25等比数列的前n项和

1、等比数列的前n项和教学目标：掌握等比数列的前 n项和公式及公式证明思路； 会用等比数列的前 n项和公式解决有关 等比数列的一些简单问题。重点、难点：等比 数列的前n项和公式推导，灵活应用公式解决有关问题国际象棋起源于印度，相传国王要奖励国际象棋的发明者，问他想要什么，发明者说：“请在棋盘的第第1格放1粒麦，第2格放2粒，第3格放4粒，第4格放8粒，以后每格是前一格粒数的 2倍。国王觉得这个要求不高，答应了。如果千粒重40克，目前世界年度小麦产量 6亿吨，判断国王能满足他的要求吗？如果把各格所放的麦粒数看成是一个数列，我们可以得到一个等比数列，它的首项是1,公比是2,求第一个格子 到第64个格子

2、各格所放的麦粒数总合就是求这个等比数列的前64项的和。这个数很大，超过了般地，设等比数列 a! ,a2,a3, an它的前n项和是Sn a! a2 a3an根据等比数列的通项公式ann 1ae，上式可以写成Sna1ae2aqn 2aqn 1两边乘公比q，可得qSnag2aq3aqn 1a1两式相减，得(1q)Sna1nag当q 1时，Sna1(11qn)q(q 1)，因为anaN 1a1anq，有 Sn 1 n (q 1)1 q当q=1时，Snna1有了等比数列的前n项和公式，就可以解决刚才的问题。由 a11,q2,n64可得Sn印(1 qn)= 1 (1 264)“64.= =2 1。1 q

3、1 21.84 1019。国王不能实现他的诺言。例1 (1)求等比数列的丄,丄，丄，丄前8项和.2 4 8 161111求等比数列的一,一,一，一前n项和2 4 8 161 11 1求等比数列的一，一，一，丄前n项和2 48 16(4)a 1=27,a 9=1/243,q<0,求前 8 项的和今起，大约几年可使总销售量达到30000台（结果保留到个位）？解：依据题意可得，从第1年起，每年的销售量组成一个等比数列1.6.5000 11 1n其中 a1 5000,q 1 10% 1.1, Sn30000,于是得到30000.化简得 1.1n14 -16的前n项的和1 1.1两边取常用对数，得

4、nlg1.1=lg1.6 ，得nig 1.6 5答：约5年可以使总销售量量达到ig 1.10.041台30000例 3 (1)求数列 11, 21, 31,248分析：Sn=1 1+21+31 + +n2482=(1 +1)+(2+21)+(3+41)+ +(n+8=(1+2+3+n)+(-2+ + 丄)=2nn(n 1)1 1-(1-n) =22 =22 1=-( n22n 2n 2)答案：2（n222)（2） 求和：（X+丄）y(X2y2)n(X1)(其中 X M 0, y解：当 xm0, xm 1,y m 1 时，(x+1-)y(x)=(X+X 2+Xn、+(丄-4y y+ +)=x(1

5、 xn)1 X丄)y1Xn 1yn 1n 1 ny y；1+ -2X分析：注意至»( xn+丄 )2=an=x2n+nX122求(X+) +(X -X)2+-+（xn+丄）2的值nX1 +2,且x 2n与（ l）2n为等比数列，故可考虑拆项法X2nX解：Sn=(x2+x4+X2n)+( -12X+ 刍)+(2 2)2 当 x=± 1 时,Xn个 2S n=n+n+2n=4n.当x工土 1时，S=x2(12n、x )2X1 12 (1 2F)XX+2n=1X2z 2n2n 2(X 1)(XX (x 1)1)2n例4 (1)若数列a n的前n项和为S=an 1(a丰0),则这个

6、数列是A.等比数列 B.等差数列 C.等比或等差数列D.非等差数列分析：若 a=1,贝U S=0, an=0贝U an为等差数列；若 a丰1,则n 1 nn n 1an 1 Sn1 Sna aa(aa J=a, a n为等比数列n n 1 nma.Sn Sn 1 a a a a在等比数列中，若 SlG=10,S 20=30,则S30=.解法:由 Sio=a1+a2+ +a10=10,S20=a1+a2+a20=10+q (a1+a2+a1o)=(1+q 10) 10=30 q10=2,q 20=4,S 30=S20+a21+a30=S20+q20(a 1+a?+a10)=70.解法二：在等比数

7、列中，S0,S20 S0,S30 S20成等比数列，又S10=10,S20一 S10=20, S30一 S20=40, - S30=40+S20=40+30=70.答案：70aaa 已知等差数列a n的公差d丰0,且a1,a3,a 9成等比数列，求 13a?84a10分析：T a1,a 3,a 9成等比数列,( a1+2d) 2=a1(a 1+8d)即 a1=d,a1a3a9 d3d9d13a2a4a102d4d10d16 数列a n中，Sn=1+kan(k丰0,k丰1)(1)证明数列an为等比数列；(2)求通项an；(3)当 禾口 a/+a22+an2.分析：由于条件中涉及(1)证明：T S

