第二章定量子力学

1、 微观粒子的基本属性不能用经典语言确切描述。微观粒子的基本属性不能用经典语言确切描述。 量子力学用量子力学用波函数波函数描述微观粒子的运动状态，描述微观粒子的运动状态，波函数所遵从的方程波函数所遵从的方程薛定谔方程薛定谔方程是量子力学的基本方是量子力学的基本方程。程。 这一章开始介绍量子力学的基本理论与方法。 主要介绍： 1. 二个基本假设： A. 微观粒子行为由波函数描述,波函数具有统计意义。 B. 描述微观粒子行为的波函数由薛定谔方程解出。 2. 用定态薛定谔方程求解三个简单问题： A. 一维无限深势阱 B. 一维谐振子 C. 势垒贯穿（隧道效应） 1.1.理解微观粒子运动状态的描述理解微

2、观粒子运动状态的描述 波函数波函数及其统计解释。及其统计解释。 2.2.通过对实验的分析通过对实验的分析, ,理解态叠加原理。理解态叠加原理。 3.3.掌握微观粒子运动的动力学方程掌握微观粒子运动的动力学方程 波函波函数随时间演化的规律数随时间演化的规律 Schrdinger方程。方程。 4.4.掌握定态及其性质。掌握定态及其性质。 5.5.通过对三个实例的讨论通过对三个实例的讨论, ,掌握定态掌握定态Schrdinger 方程的求解。方程的求解。学习要求学习要求作业：作业：2.1; 2.2; 2.32.5,( )0,xaU xaxaxa 在补上这个范围： 微观粒子因具有波粒二象性，其运动状态

3、的描微观粒子因具有波粒二象性，其运动状态的描述必有别于经典力学对粒子运动状态的描述，即述必有别于经典力学对粒子运动状态的描述，即微观粒子的运动状态不能用坐标、速度、加速度微观粒子的运动状态不能用坐标、速度、加速度等物理量来描述。等物理量来描述。这就要求在描述微观粒子的运这就要求在描述微观粒子的运动时，要有创新的概念和思想来统一波和粒子这动时，要有创新的概念和思想来统一波和粒子这样两个在经典物理中截然不同的物理图像样两个在经典物理中截然不同的物理图像。1 1微观粒子状态的描述微观粒子状态的描述 德布罗意德布罗意指出指出：微观粒子的运动状态可用一个复微观粒子的运动状态可用一个复函数函数 来描述，来

4、描述，函数函数 称为称为波函数。波函数。( , )r t( , )r t 描述自由粒子的波是具有确定能量和动量的平面波，描述自由粒子的波是具有确定能量和动量的平面波，因此自由粒子的波函数如下：因此自由粒子的波函数如下：2.1 波函数的统计解释波函数的统计解释自由粒子的德布罗意波函数为自由粒子的德布罗意波函数为 如果粒子处于随时间和位置变化的力场中如果粒子处于随时间和位置变化的力场中 运运动，它的动量和能量不再是常量（或不同时为常量）粒动，它的动量和能量不再是常量（或不同时为常量）粒子的状态就不能用平面波描写，而必须用较复杂的波描子的状态就不能用平面波描写，而必须用较复杂的波描写，一般记为：写，

5、一般记为：描写粒子状态的波函数，它通常是一个描写粒子状态的波函数，它通常是一个复函数复函数。()( , )iP rEtPr tAe ( ,t)r( ( ) )U U, ,r r t tr r一个问题：一个问题： 是怎样描述粒子的状态呢？是怎样描述粒子的状态呢？2 2、玻恩的概率波的统计解释、玻恩的概率波的统计解释波函数的统计解释波函数的统计解释光栅衍射光栅衍射电子衍射电子衍射类类比比2oEI 2|INNhINI I大处大处 到达光子数多到达光子数多I小处小处 到达光子数少到达光子数少I=0 无光子到达无光子到达各光子起点、终点、路各光子起点、终点、路径均不确定径均不确定用用I对屏上光子数分布作

6、对屏上光子数分布作概率性描述概率性描述各电子起点、终点、路径各电子起点、终点、路径均不确定均不确定2|用对屏上电子数分布对屏上电子数分布作概率性描述作概率性描述电子到达该处概率大电子到达该处概率大电子到达该处概率为零电子到达该处概率为零电子到达该处概率小电子到达该处概率小光栅衍射光栅衍射电子衍射电子衍射19261926年年, ,玻恩玻恩(M.Born)(M.Born)首先提出了波函数的统计解释：首先提出了波函数的统计解释： 波函数在空间中某一点的强度（波函数模的平波函数在空间中某一点的强度（波函数模的平方）与粒子在该点出现的概率（几率）成正比。方）与粒子在该点出现的概率（几率）成正比。（2 2

7、） 入射电子流强度大，很快显示衍射图样入射电子流强度大，很快显示衍射图样. . 可见，波函数模的平方可见，波函数模的平方 与粒子与粒子 时刻在时刻在 处附近出现的概率成正比。处附近出现的概率成正比。rt2, r t 波波 动动 观观 点点 粒粒 子子 观观 点点明纹处明纹处: : 电子波强电子波强 (x,y,z,t)(x,y,z,t) 2 2大大 电子出现的概率大电子出现的概率大暗纹处暗纹处: : 电子波强电子波强 (x,y,z,t)(x,y,z,t) 2 2小小 电子出现的概率小电子出现的概率小 （1 1）入射电子流强度小，开始显示电子的微粒入射电子流强度小，开始显示电子的微粒性，长时间亦显

