不定积分学习指导

1、第四章不定积分1学习指导1.基本要求正确理解原函数与不定积分的概念，熟悉原函数与不定积分的关系；掌握并能推证不定积分的性质，牢记并能熟练运用基本积分公式；熟练掌握求简单函数不定积分的直接方法；掌握不定积分的换元积分法与分部积分法；了解有理函数、简单无理函数、三角函数有理式的不定积分；掌握求典型初等函数不定积分的方法；掌握积分表的使用方法。2.重点与难点重点不定积分的概念，基本积分公式，换元积分法，分部积分法；难点换元积分法。3.学习方法不定积分与微分互为逆运算，“积分法”是在“微分法”的基础上建立起来的。由初等函数的微分法可推出求不定积分的法则。如由复合函数的求导法则可以得到换元积分公式，由乘

2、积的求导法则可以得到分部积分公式。求不定积分的方法是，设法将所求的积分化为基本积分表中已有的积分形式，以便运用公式求不定积分，具体转化时，可以利用积分性质、换元积分法、分部积分法及代数三角恒等变形等方法。常用的三角恒等式包括平方和（差）等于1、倍角的正弦及余弦公式、和差化积及积化和差公式。下面列出常用的求不定积分的方法。直接积分法这种方法是将被积函数作代数、三角恒等变形，直接利用基本积分公式或不定积分的线性运算性质进行求解。第一类换元积分法（凑微分法）这类积分法主要解决被积函数为复合函数的积分。求不定积分，关键是将被积表达式凑成复合函数的微分的形式，再由得，即将积分转化为，若能求得的原函数，就

3、得到了的不定积分，因此熟悉常见的凑微分形式非常重要。应注意，利用第一类换元法求不定积分时，有时不必写出换元积分变量，而将视为整体变量直接计算。常见的第一类换元积分类型如下：（为自然数）；，用于求积分（是自然数），用于求积分（是自然数），用于求积分（是自然数），用于求积分（是自然数）；。第二类换元积分法第二类换元积分主要处理带根式的不定积分问题，关键是作一个适当的变量代换将根号去掉，使被积函数为，整理化简成，而函数的原函数容易求出，这里的选择与被积函数中根式的表达形式有关，代换时注意符号的讨论，求出原函数后则应注意回代积分变量，特别是作三角代换计算不定积分后，应借助于辅助三角形进行变量还原，常见

4、的第二类换元有下列类型：（令）；（令）；（令）；，将被积函数配方，化成上述三种形式之一，再作变量代换；（令）；（令，是，的最小公倍数）；（令）；当被积函数含有时，常用变换化简被积表达式。分部积分法当被积函数可视为和的乘积，即时，常用分部积分公式计算不定积分。使用分部积分公式求不定积分，关键是正确选择及，选择应遵循如下原则：由或容易求出；要比容易积分（即求导后形式更简单）。选择的一般方法是，将被积函数看成两函数之积，按反三角函数、对数函数、幂函数、指数函数、三角函数顺序，排在前面的取为，后面的取为.有理函数的积分有理函数的积分，可归结为多项式和真分式的积分，而真分式可分解为部分分式之和，因此求有

5、理函数不定积分的步骤是：将被积函数进行分解，使被积函数=多项式+部分分式（其中部分分式的分母为一次或二次不可约因式，分解部分分式所用的方法是待定系数法），然后分别求各部分的不定积分。理论上，任何有理函数都可以求出其不定积分，但将真分式化成部分分式有时十分困难，因此在解有理函数的积分时，应全面分析被积函数的特点，寻求其他简便方法。三角有理式与简单无理式的积分某些无理根式及三角有理式的不定积分，经过变量代换常可化成有理函数的不定积分，无理根式的常见换元类型见本目.对三角有理式，经万能代换，有，从而是有理函数的积分，原则上应用万能代换可计算任意一个三角有理式的积分，但计算往往繁杂，因此，仅当没有更简

6、便方法时才用此方法求解。许多不定积分的计算需要综合运用上述各种方法，一般从被积表达式的形式可以决定先用哪种方法，后用哪种方法。求不定积分往往不止一种方法，用多种方法求解，可以培养灵活的思维能力，也可以比较解法之联系，从中选取最简解法。应注意，对不定积分用不同的方法求的结果，形式可能不完全相同，但它们的导数都等于被积函数。注意，并非所有的连续函数都能求出其不定积分，原因是它们的原函数不是初等函数。如，等。2 解题指导 1.基本积分法例1 求下列不定积分：；.解题思路此类积分形式比较简单，只需经过三角恒等变形或代数运算，就可利用基本公式求解。解例2 计算.解题思路被积函数是绝对值函数或分段函数，求

7、其不定积分，应先分别求函数在各段上相应区间内的不定积分，然后利用原函数的连续性，确定各任意常数间的关系，最后用一个任意常数表示其不定积分。解因为于是由被积函数的连续性，有，即，所以2.第一类换元积分法例3求下列不定积分：；.解题思路使用第一类换元法的关键是“凑”出函数的微分，方法是利用一些常见函数的微分形式。但如果不易直接得到，则可应用拆项、加项、减项、同乘除因子、三角恒等变形等方法将被积函数变形，化简成简单函数后再求不定积分；也可以从被积函数中取出部分表达式，求其导数后寻找规律，再确定如何凑微分。解注意到，且，所以降幂法与化同名三角函数是求解形如形式不定积分的基本方法。一般地，若两个函数都是