8、n=1+kak= 1时，求Sn与an的关系，因此，要考虑S S1=an(n > 2)的运用，然后回答定义.得 Sn Sn- 1=kan kan-1(n > 2)S n 1 = 1+ ka n- 1 (k - 1)a n=kan 1,也an 1(常数)(n> 2),k an是公比为的等比数列.k 1(2)解：.S1=a1=1+ka1, a1=)nkn1(nr1k21 解： an中 a1=,q=, an为首项为( -1k k 1k-)11当k= 1时，等比数列an2的首项为一，公比为41.222- a1 +a2 + +an =42,公比为(止)2的等比数列.k 1A (1)n2=

9、 441 14(丄)n4评述:应注意an= S1(n °的应用.Sn Sn 1 (n 2)S3+ S= 2S9，求数列的公比 q;例5 (1)设等比数列 an的前n项和为Sn,若 已知S是等比数列an的前n项和，S3,S9,S6成等差数列，求证：a2,a 8,a 5成等差数列. 分析：由题意可得 Ss+S=2S,要证a2,a8,as成等差数列，只要证 a2+a5=2a&即可.证明：T S3,S9,S6 成等差数列， S3+S6 = 2S若 q=1,贝U S3=3ai, Se=6ai,S9=9ai，由等比数列中，ai丰0得 S3+S5M 2S),与题设矛盾q丰1 , 369ai

10、(1 q )ai(1 q )ai(1 q )日 a1 (1 q3) a1(i q6) 2a1 (1 q9)S3, S6, S91 q1 q1 q1 q 1 q1 q整理得 q3+q6=2q9，由 qz 0 得 1+q3=2q6又/ a2+a5=a1q+a1q4=a1q(1+q 3), a2+a5=a1q 2q6=2a1q7=2a8, a2,a8,a5成等差数列.例6 设an为等差数列，bn为等比数列，a1=b1=1,a 2+a4=b3,b 2b4=a3,分别求出an及bn的前10项 的和S10及0。例7设a为常数，求数列 a, 2a2, 3a3,，na：的前n项和；1(1) a=0时，S=0;

11、 (2) a丰 0 时，若 a=1，则 Sn=1+2+3+n= n(n 1)2若 az 1, S-aSn=a (1+a+an-1-na n), Sn=a_ 1 (n1)annan 1 (1 a)例8 求数列2x2,3x 3,4x 4,nx n,的前n项和.分析：可以通过错位相减的方法转化为等比数列的求和问题解：(1)当 x=0 时，Sn=0.1(2) 当 x=1 时，S=2+3+4+(n+1)=n(n+3).2(3) 当 x z 1 时，S=2x2+3x3+4x4+(n+1)x n+1345n+1n+2厂、xSn=2x+3x+4x + +nx +(n+1)x一得：(1 x) S=2x2+x3+

12、x4+ n+1x (n+1)x3 “ n+22 X (1=2x +1n 1 X )X(n+1)X n+2u 2x2 Sn=3 X(n 2)xn 2(1 x)2(nn 31)x又当X=1时，Sn=0适合】n(n2 s=22x23)(X1)3 X(n 2)xn2(nn 31)X(X1)(1 x)2例9 (1)国家汽车产业振兴规划的政策极大地刺激了小排量汽车的销售，据分析预测，某地今年小排量Z型车每月的销量将以 10%勺增长率增长，小排量R型车的销量每月递增 20辆，已知该地今年1月份 销售Z型车和R型车均为60辆，据此推测，该地今年这两款车的销售总量能否超过3000辆？(参考数据：1.1 =3.1

13、)解：设该地今年第 n月Z型车和R型车的销量分别为 an辆和bn辆.依题意an，bn分别是a1=60, 2011.04.30必修五2.5等比数列的前n项和第4页共5页公比q=1.1的等比数列，和bi=60,公差d=20的等差数列，设 an的前n项和为S, S121260(1.1 1)1.1 112600(1.1 1) 12602040 , S12 T1233000bn的的前 n 项和为 Tn,260 1212(121)2综上所述：可推测该地区今年这两款车的总销量能超过3000辆(2) 一个球应从100米高处自由下落，每次着地后又跳回到原高度的一半落下，当它第10次着地时，共经 过了多少米？an，再结合数列相关性质解题。思维分析：数列建模过程中，关键是建立递推关系式，然而求出解：球第一次着地时经过了 100米，从这时到球第二次着地时，一上一下共经过了 2 100 100米2因此球第十次着地时共经过的路程为10