8、示衍射图样性，长时间亦显示衍射图样; ;概率波概率波：个别微观粒子个别微观粒子的出现有一定的的出现有一定的偶然性偶然性，但，但是是大量粒子大量粒子在空间何处出现的空间分布却服从在空间何处出现的空间分布却服从一定一定的统计规律的统计规律。德布罗意波德布罗意波(物质波物质波)是概率波。是概率波。补充概率补充概率波的概念波的概念( , )( , , , )r tx y z t 波函数一般表示为波函数一般表示为复指数函数复指数函数形式：形式：波函数的强度波函数的强度模的平方模的平方*|2波函数与其共轭复数的乘积波函数与其共轭复数的乘积波函数的统计解释波函数的统计解释 波函数在空间中某一点的强度（波函数

9、模的平方）与波函数在空间中某一点的强度（波函数模的平方）与粒子在该点出现的概率（几率）成正比。粒子在该点出现的概率（几率）成正比。2|有意义的不是本身，而是:|2概率密度，粒子在空间分布的统计规律概率密度，粒子在空间分布的统计规律:概率幅概率幅注意：描述同一概率波和在空间各点的比值，的大小，而是重要的不是c22|遵从叠加原理21212122112212*|干涉项干涉项（第二节课讲）（第二节课讲）2*( , )( , ) ( , )r tr tr t设粒子状态由波函数设粒子状态由波函数 描述，波的强度是描述，波的强度是( , )r t2( , )( , )dW r tCr td则微观粒子在则微观

10、粒子在t t 时刻出现在时刻出现在 处体积元处体积元dd内的内的几率几率r 这表明描写粒子的波是几率波这表明描写粒子的波是几率波( (概率波概率波) ), ,反映微反映微观客体运动的一种统计规律性，波函数观客体运动的一种统计规律性，波函数 有时有时也称为几率幅。也称为几率幅。, r t 按按BornBorn提出的波函数的统计解释提出的波函数的统计解释, ,粒子在空间中粒子在空间中某一点某一点 处出现的概率与粒子的波函数在该点模的处出现的概率与粒子的波函数在该点模的平方成比例平方成比例r2( , )( , )( , )dW r tr tCr td （1 1）“微观粒子的运动状态用波函数描述，微观

11、粒子的运动状态用波函数描述，描写粒描写粒子的波是几率波子的波是几率波”，这是量子力学的一个基本假设，这是量子力学的一个基本假设（基本原理）基本原理）。 知道了描述微观粒子状态的波函数，就可知道粒知道了描述微观粒子状态的波函数，就可知道粒子在空间各点处出现的几率，以后的讨论进一步知道，子在空间各点处出现的几率，以后的讨论进一步知道，波函数给出体系的一切性质，因此说波函数描写体系波函数给出体系的一切性质，因此说波函数描写体系的量子状态（简称状态或态）的量子状态（简称状态或态）（2 2）波函数一般用）波函数一般用复函数复函数表示。表示。（3 3）波函数一般满足）波函数一般满足连续性、有限性、单值性连

12、续性、有限性、单值性。必 须 注 意必 须 注 意 称为几率密度称为几率密度( (概率密度概率密度) )( , )( , )r tCr t令令 和和 所描写状态的相对几率是相所描写状态的相对几率是相同的，这里的同的，这里的 是常数。是常数。, r t,Cr tC 时刻，时刻，在在空间任意两点空间任意两点 和和 处找到粒子的处找到粒子的相对几率是：相对几率是：t1r2r221122( , )( , )(, )(, )Cr tr tCr tr t可见，可见， 和和 描述的是同一几率波，所描述的是同一几率波，所以波函数有一常数因子不定性。以波函数有一常数因子不定性。, r t, r t3波函数的归一

13、化条件波函数的归一化条件 非相对论量子力学仅研究低能粒子，实物粒子非相对论量子力学仅研究低能粒子，实物粒子不会产生与湮灭。这样，对一个粒子而言，它在全不会产生与湮灭。这样，对一个粒子而言，它在全空间出现的几率等于一，所以粒子在空间各点出现空间出现的几率等于一，所以粒子在空间各点出现的几率只取决于波函数在空间各点强度的相对比例，的几率只取决于波函数在空间各点强度的相对比例，而不取决于强度的绝对大小，因而，将波函数乘上而不取决于强度的绝对大小，因而，将波函数乘上一个常数后，所描写的粒子状态不变，即一个常数后，所描写的粒子状态不变，即 和和 描述同一状态描述同一状态, r t,Cr t 这与经典波截

14、然不同。对于经典波，当波幅增大这与经典波截然不同。对于经典波，当波幅增大一倍（原来的一倍（原来的 2 2 倍）时，则相应的波动能量将为原倍）时，则相应的波动能量将为原来的来的 4 4 倍，因而代表完全不同的波动状态。经典波倍，因而代表完全不同的波动状态。经典波无归一化问题。无归一化问题。 为消除波函数有任一常数因子的这种不确定性，利为消除波函数有任一常数因子的这种不确定性，利用粒子在全空间出现的几率等于一的特性，提出波函用粒子在全空间出现的几率等于一的特性，提出波函数的归一化条件：数的归一化条件：又因又因222( , )( , )1r tdCr td21( , )Cr td其中其中称为归一化常

