高等数学中值定理的题型与解题方法

1、精选优质文档-倾情为你奉上高等数学中值定理的题型与解题方法高数中值定理包含：1.罗尔中值定理(rolle); 2.拉格朗日中值定理(lagrange); 3.柯西中值定理(cauchy); 还有经常用到的泰勒展开式(taylor), 其中，一定是开区间.全国考研的学生都害怕中值定理，看到题目的求解过程看得懂，但是自己不会做，这里往往是在构造函数不会处理，这里给总结一下中值定理所涵盖的题型，保证拿到题目就会做。题型一：证明： 基本思路，首先考虑的就是罗尔定理(rolle)，还要考虑极值的问题。例1. 在可导，证明：存在，使得.分析：由，容易想到零点定理。证明：，存在，使得， 又，同号，存在，使得

2、，所以根据罗尔中值定理：存在，使得.例2. 在内可导，证明：存在，使得证明：（1），在使得上有最大值和最小值， 根据介值性定理，即存在，使得，（2），所以根据罗尔中值定理：存在，使得.例3. 在三阶可导，证明：存在，使得证明：（1），存在，使得，（2），所以，存在，使得，（3），所以，存在，使得，例3. 在内可导，证明：存在，使得证明：，存在，使得，又在内可导，存在，使得题型二：证明：含，无其它字母基本思路，有三种方法：（1）还原法。能够化成这种形式例1. 在可导，证明：存在，使得.分析：由， 证明：令 ，存在，使得，而存在，使得例2. 在可导，证明：存在，使得.分析：由， 证明：令 ，存在，

3、使得，而即存在，使得例3. 在上二阶可导，证明：存在，使得.分析：由， 证明：令 ，使得，所以，又因为由罗尔定理知，存在，使得.记： （2）分组构造法。 （还原法行不通）例1. ，在内可导，证明：存在，使得，存在，使得. 证明： 令 ，使得，即 （分析） 令 ，存在，使得.题型三：证明：含.分几种情形：情形1：结论中只有例1. ，在内可导，证明：存在，使得，存在，使得. 证明： 令 ， 使得 ,使得，所以存在，使得例2. ，在内可导，证明：存在，使得，存在，使得. 证明： 令 ，使得,使得， ，所以存在，使得情形2：结论中含有，但是两者复杂度不同。例1. ，在内可导证明：存在，使得. 证明：

4、令 ，由柯西中值定理使得，所以使得，得证。例2. ，在内可导 证明：存在，使得. 证明： 令 ，由柯西中值定理使得，所以使得，得证。例3. ，在内可导, 证明：存在，使得. (分析：“留复杂”)证明： 令 ，由拉格朗日中值定理使得，即.题型四：证明：拉格朗日中值定理的两惯性思维。 可导 见到3点两次使用拉格朗日中值定理。例1. ，且则 解：， . 又因为例2. ，且，则的大小关系。解：由拉格朗日中值定理知， 单调递增又又因为例3. 在内可导，且，在内至少有一个零点。证明：证明：1）因为在内至少有一个零点，所以2）下边用两次拉格朗日中值定理， 所以 ， ，例4. 在内二阶可导，有一条曲线，如图证明：，使得证明：1）使得因为共线，所以，所以由罗尔定理知，使得题型五：Taylor公式的常规证明。例1. ，证明：存在，使得. （题外分析：考虑什么时候该用泰勒公式什么时候不用！时考虑，但是为题型一，考虑罗尔定理时比较尴尬，有时候用拉格朗日中值定理，有时候不用，该怎么考虑呢，分情况：）证明： ，两个式子相减得：，在上有，则，所以根据介值定理得：存在，使得例2. ，在二阶可导，证明：存在，使得. 证明：由