2017年有理数培优题(有答案)

1、有理数培优题基础训练题一、填空：1、在数轴上表示一2的点到原点的距离等于（）。2、右* I a I = a,贝U a （）0.3、任何有理数的绝对值都是（）。4、如果a+b=0,那么a、b一定是（）。5、将0.1毫米的厚度的纸对折20次，列式表示厚度是（）。6、已知 |a|=3,|b| = 2,|ab|=ab ,贝Ua + b=（）7、|x-2|+|x+3| 的最小值是（）。8、在数轴上，点A B分别表示-工，则线段AB的中点所表示的数是（）04 220109、若a,b互为相反数，m, n互为倒数，P的绝对值为3,则仁十mn-p2=（）。P10、若abcw。，则回+用+回的值是（）.a b c

2、11、下列有规律排列的一列数：1、3、2、5、3、，其中从左到右第100个数是（）c4 3 8 5二、解答问题：1、已知x+3=0,|y+5|+4的值是4, z对应的点到-2对应的点的距离是7,求x、y、z这三个 数两两之积的和。3、若2x + |4-5x|+|1 -3x|也的值包为常数，求x满足的条件及此时常数的值。4、若 a,b,c 为整数，且 | a 一 b |2010 +| c-a |2010=1 ,试求 |c-a|+|a-b| + |b-c| 的值。1, 57 工911 工 1315 工 175、计算： +111261220304256726、应用拓展：将七只杯子放在桌上，使三只口朝

3、上，四只口朝下。现要求每次翻转其中任意四只，使它们杯口朝向相反，问能否经有限次翻转后，让所有杯子杯口朝下能力培训题知识点一：数轴例1：已知有理数a在数轴上原点的右方，有理数 b在原点的左方，那么（）A. ab <b B . ab > b C . a+b>0 D . a -b > 0拓广训练：1、如图a,b为数轴上的两点表示的有理数，在a+b,b2a, ab,b a中，负数的个数有（）（“祖冲之杯”邀请赛试题）A. 1 B .2 C . 3 D . 4 3、把满足2<a|M5中的整数a表示在数轴上，并用不等号连接。2、利用数轴能直观地解释相反数；例2:如果数轴上点

4、A到原点的距离为 3,点B到原点的距离为5,那么A、B两点的距离为 拓广训练：1、在数轴上表示数 a的点到原点的距离为 3,则a3=.2、已知数轴上有 A B两点，A B之间的距离为1,点A与原点。的距离为3,那么所有满足条件的点 与原点。的距离之和等于 。（北京市“迎春杯”竞赛题）3、利用数轴比较有理数的大小；例3：已知a A0,b <0且a+b <0,那么有理数a,b,a, b的大小关系是 。（用号连接）（北京市“迎春杯”竞赛题）拓广训练：1、若m<0,nA0且mn,比较一 m,n,m + n, m - n,n - m的大小，并用“ >”号连接。例4:已知a <

5、;5比较a与4的大小拓广训练：1、已知a a -3,试讨论a与3的大小2、已知两数a, b ,如果a比b大，试判断 a与b 的大小4、利用数轴解决与绝对值相关的问题。例5：有理数a,b,c在数轴上的位置如图所示，式子a+|b + a+b + b-c化简结果为（）A. 2a +3b-c B . 3b-c C . b+c D . c-b拓广训练：1、有理数a,b,c在数轴上的位置如图所示， 则化简a+b-b-1 - a-c-1-c的结果为 一A2、已知a +b+a -b =2b ,在数轴上给出关于 a, b的四种情况如图所定,1则成立的是 。 , , > , , > 3、a有0数abb

6、,c在数轴上如寸位置她F图：则 0c-a+ abc + a-b化0后山果a （）（湖北省初中数学竞赛选拨赛试题） .A. b-1 B . 2a-b-1 C . 1 +2a-b-2c D . 1-21+ b c O a b三、培优训练1、已知是有理数，且（x 1 2 + （2y+1f =0,那以x+ y的值是（A.1B , 3C . 1或 一3D , 一1或 3222222、（ 07乐山）如图，数轴上一动点 A向左移动2个单位长度到达点点C表示的数为1,则点A表示的数为（）A. 7 B. 3 C. -3D. -2B,再向右移动5个单位长度到达点 C .若5b !Fao i3、如图，数轴上标出若干

