轴对称变换提高题

1、几何变换 -轴对称变换提高题 【例题精讲】【例 1】 在 ABC 中, 由 A 点向 BC 边引高线, 垂足 D 落在 BC 上, 如果 2C B =, 求证:AC CD BD +=.【解法 1】 如图所示, 以 AD 为对称轴翻折 ADC 到 1ADC 的位置, 则 1C 在 BD 上,1AC AC =, 1C D CD =, 12AC D ACD B =.在 1ABC 中,根据外角定理可知 11ABC BAC =, 所以 11AC BC =,故 1111AC CD AC C D BC C D BD +=+=+=.【解法 2】 以 AD 为对称轴翻折 ABD 到 AED 的位置,则 12AE

2、D ABD ACB =,从而 CA CE =.进而 AC CD CE CD DE +=+=,而 DE BD =(由“翻折”的特点决定 , 故 AC CD BD +=.【解法 3】 回顾一下我们在第 10讲中所学的知识,可知 2( c b a b =+,即 22c b ab -=.注意到 2222222( 2c b BD CD a x x a ax -=-=-=-,故 22a ax ab -=, 即 2a x b -=,亦即 a x b x -=+,故 BD AC CD =+.【点评】 题设中的 2C B =给了我们太多的联想!我们不妨回忆一下第 4讲、第 5讲、第 10讲,看看是否还有其他解法

3、 (比如延长 AC 至 E ,使 CE CD =.A B CD C 1A B C D AB C D Ea-x x cbD C B A【例 2】 如图所示,在四边形 ABCD 中, BC CD =, 60BCA ACD -=,求证:AD CD AB +.【解析】 注意到 60BCA ACD -=,这提示我们可以进行对称变换以“创造”出 60角 .以 AC 为对称轴将 DAC 翻折到 ' D AC 的位置,连接 ' BD . 则 ' CD CD BC =,' ' 60BCD BCA ACD BCA ACD =-=-=, 故 ' D BC 为等边三角形

4、 .从而 ' ' AD CD AD D B AB +=+, 等号成立时 AC 平分 BAD .【变式】 (第 3届英国数学奥林匹克竞赛试题 如图所示,在 ABC 中, AB AC >, BE 、 CF 为 ABC的两条高,求证:AB CF AC BE +>+.【解法 1】 将 AB CF AC BE +>+改写为 AB AC BE CF ->-,可形成下面的思路:BAC 的平分线记为 l ,作点 C 关于 l 的对称点 ' C ,作点 F 关于 l 的对称点 ' F ,过点 ' C 作 BE 的垂线 ' C D ,因为 &

5、#39; AB AC BC -=, ' ' BE CF BE C F BD -=-=, 而 ' BC BD >,故 AB CF AC BE +>+.【解法 2】 我们用“分析法”寻求思路:AB CF AC BE +>+22( ( AB CF AC BE +>+222222AB CF AB CF AC BE AC BE +>+.注意到 224ABC AB CF AC BE S =, 222AB AE BE =+, 222AC AF CF =+, 故 22AB CF AC BE AE AF AE AF +>+>>. 而由 AB

6、E ACF 、 AB AC AE AF >>.D C B A D C B A E FCB A l C'F' E F C B A【例 3】 如图所示, 在四边形 ABCD 中, 30AB =, 48AD =, 14BC =, 40CD =, 90ABD BDC += ,求四边形 ABCD 的面积 .【解析】 直接计算四边形 ABCD 的面积有困难,注意到 90ABD BDC += ,我们以 BD 的垂直平分线l 为对称轴,作 ABD 的关于 l 的轴对称图形 ' A DB ,从而可以将角度集中 .1ABD A DB S S =, ' 30A D AB

7、=, ' 48A B AD =, ' A DB ABD =, 所以 ' ' A DC A DB BDC =+90ABD BDC =+= , 因此, ' A DC 是直角三角形 .由勾股定理求得 ' 50A C . 在 ' A BC 中, ' 50A C =, ' 48A B =, 14BC =.而 2222' 1448BC A B +=+1962304=+2500=2250' A C =. 由勾股定理的逆定理可知 ' 90A BC = . ' ABCD A BCD S S =' &#

8、39; A BC A DC S S =+11' ' 22A B BC A D CD =+ 114814304022=+ 336600936=+=.【变式】 在凸四边形 ABCD 中, 105ADB ABC = , 75CBD = . 如果 15AB CD =厘米,求四边形ABCD 的面积 .401430A'A B CD l 48401430A B C D A BCDA B C D C 1【解析】 如图所示,以 BD 边上的中垂线为对称轴作 DBC 的轴对称图形 1BDC ,则 1DBC BDC S S =, 175C DB CBD =, 110575180ADB C D

