中南大学2009二学期微积分III课程6月21日考试试题及答案学_第1页
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1、2008 2009学年 二 学期 微积分III课程 （时间：2010年6月21日，星期一，10：0011：40，共计：100分钟）24学时，1.5学分，闭卷，总分100分，占总评成绩70 %一、填空：1.是曲线，其周长为，则= 2.设是平面位于第一卦限内部分，则_3.是从沿曲线到点，则= 4.若 为某函数的全微分，则_.5.设，则 二、选择题(每小题3分,共15分)1. 设曲线则在中,被积函数取( )时,该积分可以理解成的质量. .2. 已知有向光滑曲线的始点对应的参数值为,终点对应的参数值为,则. .3. 当表达式中函数取( )时,此式在其定义域内必为某一函数的全微分. 4. 以下四结论正确

2、的是（ ）（）； （）（）； （） 以上三结论均错误。5. 曲面积分在数值上等于( ). 面密度为的曲面之质量; 向量穿过曲面的流量; 向量穿过曲面的流量; 向量穿过曲面的流量.三、(8分)计算,其中为.四、(10分)计算，其中为取逆时针五、(10分)计算曲线积分 , 其中G是用平面截立方体: 0x1, 0y1, 0z1的表面所得的截痕, 若从x轴的正向看去取逆时针方向. 六、(10分)计算，其中为锥面被柱面所截的部分.七、(10分)计算，其中为，绕轴旋转一周而成的曲面，其法向量与轴正向夹角大于。八、(12分)设函数在内具有一阶连续导数,是上半平面内的有向分段光滑曲线,其始点为,终点为.记,(

3、1)证明曲线积分与路径无关.(2)当时,求的值.参考答案一、1.；2.4；3.1；4.；5.。二、 1. (C) 2. (C) 3. (A) 4. (B) 5. (D)三、(8分)计算,其中为.解(方法一) 由于是平面上过球的中心的大圆两个曲面方程联立消去,得 在式中,令 将,代入平面,得,故的参数方程为，所以 (方法二) 由于积分曲线方程中的变量具有轮换性,即三个变量轮换位置方程不变,且对弧长的曲线积分与积分曲线的方向无关.故有同理 所以 四、(10分)计算，其中为取逆时针解：(1) ；(2) ，取逆时针方向。五、(10分)计算曲线积分 , 其中G是用平面截立方体: 0x1, 0y1, 0z

4、1的表面所得的截痕, 若从x轴的正向看去取逆时针方向. 解 取S为平面的上侧被G所围成的部分, S的单位法向量, 即. 按斯托克斯公式, 有 , 其中Dxy为S在xOy平面上的投影区域, 于是 . 提示 : . . .六、(10分)计算，其中为锥面被柱面所截的部分.解： ：，投影区域或，因此 = = =.七、(10分)计算，其中为，绕轴旋转一周而成的曲面，其法向量与轴正向夹角大于。解：为，不封闭，补上：，其法向量与轴正向同向。八、(12分)设函数在内具有一阶连续导数,是上半平面内的有向分段光滑曲线,其始点为,终点为.记,(1)证明曲线积分与路径无关.(2)当时,求的值.证明(1) 设,.在上半平面内处处成立,所以在上半平面内曲线积分与路径无关.(2

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