初中数学动点问题归纳

1、动点问题题型方法归纳动态几何特点-问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性(特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。)动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。一、三角形边上动点31、(2009年齐齐哈尔市)直线y -x 6与坐标轴分别交于 A B两点，动点P、Q同时从O点出 4发，同时到达A点，运动停止.点Q沿线段OA运动，速度为 7y每秒1个单 B位长度，点P沿路线。

2、一 B-A运动.(1)直接写出A B两点的坐标；P'(2)设点Q的运动时间为t秒，4OPQ的面积为S ,求出S与t之0 QA x问 的函数关系式；(3)当S ”时，求出点P的坐标，并直接写出以点0、P、Q为顶点的平行四边形的第四个顶点5M的坐标.解：1、A (8, 0) B (0, 6)2、当 0Vt <3 时，S=t2当 3Vt <8 时，S=3/8(8-t)t提示：第(2)问按点P到拐点B所有时间分段分类；第(3)问是分类讨论：已知三定点 Q P、Q ,探究第四点构成平行四边形时按已知线段身 份不同分类-0P为边、0M边，0P为边、0的对角线，0P为对角线、0M边。然后

3、画出各类的图形，根据图形性质求顶点坐标。2、(2009年衡阳市)如图，AB是。的直径，弦BC=2cm/ ABC=60o(1)求。的直径；(2)若D是AB延长线上一点，连结 CR当BD长为多少时，Cg。相切；(3)若动点E以2cm/s的速度从A点出发沿着AB方向运动，同时动点F以1cm/s的速度从B点出发沿BC方向运动，设运动时间为t(s)(0 t 2),连结EF,当t为何值时， BEF为直角三角形.注之乐意：第(3)问按直角位置分类 A O B D A O BA，O E B寸论3、(2009重庆泰江)如图，已知抛图(1)图(2)图(3)物线y a(x 1)2 35/3(a 0)经过点A( 2,

4、 0),抛物线的顶点为D ,过O作射线OM / AD .过顶点D平行于x轴的直线交射线OM于点C , B在x轴正半轴上，连结BC .(1)求该抛物线的解析式；(2)若动点P从点O出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线 OM运动，设点P运动的时间为t(s) .问当t为何值时，四边形DAOP分别为平行四边形直角梯形等腰梯形(3)若OC OB ,动点P和动点Q分别从点O和点B同时出发，分别以每秒长度单位和2个长度单位的速度沿OC和BO运动，当其中一个点停止运动时一个点也随之停止运动.设它们的运动的时间为 t(s),连接PQ,当t为何时，四边形BCPQ的面积最小并求出最小值及此时 PQ的长.注意：发现并

5、充分运用特殊角/ DAB=60当OPCH积最大时，四边形BCPQ勺面积最小。二、特殊四边形边上动点4、(2009年吉林省)如图所示，菱形ABCD的边长为6厘米，B 60°.从初始时刻开始，点P、Q同时从A点出发，点P以1厘米/秒的速度沿A C B的方向运动，点Q以2厘米/秒的速度沿A B C D的方向运动，当点Q运动到D点时，P、Q两点同时停止运动，设P、Q运动的时间为x秒时，4APQ与4ABC重叠部分的面积为y平方厘米(这里规定：点和线段是面积为O秒;秒; APQ 的三角形)，解答下列问题：(1)点P、Q从出发到相遇所用时间是(2)点P、Q从开始运动到停止的过程中，当（3）求y与x

6、之间的函数关系式.高相等的两个三角形面提示：第（3）问按点Q到拐点时间B、C所有时间分段分类； 提醒 积比等于底边的比5、（2009年哈尔滨）如图1,在平面直角坐标系中，点 O是坐标原点，四边形ABCO菱形，点A的坐标为（3, 4）,点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M, AB边交y轴于点H.（1）求直线AC的解析式；（2）连接BMJ如图2,动点P从点A出发，沿折线ABC方向以2个单位/秒的速度向终点C匀速运动，设PMB勺面积为S （ S 0）,点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式（要求写出自变量t的取值范围）；（3）在（2）的条件下，当t为何值时，/ MPBW/BCOE为余角

7、，并求此时直线 OP与直线AC所火锐角的正切第(3)注意：第（2）问O C xy化H按点MP到拐点B所用时间分段分类;MO图（2）HC X 问发现 2 MBe=9 0,/BCOf /AB所余,画出点P运动过幅中,/MPB=ABM勺两种情况，求出t值利用OBL AC,再求OP与AC夹角正切值.6、（2009年温州）如图，在平面直角坐标系中，点 A（J3, 0）, B（3J3, 2）, C （0, 2）.动点D以每秒1个单位的速度从点0出发沿OC向终点C运动，同时动点E 每秒2个单位的速度从点A出发沿AB向终点B运动.过点E作 上AB,交BC于点F,连结DA DF.设运动时间为t秒.（1）求/AB

8、C的度数；当t为何值时，AB/ DF;设四边形AEFD勺面积为S.求S关于t的函数关系式；若一抛物线y=x2+mx经过动点E,当S<2V3时，求 的取值范围（写出答案即可）.注意：发现特殊性，DE/ OA7、（07黄冈）已知：如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO菱形，且/AOC=60，点B的坐标是(0,8祁)，点P从点C开始以每秒1个单位长度的速度在线段CB上向点B移动，同时，点纵点CFF始以每秒a(1&a03)个单位长度的速度沿射线0防向移动，设t(0 t 8) 秒后，直线PQ交0B于点D.(1)求/AOB勺度数及线段0A的长；(2)求经过A, B, C三点的抛物线的解析式

