线性时延反馈变换系统的稳定性

1、线性时延反馈变换系统的稳定性摘要我们在线性反馈变换系统稳定性的研究中发现，延迟同时存在于反馈状态与变换控制器的信号变换中。对于随着平均滞留时间进行信号切换的切换系统而言,我们给定了一个条件,用以确保其闭环系统在延迟时间的上界和平均滞留时间的下界，是渐近稳定的。该条件也即是说，在通常情况下,线性反馈变换系统对于微弱的状态延迟和切换延迟的反应是比较迟钝的。我们的方法是，将多重李雅普诺夫函数法与综合信号切换技术两者进行结合,给出失配切换信号的平均滞留时间与失配次数之间的关系。并给出了一种基于线性矩阵不等式的求数值解的方法。关键词线性反馈，线性矩阵不等式（LMI），稳定性，线性变换系统，切换延迟，时间

2、延迟I介绍这项工作的重点是研究反馈变换系统在状态延迟和切换延迟中稳定性的存在条件。我们根据一个反馈变换系统，建立一个切换设备，用来连接一个具有反馈变换控制器的闭环系统。在理想情况下,该控制器能实时的存取该设备的状态及其变换信号。在这种情况下,该控制器的转换和该设备转换换是同步的,并且该闭环系统能够用一个单一的变换系统来代替，从而能够用多种方法实现其稳定性的分析(例如,文献2,4。然而，当该控制器转换相对于该设备具有一定的延迟时（例如，控制器与设备由一条公共信道隔离相连时），那么对该闭环系统的稳定性分析将由异步变换信号（来自该控制器和该设备的信号）和延迟状态两者来确定。目前关于延迟变换系统的文献

3、58都是只假定状态延迟，而不包括切换延迟。文献9只考虑反馈变换系统稳定性的切换延迟，而不包括状态延迟，其结果局限在切换滞留时间上。在我们的研究中，同时考虑到状态延迟和切换延迟，以及更为广泛的一类切换信号的平均滞留时间（这类信号可以有任意小的切换时间，并为那些平均切换时间较长的信号提供时间补偿）。相对于仅含状态延迟或者是仅含切换延迟的情况来说，同时处理状态延迟和切换延迟相当困难，因为状态延迟信号和切换延迟信号是建立在完全不同的两套模型上的（其状态空间和指标体系相互独立）。这项研究的成果在于，我们为这些延迟（包括状态延迟和切换延迟）规定了一个明确的条件，用以确保线性反馈变换系统的渐进稳定性。比起仅

4、含状态延迟或是仅含切换延迟的情况来说，我们的成果更趋保守，然而又因为同时考虑到这两种情况而显得更有新意。更进一步来讲，对具有延迟的线性反馈切换系统的渐进稳定性的认识仍不完整，在某些附加条件下的动力学系统，尚未建模的情况仍然存在。我们的方法采用了一种综合信号切换技术和多重李雅普诺夫相似函数法，这种方法建立在“延迟处理技术10”，“弱增益技术10，11”和“关于切换系统平均切换滞留时间的多重李雅普诺夫函数技术3”。文章接下来在第II节中阐述公式，然后在第III节给出主要结果。第IV节介绍一种基于线性矩阵不等式（LMI）的求数值解的方法。第V节对全文总结并对下一步研究做出讨论。II分析公式考察如下的

5、线性变换系统 （1）这里的xRn 是状态变量，uRm 是输入变量，:0,P是切换信号映射时间指数ApRn×n,BpRn×m,pP是状态输入矩阵。切换信号是P内的分段右连续函数。的间断点数称为切换次数。我们假定在一次切换时间内信号状态不发生跳变，并且在任意的有限区间内只发生有限多次信号切换。假设1：对任意pP，矩阵（Ap，Bp）不变，设有矩阵Kp , pP，使得Ap+ BpKp是胡尔维茨酉阵。则理想反馈状态切换控制器为： (2且相应的闭环系统为：在输入延迟的情况下，控制信号可以由下面的式子表示：其中，为输入延迟。在上述所有的例子中，控制信号都可以表示成如下的形式：其中和是非负

