4费马点利用旋转变换求线段和最值

1、例5、（衢州市）如图，已知点A(-4，8)和点B(2，n)在抛物线上(1)求a的值及点B关于x轴对称点P的坐标，并在x轴上找一点Q，使得AQ+QB最短，求出点Q的坐标；(2)平移抛物线，记平移后点A的对应点为A，点B的对应点为B，点C(-2，0)和点D(-4，0)是x轴上的两个定点当抛物线向左平移到某个位置时，AC+CB 最短，求此时抛物线的函数解析式；当抛物线向左或向右平移时，是否存在某个位置，使四边形ABCD的周长最短？若存在，求出此时抛物线的函数解析式；若不存在，请说明理由4x22A8-2O-2-4y6BCD-4414年1月石景山期末6. 已知点和点在抛物线上. （1）求的值及点的坐标；

2、 （2）点在轴上，且满足是以为直角边的直角三角形，求点的坐标; （3）平移抛物线，记平移后点A的对应点为，点B的对应点为. 点M（2,0）在x轴上，当抛物线向右平移到某个位置时，最短，求此时抛物线的函数解析式.练习1、（达州）15、如图6，在边长为2的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ，则PBQ周长的最小值为_（结果不取近似值）. 2如图所示，正方形的面积为12，是等边三角形，点在正方形内，在对角线上有一点，使的和最小，则这个最小值为（ ） A B C3 D3、 滨州市中考第24题如图1，在平面直角坐标系中，抛物线yax2bxc经过A(2, 4 )、

3、O(0, 0)、B(2, 0)三点（1）求抛物线yax2bxc的解析式；（2）若点M是该抛物线对称轴上的一点，求AMOM的最小值4 、山西省中考第26题如图1，在平面直角坐标系中，抛物线yx22x3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点（1）求直线AC的解析式及B、D两点的坐标；（2）点P是x轴上的一个动点，过P作直线l/AC交抛物线于点Q试探究：随着点P的运动，在抛物线上是否存在点Q，使以A、P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由；（3）请在直线AC上找一点M，使BDM的周长最小，求出点M的坐标图1满分解答5. （

4、年山东聊城）已知ABC中，边BC的长与BC边上的高的和为20（1）写出ABC的面积y与BC的长x之间的函数关系式，并求出面积为48时BC的长；（2）当BC多长时，ABC的面积最大？最大面积是多少？（3）当ABC面积最大时，是否存在其周长最小的情形？如果存在，请说出理由，并求出其最小周长；如果不存在，请给予说明6. （江苏苏州）如图，在平面直角坐标系中，RtOAB的顶点A在x轴的正半轴上，顶点B的坐标为（3，），点C的坐标为（，0），点P为斜边OB上的一动点，则PAPC的最小值为【】A B C D2 7. （已知点D与点A（8，0），B（0，6），C（a，a）是一平行四边形的四个顶点，则CD长的

5、最小值为 .8. 如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE=2，AE=3BE，P是AC上一动点，则PB+PE的最小值是 9.如图，抛物线y=ax2+bx+c（a0）的图象过点C（0，1），顶点为Q（2，3），点D在x轴正半轴上，且OD=OC（1）求直线CD的解析式；（2）求抛物线的解析式；（3）将直线CD绕点C逆时针方向旋转45°所得直线与抛物线相交于另一点E，求证：CEQCDO；（4）在（3）的条件下，若点P是线段QE上的动点，点F是线段OD上的动点，问：在P点和F点移动过程中，PCF的周长是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由一、 费马点、利用旋转变换

6、求线段和最值费马点编辑本段费马点定义在一个多边形中，到每个顶点距离之和最小的点叫做这个多边形的费马点。在平面三角形中:(1).三内角皆小于120°的三角形，分别以 AB,BC,CA，为边，向三角形外侧做正三角形ABC1,ACB1,BCA1,然后连接AA1,BB1,CC1,则三线交于一点P,则点P就是所求的费马点. (2).若三角形有一内角大于或等于120度,则此钝角的顶点就是所求.(3)当ABC为等边三角形时,此时外心与费马点重合（1） 等边三角形中BP=PC=PA，BP、PC、PA分别为三角形三边上的高和中线、三角上的角分线。是内切圆和外切圆的中心。BPCCPAPBA。（2） 当B

7、C=BA但CAAB时，BP为三角形CA上的高和中线、三角上的角分线。 编辑本段证明(1)费马点对边的张角为120度。CC1B和AA1B中,BC=BA1,BA=BC1,CBC1=B+60度=ABA1,CC1B和AA1B是全等三角形,得到PCB=PA1B同理可得CBP=CA1P由PA1B+CA1P=60度，得PCB+CBP=60度,所以CPB=120度同理,APB=120度，APC=120度(2)PA+PB+PC=AA1将BPC以点B为旋转中心旋转60度与BDA1重合，连结PD，则PDB为等边三角形，所以BPD=60度又BPA=120度，因此A、P、D三点在同一直线上，又CPB=A1DB=120度

8、，PDB=60度，PDA1=180度，所以A、P、D、A1四点在同一直线上，故PA+PB+PC=AA1。(3)PA+PB+PC最短在ABC内任意取一点M（不与点P重合），连结AM、BM、CM，将BMC以点B为旋转中心旋转60度与BGA1重合，连结AM、GM、A1G(同上)，则AA1<A1G+GM+MA=AM+BM+CM.所以费马点到三个顶点A、B、C的距离最短。平面四边型费马点平面四边型中费马点证明相对于三角型中较为简易，也较容易研究。（1）在凸四边型ABCD中，费马点为两对角线AC、BD交点P。（2）在凹四边型ABCD中，费马点为凹顶点D（P）。7（自编）已知O点坐标为（0，0），A点

9、坐标为（8，0），B点坐标为（0，8），在平面直角坐标系上确定点P，使OPAPBP最小。并求出点P坐标和OPAPBP的最小值。8（自编）已知O点坐标为（0，0），A点坐标为（5，0），B点坐标为（，），在平面直角坐标系上确定点P，使OPAPBP最小。并求出点P坐标和OPAPBP的最小值。9、若P为所在平面上一点，且，则点叫做的费马点.（1）若点为锐角的费马点，且，则的值为_；ACB（2）如图，在锐角外侧作等边连结.求证：过的费马点，且=.25.如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在轴的正半轴上，为的中线，过、两点的抛物线与轴相交于、两点（在的左侧）.（1）求抛物线的解析式；（2）等边的顶点

10、、在线段上，求及的长；（3）点为内的一个动点，设，请直接写出的最小值,以及取得最小值时，线段的长. （备用图）13通州24已知：，以AB为一边作等边三角形ABC.使C、D两点落在直线AB的两侧.（1）如图，当ADB=60°时，求AB及CD的长；（2）当ADB变化，且其它条件不变时，求CD 的 最大值，及相应ADB的大小.ADBC1房山28如图1，已知线段BC=2，点B关于直线AC的对称点是点D，点E为射线CA上一点，且ED=BD，连接DE，BE.(1) 依题意补全图1，并证明：BDE为等边三角形；(2) 若ACB=45°，点C关于直线BD的对称点为点F，连接FD、FB.将CDE绕点D 顺时针旋转度（0°360°）得到，点E的对应点为E，点C的对应点为点C.如图2，当=30°时，连接证明：=；如图3，点M为DC中点，点P为线段上的任意一点，试探究：在此旋转过程中，线段PM长度的取值范围？图1图2图32