15、数称为归一化常数于是于是dtrtrtrtr222),(),(),(),(归一化条件消除了波函数归一化条件消除了波函数常数因子常数因子的一种不确定性的一种不确定性。12d)t , r(d )t , r(满足此条件的波函数满足此条件的波函数 称为称为归一化波函数归一化波函数。, r t经典粒子与微观粒子描述的区别经典粒子与微观粒子描述的区别:描述描述经典粒子经典粒子:坐标、动量，其它力学量都可确定坐标、动量，其它力学量都可确定描述描述微观粒子微观粒子：波函数：波函数 各个力学量出现各个力学量出现的几率的几率( , , , )x y z t2 在空间某处发现实物粒子的在空间某处发现实物粒子的几率几率

16、同同波函数的波函数的模模的的平方平方成正比。成正比。因此，因此，t时刻在时刻在(x,y,z)附近小体积附近小体积dV中出现微观粒中出现微观粒子的概率为子的概率为2,dVdV dxdydzdV 和和C 表示同一个概率波。通常表示同一个概率波。通常C由总的概率为由总的概率为1的的归一条件决定。归一条件决定。微观粒子几率波（物质波）与经典波的本质区别微观粒子几率波（物质波）与经典波的本质区别经典波经典波的波函数是实数，具有物理意义，可测量。的波函数是实数，具有物理意义，可测量。可测量，具有实际物理意义可测量，具有实际物理意义区别：区别：（1）物质波物质波是复函数，本身无具体的实际物理意义，是复函数，

17、本身无具体的实际物理意义， 一一般是不可测量的。般是不可测量的。 2（2）、物质波物质波是概率波。是概率波。 C 等价等价对于经典波对于经典波CAA ECE2 联系：都有相干性联系：都有相干性解：先把函数归一化，利用归一化条件解：先把函数归一化，利用归一化条件 dx)x(2 例：求波函数归一化常数和概率密度。例：求波函数归一化常数和概率密度。 )0( )0( 0axxasinAeax,xxEti adxaxsinA022 122 aAaA2 2w )0( 2)0( 02axaxsinaax,x Ex.1 已知一维粒子状态波函数为已知一维粒子状态波函数为221( , )exp22ir tAa x

18、t求归一化的波函数，粒子的几率分布，粒子在何处求归一化的波函数，粒子的几率分布，粒子在何处出现的几率最大。出现的几率最大。 dxeAdxtrxa2222),(22Aa2/ 1/aA归一化常数归一化常数Solve: 12 211/222( , )/ia xtr tae 归一化的波函数归一化的波函数(1).求求归一化的波函数归一化的波函数（2 2）几率分布）几率分布： 222),(),(xaeatxtx（3 3）由几率密度的极值条件）由几率密度的极值条件 2 22( , )20a xdx taa xedx 由于由于 220( , )0 xdx tdx0 x 故故 处，粒子出现几率最大。处，粒子出现

19、几率最大。0 x1 1、设波函数为、设波函数为 ( , , , )x y z t2( , , , )dydzx y z tdx求在（求在（x,x+dx )范围内找到粒范围内找到粒子的概率子的概率.补充例题补充例题2 2、在球坐标系中，波函数表示为、在球坐标系中，波函数表示为 ( , ) ( , , , )rt 求在球壳内（求在球壳内（r,r+dr)r,r+dr)中找到粒子的概率中找到粒子的概率方向的立体角中找到粒子的概率。方向的立体角中找到粒子的概率。在在220( , , )r drrd 22200sin( , , )ddrr dr 22sindVdxdydzrdrd dr drd 2.2 2

20、.2 态的迭加原理态的迭加原理 态迭加原理是量子力学中一个很重要的原理，这一节先作一些初步介绍，随着学习量子力学内容的不断深入，会不断加深对态迭加原理的理解。21、量子态和波函数、量子态和波函数 用波函数用波函数 （r,t）来描述微观粒子的量子态。）来描述微观粒子的量子态。当当（r,t）给定后，如果测量其位置，粒子出现在）给定后，如果测量其位置，粒子出现在点的几率密度为点的几率密度为 波函数的统计解释也是波粒二象性的一种体现。波函数的统计解释也是波粒二象性的一种体现。 经典波：遵从迭加原理，两个可能的波动过程迭加后经典波：遵从迭加原理，两个可能的波动过程迭加后也是一个可能的波动过程。如：惠更斯

21、原理。也是一个可能的波动过程。如：惠更斯原理。 描述微观粒子的波是几率波，是否可迭加？意义是否描述微观粒子的波是几率波，是否可迭加？意义是否与经典相同？与经典相同？2波的叠加是线性的，所以所有的态矢都满足线性关系。当粒子处于当粒子处于1和和2的叠加态的叠加态时，粒子在某点时，粒子在某点P处出现的概率为：处出现的概率为：|2 2 = |C = |C1 11 1+ C+ C2 22 2| |2 2 （1 1） 叠加后的波函数叠加后的波函数：= C= C1 11 1 + C + C2 22 2（2 2） 电子的概率分布电子的概率分布：粒子以粒子以1态态出现出现在点的在点的概率概率粒子以粒子以2态出态

22、出现在点的概现在点的概率率1 和和2的的相干项，相干项，正是由于相干项的正是由于相干项的出现，才产生了衍出现，才产生了衍射花纹。射花纹。2 2 态叠加原理的一般表述态叠加原理的一般表述（3 3） 态叠加原理的物理意义态叠加原理的物理意义： 如果如果1 1和和2 2 是体系的可能状态，那末它们的线是体系的可能状态，那末它们的线性叠加性叠加= C= C1 11 1 + C + C2 22 2 也是该体系的一个可能状也是该体系的一个可能状态态. . 若若1 1，2 2 ,.,.,n n 是体系的一系列可能的状态，则是体系的一系列可能的状态，则这些态的线性叠加态这些态的线性叠加态= C= C1 11