9、B +=+=, 故 A 、 D 、 1C 共线 .又因为 1057530ABD ABC CBD =-=-=, 由 ABD 可知 1801053045A =-=, 而 115C B CD AB =, 故 145C A =.因此 190ABC =, 1ABC 是等腰直角三角形 .故 111515112.52ABCD ABC S S =.【例 4】 (1993年圣彼得堡数学奥林匹克竞赛试题 已知点 M 是四边形 ABCD 的 BC 边的中点,且120AMD = , 证明:12AB BC CD AD +.【解析】 显然,要证题设的不等式,应当把 AB , 12BC , CD 三条线段首尾连接成一条折线

10、,然后再与线段 AD 比较 . 要实现这一构想,折线之首端应与 A 点重合,尾端应与 D 点重合,这可由轴对 称来实现 .因此 1111120( B MC B MA C MD =-+ 1206060=-= , 而 1112MB MC BC =,所以 11B MC 是等边三角形, 1112B C BC =. B 1AB CDM C 1AB CDM由于两点之间以直线段为最短,所以 1111AB B C C D AD +,即 12AB BC CD AD +.【变式】 (2001年波罗的海地区数学奥林匹克竞赛试题 设 M 是凸四边形 ABCD 的边 BC 的中点,135AMD = ,求证:AB CD

11、AD +.【解析】 作点 B 关于 AM 的对称点 ' B ,作点 C 关于 DM 的对称点 ' C ,连接 ' AB 、 ' ' B C 、 ' C D , 则 ' ' MB MB MC MC =, 且 ' AB AB =, ' C D CD =. 而 ' ' 90C MB =,则 ' ' ' B C =, 故 ' ' ' ' AB CD AB B C C D AD + +=+.【例 5】 (2001年波罗的海地区数学奥林匹克竞赛试题 如图所

12、示,在 ABC 中, A 的平分线交 BC 于点 D ,已知 2BD DC AD =,且 45ADB =,求 ABC 的各个内角 .【解析】 AD 是角平分线提示我们可以进行“翻折” .将点 C 翻折到 ' C 的位置,且 ' C 在 AB 的延长线上,且 ' AC AC =, ' DC DC , ' DC DC =.延长 CB 至点 E ,使 ED DC =,则 2BD ED AD =,故 E BAD DAC =, 从而 222AC ED DC DC =, 则 ' AC CC =, 故 ' AC C 为等边三角形 .故 60BAC =,

13、 15ACB =.【变式】 如图所示,已知在 ABC 中, 6AB =, 3AC =, 120BAC = , BAC 的平分线交 BC 于 D ,求 AD 之长 .C BA DC' C BAO ED B'M D C B A C'B'M DCB A EC'DCBA D CB A【解法 1】 由于 AD 平分 BAC ,因此这就提供了以 AD 为轴进行对称变换的可能性 .取 AB 的中点 C ',连接 CC ',交 AD 于 O ,易知 AOC 与 AOC '关于 AD 对称,且 AO CC '.由于 30ACO = , 3A

14、C =,所以 32AO =. 延长 AC 至 B ',使 6AB '=,连接 BB '交 AD 的延长线于点 E . 显然 ABE 和 AB E '关于 AE 对称,且 AE BB '. 由于 OC 是 AEB '的中位线, 所以 32AO OE =, 1122OC EB BE '=. 因为 OC OD BE DE =, 所以12OD DE =. 所以 332OD =, 12OD =. 于是 31222AD AO OD =+=+=. 【解法 2】 回顾一下我们学过的第 9讲例 3之“变式 2” :如图所示, 在 ABC 中, 120BAC

15、 =, AD 平分 BAC 且交 BC 于点 D , 111AD AB AC =+. 直接应用此结论可得 11163AD =+, 即 2AD =.下面的题目作为备用题:【备选 1】 如图所示, 在 ABC 中, 2ACB ABC =, P 为三角形内一点, AP AC =, PB PC =, 求证:3BAC BAP =.【解析】 由已知条件 PB PC =,考虑作直线 PM BC 于 M ,并以 PM 为对称轴将 APC 翻折至 A PB'的位置,连接 AA '.由轴对称的性质有 /AA BC ', 2A BC ACB ABC '=.PC B AP C B A