6、且不变的。（3）式在输入延迟、输出延迟和变化过程延迟都存在的情况下表达式为：考虑闭环系统包括（1）和（3），其中每个初始数据：，分段连续输入u：和变化信号，由Caratheodory定理可得x的轨迹始终存在且是唯一的（在已经线性化的系统中）对于，则可以说闭环变化系统是稳定的普通时变系统。但是主要的问题在于如果和不为零且在变化的系统中如何确保闭环系统的稳定性。 主要结果在介绍主要定理前，我们先对一些符号和变量进行定义：令1 系数和及增益：由于是由霍尔维茨函数得出的，因此肯定存在正定的二次函数其中，使得下式成立： (4对于，其中表示向量二范数（定理的证明参见附录）。由于是有限的，则可得出存在和。同

7、理存在正定二次函数其中，时： （5）对于（见附录定理A.1）。同理，由是有限的可得出在（4）和（5）中 存在。2）是保持不变的：由于是二次方程，所以存在，是下面式子成立： （6a） (6b可以令，但是在一些特定的中，可能会比较小。在本文第五部分提出了matlab的LIM工具箱模拟了。3）是恒定不变的：定义和，其中 表示推导出的矩阵范数。其中命题1：将变化系统（1）和控制器（2）一起考虑。假定命题1成立并且，对于正定不变的令： ， （7）如果 （8）式中。若对于所有初始状态和初始变换信号我们可以得出： （9） 其中，对于某个不变的和函数，这样就相当于。证明命题1的一个重要方法是将变化信号合并，比

8、如和，主要思想是令一个新的变换信号：正如下面式子说表述的： （10）表示合并的符号是，则可以表示为。由上述定义可知，变化时间的集合是变化时间集合和集合的合并。引理1：令，且，其中。证明，如果那么对于则有若是随时间变化的，有上述可知，可以假设延迟变化信号是确定的，也就是说，的顺序变化次数是和相应顺序的变化次数是相同的。引理2：令和若函数满足且。证明：在任意时间间隔，令是在间的变化倍数；令是，对应的的变化次数。由，得出和。由此可得出 （11）取使得成立，的并满足e>0的足够小的.这样在区间就没有变化了。因为在区间上有变化且，可以得出其中最后一个不等式由（11）得出的。因此，。引理3：令且其中

9、为正。对于时间间隔，令的总次数，令。假设对于任意t，有。如果有： （12）对于正定且不变的，和有 （13）其中， 证明：设是在的采样时间，并且 和。若或，则在内总时间将取决于并且。因此在内总时间将取决于并且，则 ，。因为且，故和，使若（12）式是真的，则，（13）式如下。备注1：条件（13）在总匹配时间和非总匹配时间的一开关信号及其用于定理1证明的延迟版本的特征的关系。对于稳定系统和切换模式12的不稳定系统的总时间结果的比较，定理12具有两个条件。首先，它依据与给出了匹配时间和非匹配时间的关系，而定理12起初是作为对稳定总时间和不稳定总时间的一种模型的假设。其次，在条件（13）中而在12中。当

10、时，而由开关量的延迟时间得出。证明:由定理1知闭环系统可为： (14且，。设由定理2得：由定理1可知 ，而与在（7）式中。对于连续系统，下面的技术用与10处理状态延迟：，。对于离散系统，由于在进行采样可以对这种情况进行忽略。设是在的采样时间，是在的采样个数；且，。定义，因为在没有采样且x是连续的则由于，。可得出：对于所有，只有在是初始时刻时不等式才成立。因为中的x取自于，x的初始状态仅从得到。从（14）中的和，可得出： （15）设，且在（5）式中。设T是一个时间变量如。从得出采样时间；和。定义例如当，和时。因为是的一个变量，由（4），(5,(14,(15式可得： （16）对不等式（16）用，进

11、行迭代使。且由（6b）式中得到: （17） 且条件（8）意味着存在如：由于上述不等式可化为： （18a） (18b (18c我们可从指数衰减的功能中得出。因为，有在采样和。所以。从（17）式中对和的定义，结合和可得出： (19由（18b）和定理3得出且。前面的不等式根据（17）式中的和（19）式可得到，；由于故。上述不等式和（17）时是根据和（6a）得出 (20当。因为式（20）对于所有的T总为真，我们可以得到。又由于有和，有。因为（18c），又因为，当时，上述不等式及式（20）告诉我们，因此，我们得到（21）对于所有的。前面定理中的不等式（9）根据（21）式用和代换和。根据的定义事实上有当时