23、1 + C + C2 22 2 + .+ C + .+ Cn nn n ( (其中其中 C C1 1 , C , C2 2 ,.,C,.,Cn n 为复常数为复常数) )也是体系的一个可能状也是体系的一个可能状态。态。当体系处在迭加态时，体系部分处在1态、也处在2态，等，即各有一定几率处在迭加之前的各个态i，但是所有几率和为1。 物理意义物理意义：处于：处于态的体系，部分的处于态的体系，部分的处于 1 1态态，部分的处于，部分的处于2 2态态.，部分的处于，部分的处于n n。量子力学的态叠加原理可以表示为量子力学的态叠加原理可以表示为：nnnc其中其中cn是复数是复数.3. 量子力学使用最多的

24、是把一个态分解为某一个算符量子力学使用最多的是把一个态分解为某一个算符本征态本征态的迭加。量子力学的态的迭加是波函数的迭加。的迭加。量子力学的态的迭加是波函数的迭加。一个结论一个结论：任何一个波函数：任何一个波函数 (r,t)都可以看作是各都可以看作是各种不同动量的平面波的叠加种不同动量的平面波的叠加.zyxppddpdprtpctr)(),(),()3/21( , )(2)ip rEtpr te 数学表示式数学表示式：是动量一定的平面波。这在是动量一定的平面波。这在数学上是成立的，这正好是数学上是成立的，这正好是非周期函数的傅立叶展开。非周期函数的傅立叶展开。*( )( ) ( , )pC

25、prr t dxdydz 三维情况三维情况：具体推导见后面具体推导见后面.一维情况一维情况 ：()12( , )( , )( , )1( , )(2)pipx Etxtc ptxt dpc pt edp()1/21( , )( , )(2)ipx Etc ptxt edx例例电子在晶体表面反射后，电子在晶体表面反射后，电子可能以各种不同的电子可能以各种不同的动量动量 p p 运动。具有确运动。具有确定动量的运动状态用定动量的运动状态用deBroglie deBroglie 平面波表示平面波表示 d d根据叠加原理，在晶体表面反射后，电子根据叠加原理，在晶体表面反射后，电子的状态的状态可表示成可

26、表示成 p p 取各种可能值的平取各种可能值的平面波的线性叠加，即面波的线性叠加，即 )(expEtrpiAp了了求求和和。所所以以后后式式应应用用积积分分代代替替是是连连续续变变化化的的，由由于于其其中中，pdpdpdppdpdtrpctrtrpctrzyxppp ),()(),(),()(),( 动量空间（表象）的波函数动量空间（表象）的波函数 可以证明：波函数可以证明：波函数 (r,t) (r,t) 可用各种不同动量可用各种不同动量的平面波表示。的平面波表示。3/21( , )exp ()2pir tp rEt 若（）( , )( , )( )pr tc p tr dp则zyxdpdpd

27、prpitpcexp),()2(12/3 ( , )( )( , )pc p trr t dr3/21( , )exp()2ir tp rEt dxdydz（）根据傅立叶变化根据傅立叶变化Fourier 变换变换( )( )ikxF kf x edxFourier 逆变换逆变换1( )( )2ikxf xF k e dk几点说明几点说明l (r,t) (r,t)是以坐标是以坐标 r r 为自变量的波函数，为自变量的波函数， 坐标空间波函数，坐标空间波函数，坐标表象坐标表象波函数；波函数； lC(p, t)C(p, t) 是以动量是以动量 p p 为自变量的波函数，为自变量的波函数， 动量空间波

28、函数，动量空间波函数，动量表象动量表象波函数；波函数； l二者描写同一量子状态。二者描写同一量子状态。体体积积元元内内的的几几率率；点点附附近近时时刻刻粒粒子子出出现现在在rdrtrdtrtrdW 2|),(|),(体体积积元元内内的的几几率率。点点附附近近时时刻刻粒粒子子出出现现在在动动量量pdptpdtrctpdW 2|),(|),(薛定谔薛定谔(Schroding,1897-1961)奥地利人奥地利人,因发现原子因发现原子理论的有效的新形式一波动力学与狄拉克理论的有效的新形式一波动力学与狄拉克(Dirac,1902-1984)因创立相对论性的波动方程一狄拉克方程因创立相对论性的波动方程一

29、狄拉克方程,共同分共同分享了享了1933年度诺贝尔物理学奖。年度诺贝尔物理学奖。量子力学中的微观粒子用波函数表示。量子力学中的微观粒子用波函数表示。初始状态波函数初始状态波函数薛定谔方程薛定谔方程任意时刻的波函数任意时刻的波函数质点（坐标、动量）质点（坐标、动量）、初始状态、初始状态牛顿定律牛顿定律任意时刻的状态任意时刻的状态薛定谔方程的薛定谔方程的特点特点：1、含有、含有时间和坐标时间和坐标的函数的函数2、线性方程线性方程（由叠加原理可得）（由叠加原理可得）3、方程的系数不含状态参量（动量、能量），各、方程的系数不含状态参量（动量、能量），各种可能状态都要满足方程种可能状态都要满足方程.2.