8、偶次幂，则通过半角公式降幂；若至少有一个函数为奇次幂，则将奇次幂分为一次幂与偶次幂的乘积，化为同名三角函数求解。对本题，由于是奇次幂，且，故原积分可以化成形式，所以.将被积函数分成两部分，第一项凑微分得，第二项凑微分得，则.这是一个有理函数的积分，但将被积函数分解为部分分式很麻烦，若将分子的1写成，再加一个因式，同时减去该因式，可与分母的两项联系起来；若注意到分母次数高于分子次数，作倒代换，也可简化被积表达式。方法1 .方法2令，则本题分母有两项，对分子分母同乘一个因子，可将分母化成单项；也可以用倍角公式将分母化为单项。方法1 =.方法2 .因为，即，所以.3.第二类换元积分法例4求下列不定积

9、分：；.解题思路有些不定积分，不能通过凑微分利用基本公式求解，但可利用变量代换转化积分形式后利用基本积分公式求解。常用的代换方法有：三角代换与双曲代换。这类代换针对某些特殊的无理根式，如对题作代换或可消去根式。注意作三角代换后应利用辅助三角形进行变量还原。根式代换。对某些含有根式的被积函数，通过根式代换可将其转化为有理函数积分，方法是取同形根式中方幂的最小公倍数作为代换形式。如对题作代换.指数代换。当被积函数中含有指数函数时，用代换可转化积分形式，但常常需要配合其他变换。倒代换.如果分别表示被积式中分子分母变量的最高次数，则当时，用倒代换较简。解方法1令，则方法2由被积函数的特点，作倒代换，则

10、.方法1该被积表达式带有根号，作变量代换，先去掉根号。令 =t，则x=,.方法2将被积函数分子有理化，再令，则.为去掉被积函数中的根号，令，则.方法1被积式中含有指数函数，令，则，再令，于是 .方法2第二类换元积分法主要是去掉根式，为此令，则.方法3 变量代换往往不惟一，令，则 .注意到分母中的次幂高于分子中的次幂，令，则 .对第二类换元积分法，除了常用代换外，有时根据被积函数特点采用特殊代换，也可以简化积分。对本题，令，则 .4.分部积分法例5求下列不定积分：已知的一个原函数是，求；.解题思路分部积分法适用于被积函数为两种不同类型函数乘积形式的不定积分，使用的关键是恰当选取与（或）.分部积分

11、法常与换元积分法交替使用，或者数次使用才能算出结果。注意在反复使用分部积分法的过程中，每一次都应选取同一类函数作为及，否则就会产生循环，致使解不出结果。另外，在用分部积分法求不定积分时，若在计算过程中出现循环现象，常常可通过解方程求出结果。常见积分类型有，对题令，即为这种形式。解由条件可知，注意到，用分部积分法，有这是对数函数与幂函数乘积形式的不定积分，取，则，于是.这是幂函数与指数函数乘积形式的不定积分，取，则，于是.这是幂函数与三角函数乘积形式的不定积分，取三角函数为，幂函数为，应用分部积分公式。注意到被积函数带有根号，为去掉根号，令，则.方法1这是幂函数与复合函数乘积形式的不定积分，取，

12、则，于是.解方程得.方法2令，则.解方程得，所以.5.特殊函数的积分例6求下列不定积分：；.解题思路特殊函数的不定积分是指有理函数、三角有理式、简单无理式的不定积分，求解的一般方法是通过万能代换或第二类换元先将三角有理式及无理根式转化为有理函数，再利用有理函数求不定积分的方法求解。解因为，于是.因为，将被积函数拆成部分分式，得，于是.本题不易用三角公式变形化简，不得已利用万能代换化为有理函数的积分。令，则，故.由于，令，则，于是.6.综合问题举例例7 求下列不定积分：；.解题思路视被积函数特点交替使用换元法与分部积分法，也是计算不定积分的基本方法，对某些复杂形式的不定积分，将原积分拆项后，分项

13、积分有时会使未积出部分抵消，从而求出不定积分，注意用此方法求解时，不要丢掉积分常数C.解为去掉被积函数中的根号，需设，则，于是.因为，所以.令，则，故，故.注意到，则=.例8 设，求.解题思路已知求，一般有两种方法：先由已知表达式求出，再计算.先求不定积分，再求函数的表达式。解方法1因为，所以，从而.方法2因为，所以.7.建立递推公式例9 建立下列不定积分的递推公式（n为整数）：（）；.解题思路对含有参数n的不定积分，一般由分部积分公式可导出一个递推公式，但要使递推公式完整，必须给出递推的初值公式，注意初值公式的个数由递推的步数决定。解这是幂函数与指数函数相乘形式的不定积分，初值.由三角恒等公式与导数公式有.初值；.8.错解分析例10计算不定积分.错解当时，=；当时，=，所以=分析该解法忽略了原函数在所论区间内的连续性，事实上，由，知原函数在上不连续。正解当时，=；当时，=因为原函数连续，所以=，故，所以=自测题及答案自测题4.11.填空题（20分）：已知，则；。2.求下列不定积分（18分）：；（提示：分母有理化）；。3.用凑微分法求下列不定积分（14分）：；。4.用第二类换元积分法求下列不定积分（16分）：； .5.用分部积分法求下