7、个点，每相邻两点相距且d - 2a =10,那么数轴的原点应是（A B C D1个单位，点A、B、C D对应的数分别是整数 a,b,c,dA. A点 B . B点 C . C点 D . D点4、数a,b,c,d所对应的点A, B, C, D在数轴上的位置如图所示，那么a + c与b + d的大小关系是（）A. a+c<b+dB. a+c= b + d C . a + cb + dD .不确定的5、不相等的有理数 a, b,c在数轴上对应点分别为 A, B, C,若a-b + b c=a-c,那么点B （）A.在A、C点右边B.在A、C点左边 C .在 A C点之间D .以上均有可能6、设

8、y = x -1| + x +1 ,则下面四个结论中正确的是（）（全国初中数学联赛题）A. y没有最小值B.只一个x使y取最小值C.有PM个x （不止一个）使 y取最小值D .有无穷多个x使y取最小值1 17、在数轴上，点 A B分别表示-1和1,则线段AB的中点所表示的数是。3 58、若a >0,b <0 ,则使x -a| +|x -b = a b成立的x的取值范围是 。9、x是有理数，则x-100| 221195 I221|的最小值是10、已知a,b,c,d为有理数，在数轴上的位置如图所示:d b O a c且 6a =6b =3c=4d =6,求 3a2d 3b 2a + 2

9、b c 的值。11、（南京市中考题）（1）阅读下面材料:点A、B在数轴上分另IJ表示实数 a,b, A、B两点这间的距离表示为 AB ,当A、B两点中有一点在原点时,不妨设点A在原点，如图1, AB = OB =|b =|a-b ;当A B两点都不在原点时，如图2,点A B都在原点的右边 AB= OB-OA=b-a=b-a=a-b；如图3,点A B都在原点的左边 AB= OB-OA=b-a = -b，a）=a-b；O (A)bB，bO如图 4,点 A B在原点的两边 AB =|OA +OB =|a +|b =a+(b)=|ab。B O A bo a综上，数轴上 A B两点之间的距离 AB =

10、a-b。（2）回答下列问题:数轴上表示2和5两点之间的距离是 ,数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是 ,数轴 上表示1和-3的两点之间的距离是 ;数轴上表示 X和-1的两点A和B之间的距离是 ,如果 AB = 2,那么X为;当代数式x +1 +X-2取最小值时，相应的 X的取值范围是 ；求x -1 +x2 +x3 +|x1997的最小值。聚焦绝对值一、阅读与思考绝对值是初中代数中的一个重要概念，引入绝对值概念之后，对有理数、相反数以及后续要学习的算术根 可以有进一步的理解；绝对值又是初中代数中一个基本概念，在求代数式的值、代数式的化简、解方程与 解不等式时，常常遇到含有绝对值符号的问题，理解

11、、掌握绝对值概念应注意以下几个方面：1、脱去绝值符号是解绝对值问题的切入点。脱去绝对值符号常用到相关法则、分类讨论、数形结合等知识方法。去绝对值符号法则：2、恰当地运用绝对值的几何意义从数轴上看a表示数a的点到原点的距离；a-b表示数a、数b的两点间的距离。3、灵活运用绝对值的基本性质=急#0）a -b2a - b二、知识点反馈1、去绝对值符号法则例 1 ：已知 a =5, b =3且 a-b = b-a那么 a + b =。拓广训练：1、已知a =1, b = 2, c =3,且a Ab >c,那么（a + b c f =。（北京市“迎春杯”竞赛题）2、若a =8, b =5,且a+b

12、 >0,那么a b的值是（）A. 3 或 13 B . 13 或-13 C . 3 或-3 D . -3 或-132、恰当地运用绝对值的几何意义例2:x +1 + x -1的最小值是（）A. 2 B . 0 C . 1 D . -1解法1、分类讨论当 x<1 时，x+1+|x1=(x+1)(x1)=2xa2;当一1 Ex El时，x +1 + x 1 =x +1 (x 1 )= 2 ;当 x >1 时 x +1| +|x -1 = x +1 +(x -1 )=2x A 2。比较可知，x+1 +|x -1的最小值是2,故选A。解法2、由绝对值的几何意义知 x -1表示数x所对应

13、的点与数1所对应的点之间的距离；x + 1表示数x所对应的点与数-1所对应的点之间的距离；x+1+|x-1的最小值是指x点到1与-1两点距离和的最小值。如图易知.二.x -1 x 1 x当1MxM1时，x+1 +|x 1的值最小，最小值是 2故选A。拓广训练：1、已知x 3 + x +2的最小值是a, x3x + 2的最大值为b ,求a + b的值。三、培优训练1、如图，有理数a,b在数轴上的位置如图所示:-2 a -10 b 1则在a+b,b2a,b a,ab,a+2, b 4中，负数共有（）（湖北省荆州市竞赛题）A. 3个B.1个 C.4个D.2个2、若m是有理数，则 m -m一定是（）A