30、3 Schrdinger方程方程 2 2 一维自由粒子的薛定谔方程一维自由粒子的薛定谔方程()()( , )xxiip x EtEtp xx tAeAe2222xpx Eit 22xEpm1 1 一维自由粒子的性质一维自由粒子的性质薛定谔方程的建立薛定谔方程的建立一一 含时含时SchrodingerSchrodinger方程方程Eti222222xpEmxm 2222itmx Eti222222xpEmxm 三维自由粒子薛定谔方程（具体过程在下一页）三维自由粒子薛定谔方程（具体过程在下一页）算符算符tiE能量算符：ipp动量算符：zkyjxi纳波拉算符：（1 1）在外力场中粒子的总能量：）在外

31、力场中粒子的总能量：),(212trVpmE（三维）（三维）titrVm),(222薛定谔方程薛定谔方程 Hti 总结外力场中微观粒子的薛定谔方程总结外力场中微观粒子的薛定谔方程（2 2）方程）方程titxVxm),(2222（一维）（一维）（3 3）哈密顿算符）哈密顿算符),(222trVmH 薛定谔方程讨论薛定谔方程讨论1、薛定谔方程也称波动方程，描述在势场、薛定谔方程也称波动方程，描述在势场U中粒中粒子状态随时间的变化规律。子状态随时间的变化规律。2 、薛定谔方程是建立起来的而不是推导出来的、薛定谔方程是建立起来的而不是推导出来的，其正确性由实验验证。薛定谔方程实质上是一，其正确性由实验

32、验证。薛定谔方程实质上是一种基本假设，不能从其他更基本原理或方程推导种基本假设，不能从其他更基本原理或方程推导出来，它的正确性由它解出的结果是否符合实验出来，它的正确性由它解出的结果是否符合实验来检验。来检验。3、薛定谔方程是线性方程。是微观粒子的基本、薛定谔方程是线性方程。是微观粒子的基本方程，其地位相当于牛顿方程。方程，其地位相当于牛顿方程。4、自由粒子波函数必须是复数形式，否则不满、自由粒子波函数必须是复数形式，否则不满足自由粒子薛定谔方程。足自由粒子薛定谔方程。5、薛定谔方程是非相对论的方程。、薛定谔方程是非相对论的方程。22( )2iV rtm （势函数与时间无关）（势函数与时间无关

33、）( , )( ) ( )r tr f t令令)z , y,x(VmH 222 2.5 2.5 定态定态SchrodingerSchrodinger方程（重点）方程（重点）1 1 条件条件2 2 方程方程22( )2iV rtm Schrodinger方程：方程：22( )2iV rtmH 把它代入把它代入Schrodinger方程方程可得：可得：22( )( )( )( )2firfrV rr ftm221( )( ) ( )2( )idfrV rrf dtmr只是只是时间时间的函数的函数只是只是空间坐标空间坐标的函数的函数i d fEf dt( )iEtf tCe两边同时除于两边同时除于(

34、 , )( ) ( )r tr f t可得可得两边只能等于一个常数才能相等，设常数为两边只能等于一个常数才能相等，设常数为E。1 d fiEdtf dt2222*( , )( , ).( , )( )( )iEtr tr tr trer （1 1）在）在形如上式的波函数所描述的状态中，粒子能量形如上式的波函数所描述的状态中，粒子能量E和概率密度都不随时间而变化，即和概率密度都不随时间而变化，即与时间无关，与时间无关，这种这种状态叫做状态叫做定态定态，相应的波函数叫做，相应的波函数叫做定态波函数定态波函数.22( )( ) ( )( )2rU rrErm（定态薛定谔方程定态薛定谔方程）讨论讨论(

35、 , )( ) ( )( )( )iiEtEtr tr f tr Cer e定态波函数定态波函数总结总结:分离变量中引入的常数分离变量中引入的常数E为粒子的能量，当粒子处在为粒子的能量，当粒子处在由上述波函数所描述的状态时，粒子的能量由上述波函数所描述的状态时，粒子的能量E有确定的值，有确定的值，这种状态称为定态；描述定态的上述波函数称为定态波函这种状态称为定态；描述定态的上述波函数称为定态波函数。数。2222( )() ( )0dmxE Vxdx（2 2）粒子在一维势场中）粒子在一维势场中（一维定态薛定谔方程）：（一维定态薛定谔方程）：必须牢记必须牢记适用范围：单粒子；定态；一维适用范围：单

36、粒子；定态；一维因此求定态波函数归结为求波函数，也叫做因此求定态波函数归结为求波函数，也叫做定态波函数。定态定态波函数。定态 Schrdinger方程，其方程，其突出特点是方程中突出特点是方程中不含时间变量不含时间变量.定态定态：特殊状态，能量有确定值，在定态中，它的几：特殊状态，能量有确定值，在定态中，它的几率密度，几率流密度都与时间无关。率密度，几率流密度都与时间无关。具体见课本具体见课本32页页( , )( , )r tiEr tt22( )( , )( , )2U rr tEr t 这两个方程都是以一个算符作用在定态波函数这两个方程都是以一个算符作用在定态波函数 上，得出定态能量乘以该

37、定态波函数，因此算符上，得出定态能量乘以该定态波函数，因此算符),(tr（9 9）（7 7）总总 结结22( )( )( )2U rrEr 均称为均称为能量算符能量算符22( )2U r )(222rUH利用哈密顿算符利用哈密顿算符(能量算符能量算符)可将方程可将方程(9)和定态和定态SchrSchrdingerdinger方程方程(7)和和分别分别写成写成),(),(trEtrH（12） （13） ( )( )HrEr和和两式均称为两式均称为哈密顿哈密顿算符算符(能量算符能量算符)的的本征方程本征方程 的的本征函数本征函数H能量能量本征值本征值 为为本征波函数本征波函数),( trit见课本

