高等教育出版社积分变换第四版答案

1、 即 Y ( s) = 2 s 3 ( s - 2) 2 = 31 1 1 1 1 3 1 1 1 + + - + 2 3 8s 2s 2s 8 s - 2 4 ( s - 2)2 方程的解为 y (t ) = L -1 3 1 1 2 3 2t 1 2t é ëY ( s ) ù û = 8 + 2 t + 2 t - 8 e + 4 te 5求下列微分、积分方程组的解： ì x¢ + x - y = et ï 1） í , x ( 0) = y ( 0) = 1 ； t ¢ y + 3 x - 2 y

2、 = 2e ï î ì x¢¢ - x + y + z = 0, x ( 0 ) = 1, ï 4） í x + y¢¢ - y + z = 0, y ( 0 ) = z ( 0 ) = x ¢ ( 0 ) ; ï î x + y + z ¢¢ - z = 0, y¢ ( 0 ) = z ¢ ( 0 ) = 0 ì x¢¢ + 2 x¢ + t y (t ) dt = 0 ï ò

3、;0 8） í , x ( 0 ) = 0, x¢ ( 0 ) = -1. -t ï î 4 x¢¢ - x¢ + y = e 解：1）对方程组的两个方程两边分别取 Laplace 变换，有 1 ì sX ( s ) - x ( 0 ) + X ( s ) - Y ( s ) = ï ï s -1 í ï sY ( s ) - y ( 0 ) + 3 X ( s ) - 2Y ( s ) = 2 ï s -1 î 即 s ì s + 1) X (

4、 s ) - Y ( s ) = ( ï ï s -1 í ï3 X ( s ) + ( s - 2) Y ( s ) = s + 1 ï s -1 î 解之可得 X ( s) = 1 1 ,Y ( s ) = s -1 s -1 取其逆变换，可得方程组的解为 t ì ïx (t) = e í t ï î y(t) = e 4）对方程组的三个方程两边分别取 Laplace 变换，有 ì ( s 2 - 1) X ( s ) + Y ( s ) + Z ( s ) = s &#

5、239; ï 2 í X ( s ) + ( s - 1) Y ( s ) + Z ( s ) = 0 ï 2 ï î X ( s ) + Y ( s ) + ( s - 1) Z ( s ) = 0 解之可得（注意：后两个方程表明 Y ( s ) = Z ( s ) 且 X ( s ) = - s 2Y ( s ) ） X ( s) = (s 2 + 1)( s - 2 ) 2 s3 = 2 s 1 s + 2 3 s - 2 3 s2 + 1 Y ( s) = Z ( s) = - 1 s 1 s + 2 3 s - 2 3 s2 + 1

6、取其逆变换，可得解为 2 1 ì x ( t ) = L -1 é X ( s )ù = cosh 2t + cos t ë û ï ï 3 3 í ï y ( t ) = z ( t ) = L -1 éY ( s ) ù = - 1 cosh 2t + 1 cos t ë û ï 3 3 î 8）对方程组的两个方程两边分别取 Laplace 变换，有 1 ì 2 s X ( s ) + 1 + 2 sX ( s ) + Y ( s

7、) = 0 ï ï s í ï 4 s 2 X ( s ) + 4 - sX ( s ) + Y ( s ) = 1 ï s+1 î 即 ì( s 3 + 2 s 2 ) X ( s ) + Y ( s ) = - s ï í 2 1 -4 ï( 4 s - s ) X ( s ) + Y ( s ) = s+1 î 消去 Y ( s ) ，可得 (s 即 3 - 2s 2 + s ) X ( s ) = - s - 1 +4 s+1 X ( s) = 4 s ( s - 1) 2 -

8、 1 ( s - 1) 2 - 1 s ( s + 1)( s - 1) 2 将 X ( s ) 的结果代入得 Y ( s ) = - s - ( s 3 + 2s 2 ) X ( s ) = -s - 4s ( s + 2) ( s - 1) 2 + s2 ( s + 2) ( s - 1) 2 + s ( s + 2) ( s + 1)( s - 1) 2 化简得 3 1 1 13 1 5 1 ì 2 ï X ( s) = s + 4 s + 1 - 4 s - 1 + 2 ( s - 1) ï í 1 31 1 ïY ( s ) = -

9、1 1 - 15 - 2 ï 4 s + 1 2 ( s - 1) 4 s -1 î 取其逆变换，可得方程组的解为 1 13 5 ì x ( t ) = 3 + e - t - e t + te t ï ï 4 4 2 í ï y ( t ) = - 1 e - t - 15 tet - 31 et ï î 4 2 4 7设在原点处质量为 m 的一质点在 t = 0 时在 x 方向上受到冲击力 kd ( t ) 的作用，其中 k 为常数，假定质点的初速度为零，求其运动规律. 解 : 由题意知，在 t 时刻

10、质点 m 处于 x 轴正向的点 x ( t ) 处，其运动速度为 x¢ ( t ) ，而加速度为 x¢¢ ( t ) ，且有初始条件 x ( 0 ) = x¢ ( 0 ) = 0 .根据 Newton 定律， 该质点的运动规律归结为下述微分方程的初值问题： ì ï mx¢¢ ( t ) = kd ( t ) í ï î x ( 0 ) = x¢ ( 0 ) = 0 方程两边取 Laplace 变换，且记 L é ë x ( t )ù û

11、 = X ( s ) ，则 ms 2 X ( s ) = k 即 X ( s) = x (t ) = L k ，从而方程的解（即质点的运动规律）为 ms 2 k é ë X ( s )ù û= mt -1 11某系统的激励 x ( t ) = sin t ，当系统响应 y ( t ) = e- t - cos t + sin t 时，求 1）系统的传递函数 G ( s ) ； 2）系统的脉冲响应函数 g ( t ) ； 3）系统的频率响应函数 G ( jw ) . 解:1）由传递函数的定义知 1 s 1 - 2 + 2 ù y t ( ) Y ( s) L é ë û = s+1 s +1 s +1 = 2 G ( s) = = 1 s+1 X ( s) L é ë x ( t )ù û 2 s +1 2由脉冲响应函数的定义知 g(t) = L -1 é ëG ( s ) ù