2006—安徽省蒙城一中高一数学竞赛试题

1、20062007学年安徽省蒙城一中高一数学竞赛试题 时间：120分钟 总分：150分 命题:隋兴胜一 选择题（本题共6小题，每题6分，共36分）1已知,则是第 D 象限角.A,一 B,二 C,三 D,四2根据图中骰子的三种不同状态显示的数字，推出？处的数字是（ D ）(A)1 (B)2 (C)3 (D)65 1 ? 4 1 2 3 4 53当时，下面四个函数中最大的是（ C）。A. B. C. D. 4对任意实数，圆C：与直线的位置关系是（ A ） A相交B相切C相离D与取值有关5设O为ABC内部的一点，且，则AOC的面积与BOC的面积之比为（ C ） A B. C.2 D. 36已知 ，那么

2、，下列式子成立的是（ D ） Ax < y < z B. z < y < x C. z < x < y D. x < z < y 二填空题（共6小题，每题9分，共54分）7已知函数，当时，8一名模型赛车手遥控一辆赛车。先前进1米，然后原地逆时针方向旋转角，被称为一次操作。若五次操作后赛车回到出发点，则角=720或14409函数的值域为10已知点在直线上，则的最小值 为 3 11已知图象连续不断的函数在区间上有唯一零点，如果用“二分法”求这个零点（精确到0.0001）的近似值，那么将区间等分的次数至多是 10 。 12若在一个棱长为5 的正方体封闭

3、的盒内有一个半径等于1的小球，若小球在盒内任意的运动，则小球达不到的空间的体积的大小是 ：三解答题（本大题共5小题，每题12分,共60分）13, 设,其中向量,(I)若且,求; (II)若,是否存在整数,使得方程有且仅有两个不相等的实数根?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.解:(I)可得由=1,得又,得,有=,解得.(II)由,有,得,而,得,有,即于是,为整数,得=0,1,2,3.经检验只有=2合题意.ABFEMCDN14,如图是一棱长为1的正方体的平面展开图. (I)请你把它合原为正方体,并建立适当的空间直角坐标系,求出点A,F,N的坐标; (II)求证:平面AFN/平面MBD; (

4、III)求证:CE平面AFN; 解:(I)把它合原为正方体,(如图),以D为原点建立空间直角坐标系.得A(1,0,0),F(1,1,1),N(0,0,1);(II)可得B(1,1,0),M(0,1,1),则xyABCDEFMNzQP , ,有, 而平面MBD,有NF/平面MBD. 又, ,有,而平面MBD,有AN/平面MBD, 由,得平面AFN/平面MBD.(III)可得E(1,0,1),C(0,1,0),由知CEAN,CENF,又,所以CE平面AFN.15设圆的切线交两坐标轴于. （1）求应满足的条件； （2）求线段AB中点的轨迹方程； （3）若求AOB面积的最小值.解：（1）直线的方程为，

5、即.依题意，圆心（1，1）到的距离得应满足的条件（2）设AB的中点为P（x，y），则有（x>1,y>1）为线段AB中点的轨迹方程.（3）由.当且仅当时取等号，所以，AOB面积的最小值是16某种商品在近30天内每件的销售价格P（元）与时间 t (天)的的函数关系近似满足 .商品的日销售量Q(件)与时间t (天)的函数关系式近似的满足Q=t+40 (1t30,tN), 求:这种商品日销售量金额的最大值,并指出日销售量金额最大的一天是30天中的第几天?解：设日销售金额为y元，则y=PQ,所以即y=当1t24时,t=10,ymax=900;当25t30时,函数y=(t-70)2-900单调递减,当t=25时,ymax=1125.经比较可知，ymax=1125。该商品日销售金额的最大值为1125元，且在近30天中，第25天销售的金额最大。17 求方程的正整数解.解:由对称性,不妨设,则, 有,得. 又是正整数,所以1或2或3.(1)若,无正整数解,(2)若,则,得,是正整数,