12、。备注2：对于有界时变时滞 和 ，定理一中的结果仍然能用定理中阐明的 来代替，因为，用代换，有。这一结果的得到是通过合适的代入法（在 和， 和 之间）并指出引理2和3已经定义了时变延迟。备注3：充分条件（8）让我们知道对于 和 的关系，是确保闭环的稳定性的。对于确定的和，一个较大的需要一个较小的。反之也然。当 是最大的并且其值等于 。对于一个固定 ，一个较大的 需要一个更大的开关延迟 。反之亦然。当 有 是这方程 的解。对于一个固定 ，一个更大 也需要一个更大的状态延迟 。反之亦然。当 有 。A 特殊条件当没有状态延迟时，式（8）变成。（9）式则变为，对于这个特殊情况，我们对定理1中的证明做点

13、小小的调整，将会更多的后续结果。定理2：考虑到变换系统（1）和控制器 （3）中的，假设假设1成立并且 对于一些常数 和如果 有 （22），当，然后我们得到（23）。对于所有的和一些、，我们有因为。证明：如果，我们得到，因为没有不匹配的设备开关信号和控制器开关信号。又因为式（18b）自然成立。在证明定理一的第一步中，我们有 ， 。 然后定理一中所陈述的 和 被和替换。由此得定理二中的证明过程与定理一中的完全一样。定理二表明没有开关延迟，反馈的渐进稳定性在同样的条件下【3】下，线性系统的开关平均停留时间转换成小反馈鲁棒状态时滞。B 渐进稳定性定理一的一个重要含义是反馈线性切换系统的稳定性是鲁棒的要

14、考虑到状态和开关延迟因为开关延迟信号的平均停留时间足够长。推论一：考虑到转换系统（1）用控制器（3）。假设假设一成立，对于任意的常数和，如果（24），则存在绝对值和对于所有的和使得反馈转换线性系统是渐进稳定的。证明：当时。当时，由于，不等式（24）表明了和的存在性同时它使得。由此可见（9）式的成立是由定理一得出的。因为区间 是有限的，这个子系统是线性的，有不超过，所以对所有的都是有界的。在取值，x仍然是有界的。所以对于所有的，x是有界的，进一步得到这闭循环系统是李雅普诺夫稳定。当时，所以存在使得。取，显然存在使得和。类似的有，在不等式对于所有的k重复取值。因为，当时。由于式（9）对于所有的和成

15、立。所以当时，又因为，这个闭循环系统是渐进稳定的。备注4：用开关延迟信号和反馈状态建立鲁棒稳定性，我们要求设备的开关信号是这些在【3】中给定的转换系统处于无状态和无开关延时的信号两倍慢。平均停留时间在这种情况下的延迟的较大下界可以认为是对由转换控制器和转换设备之间的不匹配所引起的稳定性的补偿。不论是开关延迟或者是状态延迟，是否能在平均停留时间上获得一个更严格的界限，仍然是未来需要研究测话题。李雅普诺夫函数方法能使我们直接解决未建模动态的一些问题，考虑一个反馈切换系统未建模动态（25），对于一些 其中未建模动态满足 （26）。定理3：考虑用控制器（3）的转换系统（25）。假设假设1成立， 对于所

16、有的常数 和 和满足式（26）条件的。取（27a）如果 (28当 可得 (29对于一些常量 ,>0 和作用 这样等于。证明：证明几乎与定理1相同，只有小的修改.在（14）中，变量v变为.不等式（15）变为 基于.其它的证明与定理1相同，只是用代替了所有的.推论1、3也指出了当任何或全部这些数是当前值时，稳定的反馈转换系统能很好地抑制状态时滞,开关延迟,未建模动态线性界。IV LMI数值解法在条件（8）中，左边包含的k，随变化。这样与和联系得更紧密，我们希望越小越好。对于给出的，和，像在（4）和（5）中，p,q有很多选择，对应于在（6）中的很多可能性。有一种寻找较小的方法就是LMIs.我们

