抽象概括的应用

1、抽象概括在小学数学教学中的应用研究黄路学校 王美娟前言皮亚杰认为“教育的宗旨不在于把金可能多的东西教给学生，取得尽可能大的效果，而在于首先教给学生怎样学习，学习发展自己的方法。”这就要求教师在平时的教学过程中，应贯穿两条主线：一条是数学基础知识的教学；另一条就是数学思想方法的教学。但在目前的课堂教学活动中，普遍存在着只注重前者而忽略后者，造成了大多数学生只能机械地模仿解题，而缺少独立解答题目的能力，更谈不上独立用发散思维来解决问题。平时常谈到这个学生能力差，那个学生能力不强等，都是由于教师在平时教学中忽视了数学思想方法的训练和培养所造成的。随着素质教育的全面实施，数学思想方法教学的重要性也日益

2、凸现出来。现行的教材编排中，可以看出数学思想方法往往隐藏在知识的背后，需要加以分析、提炼才能显露出来。数学教材中的每一章节，乃至每一道例题都体现着数学基础知识和数学思想方法的有机结合，教师应花更大的精力去钻研教材，吃透教材，使学生在长期的数学学习中逐步形成数学思想方法。数学思想方法有很多，有抽象概括法、化归法、数形结合法、归纳猜测法、分类、类比等等。所谓抽象，是在思想上抽取事物的一般的、本质的属性，舍去个别的、非本质的思维过程；所谓概括，是在思想上把同类事物一般的、本质的属性联合起来，并推广到同类事物上去的思维过程。数学教材中，抽象概括法孕育于知识中所占的比例最大。这种思想方法与数学知识的发现

3、、发展、形成有着密切的联系，通过有意识的训练抽象概括能力对学好数学有着非常重要的意义。一、 在概念教学中的应用小学教学中包含着大量的数学概念，主要有数的概念，整除的概念，运算方面的概念，式的概念，几何形体及其有关概念等等。每一个概念都是对一类事物的多个对象进行观察分析，抽象出每个对象的各种属性，再经过归纳概括出各个对象的共同属性而形成的。目前教学中普遍存在一种现象，就是教师在引导学生探索的过程中，往往急于求成没有充分展示抽象概括的思维活动过程，就只管端出完整结论，让学生记忆、背诵。这样既不利于学生理解知识的本质，也不利于学生思维能力的发展。由于数学概念教学是比较抽象的，教师必须在引导学生直观、

4、感性的基础上，根据概念的特征，精设问题，精心引导，让学生在一定数量的具体事例的基础上逐步发现概念的本质，从而概括出结论性的东西。例如，在教学质数和合数时，先请学生观察比较几个数的约数，通过分析进行分类，使学生清楚地找到了质数和合数的本质区别，从而抽象出这两个概念的本质属性，再通过概括形成质数、合数的概念。在该概念的形成过程中，教师以导为主，引导学生观察、比较、概括，自己悟出质数、合数的意义。这既是概念形成的关键，也是培养学生比较、抽象、概括等能力的最佳时机。二、 在计算公式教学中的应用理解计算公式的来源，对于小学生来说，这是一大难点。小学生的思维是从形象思维开始的，通过直观感知，形象表象具备了

5、一定的形象思维能力后才能促进思维的发展，由具体形象的抽象逻辑思维过渡。在教学中通过“比”、“拼”、“看”、“想”，认真分析，找出本质特征形成正确的表象，从而建立概念，突出难点。以“梯形面积的计算”为例来说，先让学生拿出课前准备的两个梯形，教师提出问题：比一比，这两个梯形大小是否完全一样？拼一拼，这两个完全一样的梯形可以拼成什么图形？当引导学生用两个完全一样的梯形拼出一个平行四边形后，教师就让学生概括出：“其中一个梯形的面积是拼成的这个平行四边形面积的一半。”教师接着又问：平行四边形的底相当于梯形的什么？梯形的高与拼成的平行四边形的高又有什么关系？当学生准确回答后，教师又追问：“（上底+下底）&

6、#215;高”计算的是什么图形的面积？那么梯形的面积该怎样计算？学生通过亲手操作，迅速地抽象概括出了梯形的面积计算公式，这样不仅使课堂气氛活跃，而且使抽象的概念具体化。三、 在计算法则教学中的应用计算法则，运算定律是学生进行计算的依据，只有正确灵活地使用法则和定律，才能使计算既快又准确。以往的教学中，教师常常侧重让学生死记硬背法则、定律，忽视对法则、定律的来源和形成过程的探讨，造成学生只会死记，却无法正确熟练的应用，这是学生计算能力差的一个根源。在这方面的教学中，也可以在教学过程中进行训练，培养学生的抽象概括的思想方法。例如教学“整数乘以分数的法则”时，首先，根据算式的意义操作，让每位学生准备

7、12根 1 2 3 5火柴，根据算式12×,12×,12× ,12×的意义取出相应的根数，并结合 3 3 4 6（2）、（3）两式的思考过程回答。教师板书： 2 12×12÷3×24×28 3 3 12×12÷4×33×394 2 2其次，启发思考，教师出示“4×”，让学生进行模仿性练习，结果学生只做到4× 3 3 =4÷3×2，这时，教师启发：“4除以3除不尽，我们怎样才能表示出每份是多少呢？谁会 利用学过的知识来解决这个问题？” 2