38、见课本33页页关于定态的关于定态的例题在教案例题在教案中中.2.4 粒子流密度和粒子数守恒定律粒子流密度和粒子数守恒定律21( )2iV rtmi *2*1( )2iV rtmi 具体见课本具体见课本高斯定理高斯定理 粒子流密度和粒子数守恒定律总结粒子流密度和粒子数守恒定律总结222iVt 222iVt 2222iitt 22it （）2didddt （）dJdtrdtdVV),(1 1 粒子流密度（几率流密度）粒子流密度（几率流密度）2iJ SdJdtrdtdSV),(闭区域上找到粒子闭区域上找到粒子的总几率在单位时的总几率在单位时间内的增量间内的增量几率流密度，是几率流密度，是一矢量。一矢

39、量。单位时间内通过单位时间内通过V V的的封闭表面封闭表面 S S 流入流入（面积分前面的负号）（面积分前面的负号）V V内的几率内的几率dJdtrdtdVV),(0 Jt 2 2 连续性方程连续性方程3 3 连续性方程的应用连续性方程的应用2|( , )|()2r tiJJ 质量流密度矢量质量流密度矢量质量密度质量密度0Jt质量守恒定律质量守恒定律电荷守恒定律电荷守恒定律0 eeJt 同理同理四、波函数标准条件四、波函数标准条件 (波函数是时间和坐标的单值函数波函数是时间和坐标的单值函数) 连续性，单值性，有限性。连续性，单值性，有限性。 1、单值与有限，由波函数的统计含义所定。、单值与有限

40、，由波函数的统计含义所定。 2、连续，由概率的连续性方程所确定。、连续，由概率的连续性方程所确定。 3、另外，一般情况下，还要求波函数一阶导数也连续。、另外，一般情况下，还要求波函数一阶导数也连续。说明说明： 几率守恒具有定域性质。当粒子在某地的概率减几率守恒具有定域性质。当粒子在某地的概率减小了，必然在另外一些地方的概率增加了，使总概小了，必然在另外一些地方的概率增加了，使总概率不变，并且伴随着有什么东西在流动来实现这种率不变，并且伴随着有什么东西在流动来实现这种变化。连续性就意味着某种流的存在。变化。连续性就意味着某种流的存在。2.6 2.6 一维定态问题一维定态问题2 2 求解步骤求解步

41、骤（1 1） 分析势函数，列出薛定谔方程；分析势函数，列出薛定谔方程；（2 2） 求解薛定谔方程；求解薛定谔方程；（3 3）利用标准条件（单值、有限、连续）确定未知数和）利用标准条件（单值、有限、连续）确定未知数和能量本征值；能量本征值；（4 4） 由归一化条件定出归一化系数由归一化条件定出归一化系数1 1 核心问题核心问题 波函数；能量波函数；能量一一 补充知识补充知识2222( )() ( )0dxE Vxdx0222 )x(kdx)x(d2sincosCkxDkx3sin()Ekx常微分方程的三种形式解常微分方程的三种形式解这是二阶常系数微分方程，有三种等价的解：这是二阶常系数微分方程，

42、有三种等价的解：kxkxAeBe 222( )( )0dxkxdx依方便依方便,随取一种形式的解随取一种形式的解.其方程的解其方程的解（最常用）最常用）1ikxikxAeBe 二、一维无限深二、一维无限深势阱势阱 金属中的自由电子可看作在一维无限深势阱中运动金属中的自由电子可看作在一维无限深势阱中运动其势能函数为：其势能函数为： )ax,ax()axa()x(V22220 VO2a Vx2a 0 V y束缚态束缚态通常将在无穷远处为零的波函数所描写的状态称为束缚态。一维无限深势阱中粒子的势能为一维无限深势阱中粒子的势能为基态基态：体系能量最低的态：体系能量最低的态222( )2(). ( )d

43、xVExdx V对对区：区：0 )x( VO2a Vx2a 0 V y波函数的有限性波函数的有限性波函数及其一阶、波函数及其一阶、二阶导数均有限二阶导数均有限22( )( ) ( )( )2( )dxV xxExdx222( )2( )0dxExdx0 V2 2kE令0222 )x(kdx)x(d 方程简化为：方程简化为：对对区：区： VO2a Vx2a 0 V y方程的通解为：方程的通解为：( )ikxikxxCeDe或由波函数的连续性由波函数的连续性,利用边界条件利用边界条件cossin022kakaAB( )cossinxAkxBkxcossin022kakaAB0O2ax2a y0()

44、( )022aa 可得cos02kaAsin02kaBA和和B不能同时为不能同时为0。否则。否则 处处处处为为0 。因此我们。因此我们得到两组解：得到两组解：.1,2,3,4,kann0,sin02kaA 0,cos02kaB (1,2,3)22kann对于第一组，对于第一组，n为偶数为偶数对于第二组，对于第二组，n为奇数为奇数1,2,3,nkan由此可求得由此可求得能量能量2222() 1, 2, 32nEnna2kE1,2,nknaO2ax1 n2 n3 n4 n1E2E3E4E2a 体系能量最低体系能量最低的态称为的态称为基态基态( )cossincossinnnxAkxBkxAxBxa