17、寻找两次，当 （30）这样不等式（4），（5）hold（标志表示是正定；同样表示负定）。不等式（4），在表面形式上是，可推导出LMI： （31）（我们用严格不等代替了不等.）同样的，由（5）推导出 （32）对于所有的，以及（6a）和（6b）可以写成 （33）对于给定的和，LMIs（30），（31），（32），和（33）的数值计算方法可以较好地解决应用计算软件（如MATLAB LMI工具箱）.然后可以从一个大，小，大和大然后慢慢增加和，慢慢减小，和达到预期的同时还能保证解决LMIs的设置.例1：考虑反馈转换系统(1的子系统 （34）假设转换的状态反馈控制器(3是对于每一种闭环回路，使得闭环极点在

18、-1，-2.用LMIs （30），（31），（32），我们可以找到，i=1,2，存在=0.2，=15，=，=3.8.设=2，用公式和（这是来自（8），我们得到和备注：公式(8给出的延迟界限是保守的。在上例中同样的转换系统，我们设置（无转换延迟）计算一个上界在使用（22）状态延迟，给定和（）.用5中的方法无状态延迟转换系统，在例子中用同样的转换系统，使和（，）.这样，我们的绑在时滞在没有延迟的情况,因此,更小的更为保守。然而,就像作了简要分析介绍,值得在这里强调,我们的结果涵盖了这两状态时滞和转换的延迟,而现有结果如5覆盖状态时滞而已。此外,我们的方法和效果可以很容易的将未建模动态化像III-D

19、部分。V. 结论在本论文中，我们研究了线性切换系统的反馈稳定性同时具有状态和转换延迟。当开关的开关信号是平均停留时间开关信号，我们提供了关于延迟上界和平均停留的开关信号的时间的一个下界的条件，以保证闭环约束较低的条件渐近稳定。稳定的结果也意味着稳定的反馈线性转换系统对于状态时滞和转换延迟以及小型线性添加的未建模动态具有鲁棒性。我们还提供了一个基于LMIS的数值方法和一个例子。将来的工作针对于扩展对于输出反馈的情况下和对于转换非线性系统的控制器设计的结果。（使用【10】中的工具和输入状态框架【13】和其它类型的低开关信号【14】）附录引理 A.1:使A成为任意Hurwitz矩阵.然后一直存在和就

20、像 . （35）如果A不是Hurwitz矩阵，我们可以在（35）中找到和。证明：设A是Hurwitz.使任意李亚普诺夫方程有正的确切解.定义设是的最小特征值是的最大特征值.使和我们可以取.然后设A不是Hurwitz.使任意.如果，像之前的例子（35）中，也有因为.设，当然后使我们有然后相当于在（35）中持续减小。鸣谢作者感谢Dr. D. Liberzon对于本论文提案给出的建设性意见。参考文献1 D. Liberzon, Switching in Systems and Control. Boston, MA:Birkhäuser, 2003.2 A. S. Morse, “Supe

21、rvisory control of families of linear set-point controllers,Part 1: Exact matching,” IEEE Trans. Autom. Control, vol. 41,no. 10, pp. 14131431, Oct. 1996.3 J. P. Hespanha and A. S. Morse, “Stability of switched systems with average dwell-time,” in Proc. 38th IEEE Conf. Decision Control, 1999,pp. 2655

22、2660.4 D. Liberzon, J. P. Hespanha, and A. S. Morse, “Stability of switched systems: A Lie-algebraic condition,” Syst. Control Lett., vol. 37, pp.117122, 1999.5 X. Sun, J. Zhao, and D. J. Hill, “Stability and 􀀀 -gain analysis for switched delay systems: A delay-dependent method,” Automatica

23、, vol.42, pp. 17691774, 2006.6 X. Sun, G. M. Dimirovski, J. Zhao, and W. Wang, “Exponential stability for switched delay systems based on average dwell time technique and Lyapunov function method,” in Proc. Amer. Control Conf.,2006, pp. 15391543.7 Y. G. Sun, L. Wang, and G. Xie, “Stability of switch

24、ed systems with time-varying delays: Delay-dependent common Lyapunov functional approach,” in Proc. Amer. Control Conf., 2006, pp. 15441549.8 X. Sun, D. Wang, W. Wang, and G. Yang, “Stability analysis and􀀀 -gain of switched delay systems with stable and unstable subsystems,”in Proc. 22nd IEEE Int. Symp. Intell. Control, 2007, pp.208213.9 G. Xie and L. Wang, “Stabilization of switched linear systems with time-delay in detection of switching signal,” J. Math. Anal. Appl., vol.305, pp. 277290, 2005.10 D. Liberzon, “Quantization, time delays, and nonlinea