8、 4 4×2 2学生思考后回答：4×4÷3×2×22 3 3 3 3最后，引导学生观察、比较、归纳法则，教师引导学生观察计算步骤。提问：“这样计算步骤太多，其实只要从哪一步开始就可以了？”交流总结后，学生再试做。并提出：“哪种方法具有普遍性？为什么？整数乘以分数的一般方法是什么？”让学生自己归纳。这样虽然很费时间，但是十分有必要，让学生花费一定的时间展开探索，不但可以激发学生对数学的兴趣，增强学习数学的自信心，而且可以使学生掌握一种数学思想方法，获得一种能持续发展的能力，这正是素质教育所追求的目标。四、 在几何教学中的应用小学的每册教材中，都适

9、当增加了几何方面的内容，但小学生的抽象思维能力发展并不充分，他们认识几何图形的特征，要通过感性、直观材料进行观察、比较、抽象、概括才能实现，这需要教师重视抽象高空的训练。例如在教学“对顶角”时，首先让学生动手过O点画一条直线AB，并提问：“得到的两条射线有什么特点？”（方向相反，有公共顶点）。 D O A B A B O C 接着再过O点画一条直线CD,并问：“这时O点可以看作什么？”（四个角的公共顶点），最后让学生观察讨论，组成AOC,BOD的两条边有什么特点？（方向相反）。这时教师可小结说像这样的图形叫对顶角，并让学生也尝试说说什么是对顶角，但此时，学生可能对对顶角还比较模糊，于是教师可接

10、着问：“图中还有没有对顶角？为什么？”接着又让学生画出虽然是对顶但并不是对顶角的两个角，唯有经过这样的反复训练，学生才能概括出对顶角的本质特征。几何中的定理、公式、概念均可对学生进行概括训练，如学完弧长公式、扇形面积公式后虽然学生能记住公式，但对弧长与所在的圆周长，扇形面积与所在的圆的面积的关系还处于一种潜意识阶段，要及时引导学生进行抽象概括，对他们进行有意识的训练。板书如下。（括号内为学生讨论后填空） 1 11圆心角是1°的弧长是圆周长的 ，圆心角是1°的扇形面积是圆面积的 。 360 360 120 12圆心角是120°的弧长是圆周长的（ ），圆心角是120&

11、#176;的扇形面积是圆面 360 3 120 1积的（ ）。 360 3 n 3圆心角是n°的弧长是圆周长的（ ），圆周长是n°的扇形面积是圆面积的 360 n( )。 360让学生观察讨论相同半径的弧长与圆周长，扇形面积与圆面积的关系是与什么条件有关的，有什么联系，如何表达？最后学生概括出： 弧长 n 扇形面积 n 圆周长 360 圆面积 360 经过如此有目的的抽象概括，运用这两个关系式，对解答类似圆心角是45度的弧长是 312cm,与它同半径的圆周长是( )cm，相同半径的扇形面积是圆面积的 ，扇形的圆 8心角是（ ）度解答时将极为方便，也使学生对弧长与圆周长、扇形

12、面积与圆面积的关系达到明朗化，从而加深了弧长公式、扇形面积公式的理解。五、 在应用题教学中的应用抽象、概括与比较、分析、综合一样，都是思维的过程。概括是一种特殊式的综合，是数学能力的基础。应用题教学对培养学生的抽象概括能力尤为重要。每一道应用题都有其一组或几组具体的数量关系。如：红花的朵数+黄花的朵数=花的总数；每行的棵数×行数=总棵数。教学中教师要根据学生的学习情况，把握时机引导学生在具体事物或现象中找出符合于一般规则或结论的特征，从而用一般来解释个别。像以上所列举的那些具体的数量关系式，可引导学生抽象概括为：部分数+另一部分数=总数；每份数×份数=总数。这样，在后继的学

13、习中，学生就能用这些基本数量关系式去解决不同的应用题。有人称一些数量关系式为“解题模式”，认为要求学生掌握会导致思维的僵化，抑制思维的发展。其实这些基本的数量关系式恰恰是一类应用题客观规律的高度抽象与概括，是将相同数量关系归类的结果。它对于学生理解、掌握学习内容，建立合理的认知结构，形成技能技巧起着非常重要的作用。教学中不难发现，即使是解答简单应用题，如果不能掌握与课题相应的最基本的数量关系，学生也无从下手。如：要解决加减或乘除法应用题，就要掌握总数与两个部分数，总数与每份数、份数之间的数量关系。有了这个条件，就集中在理解题意，把课题同化为相应的认知结构中去。复合应用题都可以分解成若干简单应用题，学生分析解答要多次从头脑中提取有关数量关系作为分析推理的“前提”，然后才能得出“结论”，完成解题任务。这些基本数量关系也是学生学习列方程解应用题，判断成正比例、反比例的量等知识的基础。前苏联心理学家克鲁捷茨基认为，数学能力之一就是“把数学材料形式化，把形式从内容中分离出来，从具体的数量关系和空间形式中抽象它们以及用形式的结构（即关系和联系的结构）来进行运算的能力。”通过应用题教学，要逐步培养学生从大量的或繁杂的数学材料中抽取最重要的本质特征，从外表不同的数学材料中看出共同点。抽象思维是从具体事物开始的，最后还要回到具体事物中去，要培养学生把概括了的