人教A版高中数学必修五等差数列的前n项和教学设计

1、等差数列的前n项和(第一课时)浙江宁海知恩中学 王丽亚一、内容及内容分析本节课教学内容是普通高中课程标准实验教科书·数学（5）（人教A版）中第二章第三节“等差数列的前n项和”（第一课时）是数列的基本概念和等差数列知识的延续，该数学模型在实际生活中有着广泛的应用。本节课主要研究如何应用倒序相加法求等差数列的前n项和及该求和公式的应用,通过等差数列前n项和公式的探究，让学生体会从特殊到一般的研究问题的方法，体现“授之于鱼，不如授之于渔”的教学价值；通过介绍高斯求和的故事，向学生渗透人文价值与情感教育价值；通过求和公式的选用、变用与拓展来体现数学课堂的方法价值、应用价值、类比价值；这些价值

2、的渗透有利于提升学生的数学素养。2、 目标分析知识与技能目标:理解等差数列前n项和公式的推导过程；掌握并能运用等差数列前n项和公式；了解倒序相加法的原理；过程与方法目标 学生在教师的引导下，经历从特殊到一般探究得到等差数列前n项和公式，进一步体会特殊与一般、化归与转化、整体与方程（组）等重要数学思想；学生在理解和运用公式的过程中，运算求解能力、分析问题及解决问题的能力得到进一步提高，创新意识与应用意识得到发展。情感态度价值观结合具体模型,将教材知识和实际生活联系起来,使学生感受数学的实用性,有效激发学习兴趣,并通过对高斯故事的了解,渗透数学史和数学文化，培养善于观察、勇于探索、敢于创新的良好学

3、习态度。3、 学生学情分析学生已经学习了等差数列的通项公式及基本性质，也对高斯算法有所了解，这都为倒序相加法的教学提供了基础；但是高斯算法与一般的等差数列求和还有一定的距离，如何从首尾配对法引出倒序相加法，这是学生学习的困难因为首尾配对法还需要分奇数、偶数两种情况讨论，偶数的情况学生相对较为熟悉，也更容易掌握；奇数的情况时，学生对配对后剩下的中间项较难处理。教学重点探索并掌握等差数列前n项和公式，学会用公式解决求和问题教学难点等差数列前n项和公式推导思路的获得重点、难点解决策略为了帮助学生扫清障碍，避免分类讨论而引入倒序相加法，可以设计以下两个环节。环节一是借助几何图形的直观性，在原来的图形旁

4、边再放置一个倒置的图形，让学生再来观察图形的特征，从形的角度获得倒序相加法的思路，该方法形象、直观，学生易于接受。环节二是奇变偶，启发学生，提出如下问题“我们知道，当项数为偶数时可以直接凑成整数对，那么对于任意的正整数项数n而言，如何能让它转化为偶数呢？”，给出充裕的时间交流、讨论后，师生共同探究分析得出结论：“任何一个正整数的偶数倍一定是偶数，且2倍是最简单的方法”，教师因势利导再问“如何才能刚好凑对呢？”，学生自然而然的想到把另外一组和的顺序倒置再相加，而进一步理解倒序相加法的原理，该方法体现了数学的本质及数学的严谨。两个环节相辅相成，从数形两个方面很好的诠释了倒序相加法，既直观又严谨。四

5、、教学工具多媒体教学：课件、投影仪、白板五、教学过程设计教学环节教 师 活 动 学 生 活 动活 动说 明复习提问1.等差数列的定义是什么？ 如何用递推公式描述？2.等差数列的通项公式3.公差 d 的计算方法4.在等差数列中 的条件是什么？特别地可以等于什么？同学回答问题通过对等差数列相关知识的回顾，有利于课堂新知的顺利进行。情景引入（幻灯投影）高斯，德国著名数学家，被誉为“数学王子”。200多年前，高斯的算术教师提出了下面的问题：123+100？据说，当其他同学忙于把100个数逐项相加时，10岁的高斯却迅速算出了正确答案，你知道他是如何计算的吗?请一学生将高斯算法再现一下。首项与末项的和：