14、.零 B .非负数 C .正数 D .负数3、如果x -2 +x2=0,那么x的取值范围是（）A. x >2 B , x<2 c.x 之 2 D . x<24、a,b是有理数，如果a-b = a+b,那么对于结论（1） a 一定不是负数；（2） b可能是负数，其中（）（第15届江苏省竞赛题）A.只有（1）正确 B .只有（2）正确 C . （1） （2）都正确 D . （1） （2）都不正确5、已知a = a ,则化简a-1 - a 一2所得的结果为（）A. -1 B . 1 C . 2a-3 D . 3-2a6、已知0 Ea E4,那么a -2 +|3a的最大值等于（）A.

15、 1 B . 5 C . 8 D . 97、已知a,b,c都不等于零,且abcabcabcabc根据a,b,c的不同取值,A.唯一确定的值B . 3种不同的值C . 4种不同的值 D . 8种不同的值8、满足a _b = a +|b成立的条件是()(湖北省黄冈市竞赛题)A. ab >0 B . ab>1 C . ab<0 D . ab<1x 5 x 2 Ixl9、若2 cx <5,则代数式 -+U的值为x-52-x xab labl10、若ab>0,则十 的值等于 abab11、已知a,b,c是非零有理数，且 a +b +c = Qabc >0 ,求-

16、a + + -c+更c的值。 |a| b |c|abc12、已知 a,b, c,d 是有理数，a-b <9,c-d <16 ,且 a-b-c + d =25,求 b a dc 的值。13、阅读下列材料并解决有关问题：x x 0我们知道|x =<0(x=0 ),现在我们可以用这一个结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式-x (x <0 )x+1 +x2时，可令x+1=0和x 2 = 0,分别求得x = 1,x = 2 (称1,2分别为x + 1与x-2的零点值)。在有理数范围内，零点值 x = -1和x = 2可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：(1)当

17、x < 1 时，原式=-(x +1 )-(x -2 )= -2x +1；(2)当1 Ex 父2 时，原式=x +1 -(x -2)=3 ；(3)当 x 之2时，原式=x+1+x2 = 2x1。 2x 1 x < -1综上讨论，原式二«3(-1 < x < 2 )、2x-1(x>2)通过以上阅读，请你解决以下问题：x + 2 +|x -4(1) 分别求出x + 2和x-4的零点值；(2)化简代数式14、(1)当x取何值时，x-3有最小值这个最小值是多少(2)当x取何值时，5-x + 2有最大值这个最大值是多少(3)求x-4 + x-5的最小值。(4)求x-

18、7 + x-8+|x-9的最小值。15、某公共汽车运营线路 AB段上有A D、C、B四个汽车站，如图，现在要在 AB段上修建一个加油站 M,为了使加油站选址合理，要求 A, B, C, D四个汽车站到加油站 M的路程总和最小，试分析加油站M在何处选址最好16、先阅读下面的材料，然后解答问题:在一条直线上有依次排列的 n(n >1)台机床在工作，我们要设置一个零件供应站巳使这n台机床到供应A1A2Ai A2 (P) D A3站P的距离总和最小，要解决这个问题，先“退”到比较简单的情形:如图，如果直线上有 2台机床（甲、乙）时，很明显P设在庆1和庆2之间的任何地方都行，因为甲和乙分别到P的距

19、离之和等于 A1到A2的距离.如图，如果直线上有3台机床（甲、乙、丙）时，不难判断，P设在中间一台机床 A2处最合适，因为如果P放在A2处，甲和丙分别到 P的距离之和恰好为 Ai到A3的距离；而如果 P放在别处，例如 D处，那么甲和丙分别到P的距离之和仍是 Ai到A的距离，可是乙还得走从 A2到D近段距离，这是多出来的，因此P放在A2处是最佳选择。不难知道，如果直线上有4台机床，P应设在第2台与第3台之间的任何地方；有5台机床，P应设在第3台位置。问题（1）:有n机床时，P应设在何处问题（2）根据问题（1）的结论，求 x -1 + x-2 + x-3+x-617的最小值。有理数的运算、阅读与思

