数列基础知识点和方法归纳

1、数列基础知识点和方法归纳1. 等差数列的定义与性质定义：an 1and( d 为常数)，a.q n 1 d ,推论公式：？?= ?+ (?- ?) ?(?e?, n m)等差中项：x,A, y成等差数列2A xy,?=?-1；?+1,2?= ?_i+?+i(?2)等差数列前n项和：Sn印 习nnaid2 2(2)数列a2n 1,a2n,a2n. 1仍为等差数列，Sn, S?nSn, %S?n仍为等差数列，公差为n2d;(3)若三个成等差数列，可设为 a d, a, a d ；(4)若an, bn是等差数列，且前 n 项和分别为Sn, Tn，贝U巴bm(5)an为等差数列Snan2bn( a,

2、b 为常数，是关于n的常数项为 0 的二次函数)2Sn的最值可求二次函数Snan bn的最值；或者求出 a.中的正、负分界项，性质：an是等差数列p q，则amanapaq;(下标和定理)注意：要求等式左右两边项数相等S2m 1T2m 1(1)若 m n0, d 0，解不等式组anan 10 可得S达到最大值时的n值.an当a10, d 0,由 。可得Sn达到最小值时的n值. .(6)项数为偶数 2n 的等差数列n(anan1)(an,an1为中间两项)an有S2n1(2n 1)an(an为中间项)有nn 11)anan 1an 1n 2时，anSiSn 12. 等比数列的定义与性质等比中项：

3、X、G、y成等比数列G xy，或 G、xy.等比数列中奇数项同号，偶数项同号?-i?+1(?2)?= 1)等比数列前 n 项和公式：?=?(1-?=?!空?(？步1)性质：On是等比数列(1) 若 m n p q，则a.ap-aq(下标和定理)注意：要求等式左右两边项数相等。(2)Sn, S2nSn, SsnS?n仍为等比数列，公比为qO.(3) an是正项等比数列，贝U?)?是等比数列。注意：由Sn求an时应注意什么？定义:an 1q(q为常数，q 0), a.n 1qq.推论公式:?= ?_n 2时，anSiSn 1n 1 时，a1S1;a1k 13. 求数列通项公式的常用方法(1)定义法

4、求通项公式(已知数列为等差数列或等比数列)例： 数列的前咛项和1求数列.(的通项公式；解：当时 I r 二当：二二时 I、一 数列的通项公式为.练习：设数列的前巴项和为，且 6 ” 求数列(3)求差(商)法(4)累乘法形如警=?的递推式?(2)已知Sn与 n 的关系或sn与 an的关系时求务an3(n 1)SnSn 1(n 2)的通项公式。例：数列 an1a121尹21班an2n5，求an解：n 1时,142n 5n 2 时,2n-得：長2，二 an二 an14(n2n 1(n 2)1)练习：在数列? ?中，?=?= 1, ?+?+貫貫+ +?!+?+?32-?+?2= =? ?(?(? ?)

5、,?),求数列? ?的通项公式。a1k 1由anJLf (n)，则鱼ana1f(1)鱼a2f(2)丄七f(n)两边分别相乘得，a1nf(k)例：数列 an中，a13,叱 ，求anann 103丑匕？口，鱼丄又a13, an3a2an 12 3 nd nn3?-1?(?1),求数列?的通项公式。3?+2(5) 累加法形如?+1- ?= f(?的递推式。由anan 1f(n), a1ao，求an，用迭加法anan 1f (n)例：已知数列满足?= 1,?= ?-i+ 3? 2(?2) ,(1)求？与?的值。(2)求数列的通项公式(6) 构造法越+1 = 2(比*1),川产1,故数吊 7 是首项为，

6、公比为的等比数列,练习:已知？n 2 时,a2aifa3a2f两边相加得ana1f (2) ff(n)二anaof(2)f(3)f(n)练习：已知数列中，- 一，( _?-?(?k1)1-?常见公1 + 3+ 5+ ? + (2?7 1) = ?12+ 22+ 32+ ? + ? =1? 1)(2?+ 1) ,13+ 23+ 33+ ? + ?= *?+ 1)2(2)错位相减法给?= ?+ ?+?+?+ ?两边同乘以一个适当的数或者式，然后把所得的等式与原等式相减,bn为等比数列，求数列(差比数列)前n项和，可由SnqSn，求Sn，其中q为 bn的公比例：Sn1 2X3x24x3nnx12x-

7、 & x 2x3x34x4nn 11 Xnnx一1X Sn1 X X2n 1XnnxX 1时，Sn1 xn1 X2nnx1 X，X 1 时，Sn练习：已知数列;二；是等比数列，且-，瓦=54硏+屯+码=妇+鸟(2)数列；-满足；，求数列的前N项和:只剩下有限项再求和。(- -丄丄) )? ?应项互相抵消，最后得出前 n 项的和？初一般适用于 an为等差数列,21=丄(丄-丄)(2?-1 )( 2?+1) 2 2?-1 2?+1 1 1 1 13=_( - )?+1)(?+2) 2 ?+1) (?+1)(?+2)74右F(皿皿5=(+ ?- “？)V?+?+v?v，V丿1由f(x) f求

8、?的通项公式,求?+ ?的前 n 项和?把数列的各项顺序倒写,再与原来顺序的数列相加(3) 分组求和法有一类数列，既不是等差数列也不是等比数列，若将这个数列适当拆分开，可分为几个等差或等比或常见数列，然后分别求和，再将其合并即可。一般适用于an为等差数列，bn为等比数列，求数列?+ ?前n项和。练习：已知数列 an为等差数列，公差为 d， bn为等比数列，公比为 q，且 d=q=2,?+ 1 = ?o= 5,?= ?1111如：an是公差为 d 的等差数列，求卄t111 11解：由一d 0akak1akakdd akak 1n1n11111 111k 1akak 1k 1dakak 1da?a2a3k 1akak 11 1an1an 1a1an 1练习:已知数列，-的前n项和.鳶求数列-的通项公式;(3)倒序相加法求数列L a #+1Sna1Snan