6、1100101， 第2项与倒数第2项的和：299 101， 第3项与倒数第3项的和： 398 101， · · · · · ·第50项与倒数第50项的和： 5051101，于是所求的和是： 101×505050。学生对高斯的算法是熟悉的，知道采用首尾配对的方法来求和，但估计他们对这种方法的认识可能仅限于小学记记。算法思考教师：高斯的思路有什么特点？教师：为什么这么做，目的是什么？教师帮助总结特点：首尾配对把不同数求和转化为相同数求和把加法运算转化为乘法运算学生：首尾配对学生：发现和相等，方便运算教师借此渗透学习态度教育：高斯

7、从小就善于思考，敢于思考，所以他能从很简单的事物中发现和寻找出某些规律性的东西。问题探究如图堆放着一堆钢管，最上层放了4根，下面每一层比上一层多放一根，共9层，这堆钢管共有多少根？ 学生思考：即求：4+5+6+7+8+9+10+11+12偶数个项的和能首尾配对，奇数个怎么办？产生问题，引起学生思考。问题探究教师：高斯办法行吗？教师：为什么不行？原因？教师：刚才为什么行？教师：如何处理?同学们相互探讨下，能否对高斯的思路改进一下？学生：不行（配对尝试）学生：剩下一个中间项，因为是奇数个。学生：偶数个相加。学生探讨在这个过程中让学生发现当项数为奇数时，首尾配对出现了问题，寻求新的解决方案,引导奇变

8、偶方法探究动态演示。图形要求：原图平移生成旋转显示“倒”补全呈现平行四边形结合图形分析如何配对：通过把和倒过来再写一次，上下对应两数进行配对相加。进一步提问：这种配对方式对偶数个项相加也适用吗？学生分组讨论后得到将图形倒置平移得到一平行四边形。将图形语言转化为数学式子。借助几何图形的直观性，能启发思路，让复杂问题简单化，并为倒序相加法的出现提供了一个直观的模型算法启发提问：等差数列1，2，3，n, 的前 n 项和怎么求？ 通过以上启发学生再自主探究，相信容易得出解法。总结下这种方法的特点，学生总结，师生提出倒序相加法。提问：这种方法可以推广到一般的等差数列求和吗？1 +2 +（n1）+ nn

9、+（n1）+ 2 + 1_ (n+1)+(n+1)+ + (n+1)1+2+3+n=引出求等差数列前n项和的一般方法：倒序相加法。这样，很自然过渡到一般等差数列。探 索 公 式怎样求一般等差数列an的前 n项和呢？两式相加得：把这种求和的本质规律推广到一般的等差数列，获得一般的等差数列求和思路。同时让学生体会了研究问题是从特殊到一般的方法。公式应用根据下列各题中的条件，求相应的等差数列an的Sn ：（1）a1=2，an=16，n=8（2）a1=6，d=3，n=10学生求解学生熟悉公式，同时由（2）引出公式变形公式拓展教师提问：两个公式有何异同点？学生小组讨论后得出结论：两个公式都含有四个量，只

10、是基本量不同而已：公式1含、四个量， 公式2含、四个量。培养学生思维的发散性，为用函数观点解决数列问题做铺垫培养学生观察、比较、分析、归纳等能力公式巩固等差数列an的首项为a1，公差为d，项数为n，第n项为an，前n项和为Sn，请填写下表：a1dnanSn-922021224-920-91519学生练习公式中一共含有五个量，根据三个公式之间的联系，由方程的思想，知三可求二。简单模仿性练习，让学生熟悉公式，培养学生用方程（组）思想分析问题、解决问题的能力。并建立知三求二思想。例题讲解分析：本例是使用等差数列的求和公式与通项公式求未知元，可以采用公式2和通项公式联立方程组求解。师生共同完成建立等差数列前n项和与解方程之间的联系，让学生体会方程的思想。例题讲解（1） 用方程的思想来处理，但由于方程个数不够导致结果无法求解，与“知三求二”的思想产生强烈冲突（2） 基本量 ，表示，发现整体代入（3）等差性质的发现学生思考学生不少学生首先对已知条件作转化，希望能通过解方程求出首项和公差，但发现条件不够，不能解出这些基本量。公式的应用除了直接代入的常规解法及简单的变用之外，还要注意整体思想在数学解题中的应用，培养学生灵活运用公式的能力课堂练习学生课堂练习巩固方程思想和整体思想课堂 小结1.等差数列前n项和Sn公式的推导: 倒序相加法2.等差数列前n项和Sn公式的记忆与应用；说明：(1)正确