大值。上最大值的解析式，2(2)1,yx 2x (1)2,t 2max,43xt ytt 2max(2

9、)1,yt 2t 解：对称轴当又当t=2 时，最大值函数的最大值为1.(2)21tt 12,t max2,1xy(3)12,t 1,t 2max1,2xtytt 2(1)1,yt 1,t 即当则最大值函数的最大值为1.即当又最大值函数的最大值为1.当t=1时，又2yxaxb02x1,4, a b4. 若函数在上有最小值最大值2，求的值。 分析：动轴定范围求最值，构造 等式，结合 范围，数形结合，分四种情况求出 的值。021a, a b, a b2ax 2ax 2ax 2ax 224()24abayx2ax x解：开口向上，对称轴的范围两端点的中点为1.0,a 0,x min1.4yb 2,x

10、max422.yab71,.84ab 0a 即当当联立解得又则不符合题意舍去。02 x2ax (1)02a012a 20a ,2ax 2min41.44bay 2,x max422.yab1,0.ab (2)即当联立解得(3)12,2a 42a ,2ax 2min4144bay 0,x max2yb3,a 42a 3,2.ab 即当当联立解得又022ax 022ax 11当(4)2,2a4,a max0,2;xybmin12,42,4xyab 25,2.8ab 4a 即当当联立解得又不符合题意舍去。 则 的值为 a10ab 32ab 或02 x2ax 1解题回顾1、求二次函数最值，无论轴动、还是范围动，数