20、考在小学里我们已学会根据四则运算法则对整数和分数进行计算，当引进负数概念后，数集扩大到了有理数范围，我们又学习了有理数的计算，有理数的计算与算术数的计算有很大的不同：首先，有理数计算每一步要确定符号；其次，代数与算术不同的是“字母代数”，所以有理数的计算很多是字母运算，也就是通常说的符号演算。数学竞赛中的计算通常与推理相结合，这不但要求我们能正确地算出结果，而且要善于观察问题的结构特点，将推理与计算相结合， 灵活选用算法和技巧， 提高计算的速成度，有理数的计算常用的技巧与方法有:二、知识点反馈1、利用运算律：加法运算律 加法交换律a +b =b +a乘法运算律押法结合律a +（b +c ）=（

21、a +b J+c1、利用运算律；2、以符代数；3、裂项相消；4、分解相约；5、巧用公式等。乘法交换律a -b =b a乘法结合律a （b c）=（a -b）。、乘法分配律a（b +c ）=ab +ac23 ，Z 2、2例 1:计算：-3 - -4 1-2.75 + -7 -5<3)33)2 一22 八一解：原式=4.6 4 - - 2.75 - 7- - = 4.6 - 2.75 - 3 = 4.6 - 5.75 - -1.1533拓广训练：31 59(2) 十-411二 1、'二 7193+一 |- 6+ | + 9 + + .4) <11J 4 42 2751、计算(1

22、) -0.6 -0.08 - - -0.92 2 5 1111, 一 224 1 一例2：计算：_9 24卜5025)i i 111、(1解：原式=_ 10 1X50 = 10M50 父50 I = _(500 _2 )=_49825，<25拓广训练:1、计算：(2x3x4x5y< ,1 - - - i2 3 4 52、裂项相消(1)a b 11=一十一；ab a b(2)1_1n n 1 n(4)2_11n n 1 n 2 n n 1 i in 1 n 2, 一 1111例 3、计算+ +11 2 2 3 3 42009 20102 J 12 3) <3 4)12009 2

23、010)=1 1 . 11 . 1 111= I-2 2 3 3 42009 2010.12009=1=20102010拓广训练：1、计算:13 3 52007 20093、以符代数例4：计算：;72+27工-1137”13空+8?-5%1 271739 八 172739).,7341243776解：分析：17 =16,27 一 =26,11一 =10 272717173939令 A = 1312 817 -538 ,则 17 二 27- -1137 -1634 2624 -10吏=2A172739271739271739原式= 2AA = 2拓广训练：1 I 20051、计算. 11+1 +

24、 .,十 1父+1+ 1+.1 |!_ 1+1+1+1 +12 32006 ) <2 32005 ! <2 32006 ；(2 34、分解相约例5：计算:21x2x4+2x4x8+ + n 2n 4n )<1M3M9 +2M6 M18+ 十n 3n 9n)解：原式=lM2M4+2M(1M2M4)+-+n(1M2M4)： = -1M2M4M(1 + 2+,.+n)2 k1M3M9+2M(1M3M9)+., + n(1M3M9)J % 3M 9m (1 + 2+ n )，21M2M4、64=I =J x3x9 )729三、培优训练1、a是最大的负整数,b是绝对值最小的有理数，则.

25、20092007 ba 20082、计算:(1)7 91997 1999(2)(-0.25 4 父(-8 3 -2 + (-2 / + (-6*-口 1=< 3 )3、若a与-b互为相反数，则221898a99b1997ab4、计算:113、'/135；11397 '十 十 | + + i+ + | + + |=2<44，1666)1989898,15、计算:2 -22 -23 -24 -25 -26 -27 -28 -29210一 1997 97 1998 986、,2997 971990 0这四个数由小到大的排列顺序是1998 98 1999 997、“五羊杯”

26、计算：3.14 x 31.4 + 628x 0.686 + 68.6 x 6.86=(8、9、A.A.A.3140 B“希望杯”“五羊杯”628 C . 1000 D . 12001 -2 3-4-14 15 等于-2 4 -6 8 -28-30计算:1 D, -1225 6- 4 2.5 3 一一 22 9 : 8 1 4.5 : 420 D .竺10、（2009鄂州中考）为了求 1 +22 +23 + 2 2008的值，可令 S= 1 +22 +23 +.一22 +23 +24 +2 2009 ,因此 2S-S= 2 2009 -1,所以 1 十 22 +23 十+ 2 2008 = 2