45、a( )cos1,3,5,nxAx na( )sin2,4,6,nxBx na波函数波函数0,sin02kaA 0,cos02kaB (1,2,3)22kann对于第一组，对于第一组，n为偶数为偶数对于第二组，对于第二组，n为奇数为奇数 ,n)xansin(an)xancos(a)x(64221,3,5, 2 2222cos1aanAxdxa2222sin1aanBxdxa2ABa由归一化条件求系数由归一化条件求系数2cos() 1,3,5,( )2sin()2,4,6,nxnaaxnxnaa( , )( )2sin(/2),1,2,3nniE tnniE tx tx enxaenaa一维无限

46、深势阱中粒一维无限深势阱中粒子的定态波函数为子的定态波函数为)x( 2)x( OO2axx1 n2 n3 n4 n1E2E3E4E2a 2a2a 1,3,5, 2 n)xancos(a)x( ,n)xansin(a)x(6422 )x()x( 相对于原点是对称的，称为相对于原点是对称的，称为正宇称正宇称或或偶宇称偶宇称。)x()x( 相对于原点是反对称的，称为相对于原点是反对称的，称为负宇称负宇称或或奇宇称奇宇称。同理，换一下势阱的范围，那么波函数和能量？同理，换一下势阱的范围，那么波函数和能量？ )ax,ax()axa()x(V222200()( )(,)axaV xxa xa 0(0)(

47、)(0,)xaV xxxa与例题推导过程类似，同学们与例题推导过程类似，同学们自己做。具体见周世勋所编的自己做。具体见周世勋所编的量子力学量子力学P34.其答案为：其答案为：这三种势阱的类型，同学们这三种势阱的类型，同学们务必掌握务必掌握。1cos() 1,3,5,2( )1sin()2,4,6,2nxnaaxnxnaa2222() 1, 2,38nEnna见作业题见作业题 Chapter 2The wave function and Schrdinger EquationaxxaxUxU,000)(0势垒贯穿是能量为势垒贯穿是能量为E E的粒子入射被势场散射的问题的粒子入射被势场散射的问题2

48、.82.8 势垒贯穿势垒贯穿 一维方势垒一维方势垒方势垒是一方势垒是一种典型势垒种典型势垒具体图见具体图见课本课本 Chapter 2The wave function and Schrdinger Equation222202220 (0,)2()0 (0)dExx adxdE Ux adx （1 1）EUEU0 0 情形情形1. 1. 定态薜定谔方程定态薜定谔方程0 aV(x) V0I II IIIE令令 12122kE122022()kE U Chapter 2The wave function and Schrdinger Equation则方程变为则方程变为)0(0), 0(0222

49、22122axkdxdaxxkdxd分分区区取取解解112211123(0)(1)(0)(2)()(3)ikxikxik xik xikxikxAeA exBeB ex aCeC ex a 2. 2. 方程的求解方程的求解向右传播的向右传播的入射平面波入射平面波向左传播的向左传播的反射平面波反射平面波由左向右的透射波由左向右的透射波因因区无由右向左传播区无由右向左传播的平面波，故的平面波，故0C 三式均三式均为两个为两个左右传左右传播的平播的平面波的面波的叠加叠加 Chapter 2The wave function and Schrdinger Equation 可得透射波振幅可得透射波振幅

50、 及反射波振幅及反射波振幅 与入射波与入射波振幅振幅 间间的关系的关系CAA联立这四个方程式，联立这四个方程式，消除消除 与与BB102012002332( )()()()xxxxx ax ax ax adddxdxdddxdx由由波波函函数数的的连连续续性性条条件件 A AB B1122k A k Ak B k B221ik aik aik aBeBeCe221221ik aik aikak Bek BekCeAekkekkekkCaikaikaik22122122121)()(4（4 4）2.8 2.8 势垒贯穿势垒贯穿 Chapter 2The wave function and Sch

51、rdinger EquationAekkekkakkkiAaikaik2222122122221)()(sin)(2（5 5）利用几率流密度公式利用几率流密度公式: :*()2iJm 求得入射波求得入射波 的几率流密度的几率流密度 xikAe121| AmkJ透射波透射波 的几率流密度的几率流密度 xikCe121|CmkJD反射波反射波 的几率流密度的几率流密度 xikeA121| |RkJAm Chapter 2The wave function and Schrdinger Equation 为了定量描述入射粒子透射势垒的几率和被势垒为了定量描述入射粒子透射势垒的几率和被势垒反射的几率，

52、定义透射系数和反射系数。反射的几率，定义透射系数和反射系数。3. 3. 透射系数和反射系数透射系数和反射系数透射透射系数系数222122222212221224sin)(4|kkakkkkkACJJDD（6 6）反射反射系数系数22 222122222 222212212|() sin|() sin4RJkkakARJAkkakk k（7 7）以上二式说明入射粒子一部分贯穿势垒到以上二式说明入射粒子一部分贯穿势垒到 的的IIIIII区域，另一部分则被势垒反射回来。区域，另一部分则被势垒反射回来。xa1DR表明粒子数守恒表明粒子数守恒透射系数透射系数D：透射波几率流密度与入射波几率流密度之比：透

