从二道高考题解读二面角的求法

1、案例说法从二道高考题解读二面角的求法空间几何中的三种角-异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角，在高考立体几何的计算中占据着主角地位。而二面角的求解因为方法多样、灵活多变，具有较高的区分度，较能考察学生的空间想象能力、逻辑思维能力及计算能力，更受到命题者的青睐。由于学生的空间想象能力、逻辑思维能力较弱，加之教师对教学的无赖，学生往往仅掌握用平面的法向量来求解二面角，此法虽然对学生的空间想象能力、逻辑思维能力要求不高，但对计算的要求较高，学生往往建系不当、计算出错等原因导致失分，并且如果不分试题背景都用法向量来求解，也有“小题大作”之嫌，费时费事，出现“隐形”失分。因此，在教学、备考中适当

2、介绍一些二面角的常用求法，让学生多几样利器，能避免“杀鸡全部用牛刀”的尴尬局面。下面通过2011年全国高考卷中的二道试题，介绍二面角的一些常用求法。例1（2011年全国大纲卷理16）已知E、F分别在正方形棱BB1，CC1上，且B1F=2EB，CF=2FC1，则面AEF与面ABC所成的二面角的正切值等于_。一、 面积射影法图1一个平面多边形的面积为S，它在另一个平面上的射影多边形的面积为，若多边形所在平面与另一个平面构成的二面角为，则解：如图1，设，可求得 且 在平面ABCD上的射影为图2或解：如图2把、分别扩充成菱形AEFG、正方形ABCD。同样，菱形AEFG在底面上的射影为正方形ABCD，同

3、上也可求出正确答案。注：面积射影法对这种“无棱二面角”比较方便。A图3PBl二、三垂线定理法如图3，设锐二面角，过面内一点P作PA于A，作ABl于B，连接PB，由三垂线定理得PBl，则PBA为二面角的平面角，故称此法为三垂线法.图解：如图，延长CB、FE交与G点，连接AG，则因为：所以：过B点作于M，连接EM。由三垂线定理可知：。故为面AEF与面ABC所成的二面角的平面角。设， ，中点，在直角等腰三角形ABG中，由知ABP 图三、垂面法如图，作平面垂直于二面角的棱，分别交二面角的两个面于射线PA、PB。根据平面角的定义可知，就是二面角的平面角。这种通过作二面角棱的垂面得平面角的方法就叫做垂面法

4、.图解：如图，延长CB、FE交与G点，连接AG，则易证且与面AEF与面ABC的交线分别为AE、AC，所以就是面AEF与面ABC所成的二面角的平面角。同样，在直角中，可求得四、定义法此方法的关键是在二面角的棱上找到一点，过这点分别在两个面内作棱的垂线得平面角。此法中，点的选取很关键，便于后续计算。例2.（2011年全国新课标理18） 如图，四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，底面ABCD（I）证明：；（II）若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值解：（）因为， 由余弦定理得从而,故BDAD又PD底面ABCD，可得BDPD所以BD平面PAD. 故 PABD（）如图，过A作于E，过E作交PC于F，连接AF由（）知， 故AEF是二面角A-PB-C的平面角。作于G点，连接AG设，通过计算可得：所以即二面角A-PB-C的余弦值为。五、求部分法当一个二面角被过棱的一个半平面分成两个二面角时，可分别求出两个二面角，再求和。特别地，当其中一个二面角的大小已知时，问题将更加简便。解：如图，二面角被平面分成二面角和由（）知：所以，故二面角是直二面角，其大小为下求二面角的大小因为，过作于点，连接，由三垂线定理法可知，为二面角的平面角。同上求得，所以二面角的余弦值为：六、平面法向量法（）如图，以D为坐标原点，AD的长为单位长，射线DA为轴的正半轴建立空间直角坐标系D