27、200922008,贝U 2S=1仿照以上推理计算出1 +52 +53 +52009的值是（）2009A 5 一 12010B 5- 1C、20092010”5-1 D 5_14411 、al ,a2 , a3 , ' ' a2004 者B 是N = a1a2 .，a2004©2正 数， 如 果 M = (a + a2 + a2003 产(a2 + a3 + , ,22004 ),+ a3 +，+a2003 ）,那么M , N的大小关系是A. M >N B.M=NC . M < N D .不确定12、设三个互不相等的有理数，既可表示为1,a+b,a的形式，

28、又可表示为 0,E,b的形式，求a1999 + b2000a的值（“希望杯”邀请赛试题）13、计算(1) 5.7x0.00036 (0.19m0.006 5700M0.000000164 ) (2009 年第二十届“五羊杯”竞赛题)-0.25 4 一8331 3-6.5 )：；,2 j - i- 6-13. 32（北京市“迎春杯”竞赛题）14、已知m,n互为相反数，a,b互为负倒数，x的绝对值等于3,求 x3 -(1 +m +n +ab X2 +(m +n ,2001 +(ab f003 的值一- 一 ，、 115、已知 ab-2 + a2 = 0,求 一 +ab a l b 1 i ia 2

29、 b 2+a 2006 b 2006的值（香港竞赛）16、（2007,无锡中考）图1是由若干个小圆圈堆成的一个形如正三角形的图案，最上面一层有一个圆圈,以下各层均比上一层多一个圆圈，一共堆了n层.将图1倒置后与原图1拼成图2的形状，这样我们可以算出图中所有圆圈的个数为OoO1 2 3 III n =>(； 1)OO'-QQXX O1,2,3,4,则最底层最左边这个圆圈中的数是oO的生父乎丁色专学的正整数； （2）我们自上往下，在每个圆圈中都按图4的方式填上一串连续的整数-23, -22, -21,，求图4中所有圆圈中各数的绝对值之和.【专题精讲】【例U计算下列各题323、3 一

30、25 I23 333 3卬(-) 0.75 0.5 (-) (1)(二)4 -(-)44372544(-0.125)12 (-12) 7 (-8) 13(-) 935【例 2】计算：123+4+567 + 8 + 910 11+12+|十2005 20062007+2008例3计算：1+1+工+工+工+川(2)+ +m+12 6 12 20 3099001 3 3 5 5 799 101反思说明：一般地，多个分数相加减，如果分子相同，分母是两个整数的积，且每个分母中因数差相同,可以用裂项相消法求值。D n(n -1)D 1 =-1-)n(n k) k n n kn(n 1)(n 2)4n(n

31、1) (n 1)(n 2)(nf(nM(土例4111(第18届迎春杯)计算： 1+1+1+IH +2 4 81024例5例61,12、 ，123、，12 3（一 一）（一一）（23344455 5（第8届“希望杯”）计算：4)(560【例71z旦山58 59)60 6060 60请你从下表归纳出13 +23 +33 +43 +川+n3的公式并计算出：13 +23 +33 +43 +川+ 503的值。【实战演练】1、用简便方法计算：999 m 998998999 - 998 父 999999998=10第 10 届希 望杯”3训 练题）4121512162011.111(1) (1)(1) (1

32、) (1)=一20042003100210011000.1999 1999 -1999 u 2000 2000 - 20003、已知 a =, b =,c =101520251998 1998 19984、计算:11 13 15 13 15 17+川+1999 1999 199912001 2001-20012000 2000 2000则 abc =29 31 335、（“聪明杯”试题）（1 2 4 2 4 8 I" n 2n 4n1 3 9 2 6 18 III n 3n 9n)216、(1 一)(11 3A. 111)(1)IH(12 43 5B. 21998 2000)(1C.

33、1999 2001D. 4）的值得整数部分为（提示：（n 1）22_n 2n 17、8、计算:_2S =1 2 29、计算14019 2123 HI - 2201011+ ! +!1 2 12 3110、计算： 21 +11 (1211111)(11)(11)(11)323412 31001的值.+111 +1201011 .1(1)(1)HI(1)232010的值。参考答案基础训练题一、填空。1、2;2、W; 3、非负数；4、互为相反数；5、0.1父220毫米;6、5 或 1; 7、5;8、1；9、8;10、±3, ±1;11、 o8200二、解答题。1、 25 或 87;3、当 3xE4时，常数值为7;4、2;5、-3596、不可能，因为每次翻转其中任意 4个，无论如何翻转，杯口朝上的个数 都是奇数个，所以不可能让杯口朝上的杯子个数为偶数零，故不可能。能力培训题知识点一：数轴例1、D拓广训练：1、B;3、因为 2< a 5,-5 a< -2,所以-5<_4<-3<3<4&l