53、射波几率流密度与入射波几率流密度之比反射系数反射系数R：反射波几率流密度与入射波几率流密度之比：反射波几率流密度与入射波几率流密度之比 一维方势垒（隧道效应）（一维方势垒（隧道效应）（具体推导过程见课本，同具体推导过程见课本，同学们只需要掌握思想即可）学们只需要掌握思想即可）隧道结隧道结：在两层金属导体之间夹一薄绝缘层。：在两层金属导体之间夹一薄绝缘层。电子的隧道效应电子的隧道效应：电子可以通过隧道结。：电子可以通过隧道结。EE0V0V0VV x1x2xO当电子能量低于势垒高度时0VE 22101 00 0 xxxxxVxx)x(V0VE （2 2）区区薛定谔方程为：薛定谔方程为：012121

54、2 kx0222222 kx20222 ()VEkEE0V0V0VVx1x2xO2122 EkxikxikBeAe111 区区薛定谔方程为：薛定谔方程为：2222( )() ( )0dxE Vxdx0323232 kx2322 EkxkxkeBeA22222 区区薛定谔方程为：薛定谔方程为：xikeA333 EE0V0V0VVx1x2xO2iJm 区粒子进入区粒子进入区的概率为区的概率为022()aVEDe透射系数为为势势垒垒的的宽宽度度12xxa02ln2 ()aDVE 势垒越宽透过的概率越小，势垒越宽透过的概率越小，(V0-E)越大透过的概率越小。越大透过的概率越小。EE0V0V0VVx1

55、x2xO Chapter 2The wave function and Schrdinger Equation（2 2）EUEU0 0情形情形( (第二种解法第二种解法) )122022()kE U 是虚数是虚数 23kik令令123022()kU E是实数是实数其中在在(4)(4)和和(6)(6)式中，把式中，把 换为换为 ，得到，得到2k3ik透射波振幅透射波振幅: : 113221331332()2ik aikk eCAkkshakikkchak（8 8） Chapter 2The wave function and Schrdinger Equation透射系数透射系数: : 2213

56、222222133134()4k kDkksh akk k（9 9）此结果表明，即使此结果表明，即使 ，透射系数，透射系数 一般不等于零。一般不等于零。即有透射现象，是纯的量子效应，这时即有透射现象，是纯的量子效应，这时0EUD0 aV(x)V0入射波入射波+反射波反射波透射波透射波x2.8 2.8 势垒贯穿势垒贯穿2/2( )Epm V r不在不在成立，这是因为坐标与动量是不可能同时确定的。成立，这是因为坐标与动量是不可能同时确定的。透射系数不为透射系数不为0，这说明粒子，这说明粒子在能量在能量E 小于势垒高度时仍能小于势垒高度时仍能贯穿势垒！这种现象称为隧道贯穿势垒！这种现象称为隧道效应。

57、在经典力学中隧道效应效应。在经典力学中隧道效应是不存在的，因为在经典力学是不存在的，因为在经典力学中，当粒子的能量小于势能时中，当粒子的能量小于势能时，粒子的动能是负数，而这是，粒子的动能是负数，而这是没有意义的。没有意义的。 Chapter 2The wave function and Schrdinger Equation隧道效应隧道效应 （tunnel effecttunnel effect） 粒子能够穿透比它动能更高的势垒的粒子能够穿透比它动能更高的势垒的现象称为现象称为隧道效应隧道效应. .它是粒子具有波动性它是粒子具有波动性的生动表现。当然，这种现象只在一定条的生动表现。当然，这种

58、现象只在一定条件下才比较显著。上图给出了势垒穿透的件下才比较显著。上图给出了势垒穿透的波动图象。著名的隧道扫描显微镜就是根波动图象。著名的隧道扫描显微镜就是根据这一原理制成的。据这一原理制成的。隧道效应具有广泛的应用价值。著名的隧隧道效应具有广泛的应用价值。著名的隧道扫描显微镜就是依据这一现象发明的。道扫描显微镜就是依据这一现象发明的。可把任意形状的势垒分割成许可把任意形状的势垒分割成许 多小势垒，这些小势垒可以近多小势垒，这些小势垒可以近 似用方势垒处理。似用方势垒处理。0 a bV(x)EdxdxExVbaeDD)(202 2.72.7 线性谐振子线性谐振子1 经典谐振子经典谐振子2220

59、,d xkmkxxxdtm其中解：解：x=Asin(t+)x=Asin(t+)2221122Vkxmx（1）补充）补充（2）势能）势能定义：若在一维空间中运动的粒子的势能为定义：若在一维空间中运动的粒子的势能为这种体系叫做一维线性谐振子。这个问题的重要这种体系叫做一维线性谐振子。这个问题的重要性在于许多体系都可以近似看作是线性谐振子。性在于许多体系都可以近似看作是线性谐振子。2212x在经典力学中，线性谐振子的运动是在经典力学中，线性谐振子的运动是简谐振动。简谐振动。2 研究背景研究背景 自然界任何体系在平衡位置附近的小振动（分子振动、晶格振动、原子核表面振动以及辐射场的振动、电子在原子核附件

60、的运动等）都可以分解成若干彼此独立的一维简谐振动（已简化）。对简谐振动的研究无论在理论上还是在应用上都是很重要的。（1） 背景背景（2） 模型模型V(x)ax0V02222121xkxV谐振子在自然界中广泛存在，比如谐振子在自然界中广泛存在，比如原子，分子的振动原子，分子的振动.3、方程的建立方程的建立222221()02dExdx2,Ex令，则222 ( )0dd 有时有时 也可用也可用 m注：注：表示表示这是一个变系数二级常微分方程这是一个变系数二级常微分方程2222()0dEVdx具体过程具体过程参看下面参看下面的的ppt.4 方程的解方程的解（1 1）渐近解）渐近解2220dd 当，解