16、M A' DCB A因为 A AB ABC A BA ''=, 于是 AA A B AC AP A P '''=, 即 A AP '是正三角形,从而可得 60ABC A AB BAP '=- , 21202ACB ABC BAP =- . 再由 ABC 三内角之和为 180 ,即 (60 (1202 180BAP BAP BAC -+-+= , 整理后得 3BAC BAP =.【备选 2】 如图所示,在 ABC 中, 60B = , 100A = , E 为 AC 的中点, 80DEC = , D 是 BC 边上的点, 1BC =

17、,求 ABC 的面积与 CDE 的面积的两倍的和 .【解析】 将 ABC 补成一个等边三角形,并作 ABC 的对称三角形,可以发现等边三角形的面积等于24ABC CDE S S +.作 60BCF = , 其中点 F 在 BA 的延长线上,则 BFC 为等边三角形 . 作 CH BF 于点 H ,并 取点 A 关于点 H 的对称点 G ,则有 18080CGH CAH BAC =-= .而 80DEC = , 18080EDC DEC ACB =-= , 故 CGA CED ,且相似比为 2. 则 4CAG CDE S S =.而 ABC GFC S S =(ABC GFC , 故 2ABC

18、CDE S S +12FBC S =ED C B A GHFE D C B A练习 1. 如图所示,在 ABC 中, AB AC =, AD 是 BC 边上的高,点 P 在 ABD 内部,求证:APB APC >.【解析】 作点 P 关于 AD 的对称点 ' P ,连接 ' AP 并延长交 PC 于点 Q ,连接 ' P C .因为 AB AC =, AD 是 BC 边上的高, 易得 ' AP C APB =.因为 ' ' AP C P QC >, ' P QC APC >, 故 APB APC >.练习 2.(1

19、997年罗马尼亚数学奥林匹克竞赛试题 如图所示,在四边形 ABCD 中, AB CD ,AC BD ,求证:(1 AD BC AB CD +; (2 AD BC AB CD .【解析】 (1 以 AC 为对称轴将 ADC 翻折到 ' AD C 的位置,则由 AC BD 可知 ' D 在 BD 上,且 ' AD AD =, ' CD CD =.将 DC 平移到 ' BC 的位置,则由 AB CD 可知 ' C 在 AB 的延长线上, 且 ' ' C B CD CD =, ' CC BD ,因此 ' ' BC

20、CD 是一个等腰梯形, 所以 ' ' BC D C =,于是 ' ' ' ' ' AD BC AD D C AC AB BC AB CD +=+=+=+.(2 由 (1 可得 22( ( AD BC AB CD +,即 222222AD BC AD BC AB CD AB CD +,而由 AC BD 及勾股定理可得 2222AD BC AB CD +=+, 故 AD BC AB CD .练习 3. 在 ABC 中, AB AC =, 60120A <<, P 为 ABC 内部一点,PC AC =, 120PCA A =-, 求

21、 CBP 的度数 .D CB A C'DC B A PCBA DCBAD QP'P CB AP D CB A【解析】 容易求得 1302PAC A =+, 1302BAP BCP A =-.ABC 的对称轴为 AD ,作点 P 关于 AD 的对称点 ' P , 则 ' 60PAP =,故 ' APP 为等边三角形,则 ' P C 平分 ACP , 1' 602PCP A =-.故 11' (30 (60 3022CBP BCP A A =-+-=.练习 4. 如图所示, P 为 ABC 边 BC 上的一点,且 2PC PB =,已

22、知 45ABC = , 60APC = ,试求ACB 的度数 .【解析】 作出点 C 关于直线 AP 的对称点 1C ,连接 1BC 、 1PC 、 1AC ,则 12C P CP BP =,如图所示 .11180C PB APC APC =- 180606060=-= .取 1C P 的中点 M ,连接 BM ,则 BM P 为等边三角形, 1BM MP MC =,故 111302C BM BC M BMP = , 190C BC = .又因为 45ABC = ,故 1ABC ABC =,故 AB 平分 1C BC , 故 A 点到直线 CP 、 1PC 、 1BC 等距, 从而 1AC 是 1BC P 的外角平分线,所以 11(18030 752ACB AC P =-= .CP B A C P B AC 1M几何变换 -轴对称变换提高题【例 1】 在 ABC 中, 由 A 点向 BC 边引高线, 垂足 D 落在 BC 上, 如果 2C B =, 求证:AC CD BD +=.【例 2】 如图所示,在四边形 ABCD 中, BC CD =, 60BCA ACD -=,求证:AD CD AB +.【例 3】 如图所示, 在四边形 ABCD 中, 30AB =, 48AD =, 14BC =, 40CD =, 90ABD BDC += ,求四边形 ABCD