9、；(3)当a 3,0D 473时，求t的值及此时直线PQ的解析式； 3(4)当a为何值时，以0,P,Q,D为顶点的三角形与0AB相似当a为何值时，以0,P,Q,D为顶点的三角形与 0AB不相似请给出你的结论，并加以证明.8、(08黄冈)已知：如图，在直角梯形 C0AB中，0C/ AB,以0为原点建立平面直角坐标系，A, B, C三点的坐标分别为 A(8,0), B(810), C(0,4),点D为线段BC的中点，动点P从点0出发，以每秒1个单位的速度，沿折线0ABD的路线移动，移动的时间为t秒.(1)求直线BC的解析式；2(2)若动点P在线段0A上移动，当t为何值时，四边形0PDC的面积是梯形

10、C0AB面积的-7(3)动点P从点0出发，沿折线0ABD的路线移动过程中，设 40PD的面积为S,请直接写出S与t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围；(4)当动点P在线段AB上移动时，能否在线段0A上找到一点Q ,使四边形CQPD为矩形请求出此时动点P的坐标；若不能，请说明理由.y9、(09年黄冈市)如图，在平面直角坐标系1 2一 x18xoD,抛物线10与x轴的交点为点A,C /轴的交用为先于R、c,连结*P AB.过点B作x轴的平行线BC交抛期0AC现有两动点P,Q分别从0C两点同时出发，点P以每4个单位的速度沿0A向终点A移动，点Q以每秒1个单位速度沿CB向点B移动，点P停止运动时，

11、点Q也同时停止动，线段OCPQ相交于点D,过点D作DEE/ 0A交CA于点占 八、秒 的 运E,射线QEX x轴于点F.设动点P,Q移动的时间为t (单位：秒)(1)求A,B,C三点的坐标和抛物线的顶点的坐标(2)当t为何值时,四边形PQC班平行四边形请写出计算过程；(3)当0<t < 9时，APCF的面积是否总为定值若是,求出此定值,若不是,请说明理由；2(4)当t为何值时,PCF为等腰三角形请写出解答过程.提示：第(3)问用相似比的代换，得PF=OA(定值)。第(4)问按哪两边相等分类讨论 PQ=PF PQ=FCQF=PF.三、直线上动点8、(2009年湖南长沙)如图，二次函数

12、y ax9D,抛物线y -x bx c与直线父于A E两点，与x轴父于I 且B点坐标为(1,0)。求该抛物线的解析式；动点P在x轴上移动，当 PAE是直角三角形时，求点P的坐标P bx c (a 0)的图象与x轴交于A B两点，与y 轴相交于点C .连结AC、BC, A C两点的坐标分别为A( 3,0)、C(0,V3),且当x 4和x 2时 二次函数的函数值y相等.(1)求实数a, b, c的值；(2)若点M、N同时从B点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿BA BC边运动，其中一 个点到达终点时，另一点也随之停止运动.当运动时间为t秒时，连结MN ,将4BMN沿MN翻折, B 点恰好落在A

13、C边上的P处，求t的值及点P的坐标；(3)在(2)的条件下，二次函数图象的对称轴上是否存在点Q,使得以B, N, Q为项点的三角形与4ABC相似如果存在，请求出点Q的坐标；如果不存在，提示：第(2)问发现特殊角 / CAB=30 , / CBA=60特殊图形四边形BNPW菱形；;先画出与 ABCffi似的 BNQ,第(3)问注意到 ABC为直角三角形后，按直角位置对应6 再判断是否在对称轴上。 19、(2009眉山)如图，已知直线y 1x 1与y轴交于点A,与在抛物线的对称轴上找一点 M,使|AM MC|的值最大，求出点M的坐标以AE为直径E为直角顶提示：第（2）问按直角位置分类讨论后画出图形

14、-P为直角顶点AE为斜边时， 画圆与x轴交点即为所求点P,A为直角顶点时，过点A作AE垂线交x轴于点P, 点时，作法同；第（3）问，三角形两边之差小于第三边，那么等于第三边时差值最大。10、（2009年兰州）如图，正方形 ABCDK 点A B的坐标分别为（0, 10）, （8, 4）,点C在开第一象限.动点P在正方形ABCD勺边上，从点A出发沿 B- C-D匀速运动，同时动点Q以相同速度在x轴正半轴 运动，当P点到达D点时，两点同时停止运动，设运动的 问为t秒.（1）当P点在边AB上运动时，点Q的横坐标x （长度单位）于运动时间t （秒）的函数图象如图所示，请写出点 Q始运动时的坐标及点P运动

15、速度；（2）求正方形边长及顶点C的坐标；（3）在（1）中当t为何值时， OPQ勺面积最大，并求此时P点的坐标; 如果点P、Q保持原速度不变，当点P沿A-B-C-D匀速运动时，OP与PQ能否相等，若能, 写出所有符合条件的t的值；若不能，请说明理由.注意：第（4）问按点P分别在AB BG CD边上分类讨论；求t值时，灵活运用等腰三角形“三线11、（2009年北京市）如图，在平面直角坐标系 xOy中， ABCE个顶点的坐标分别为A 6,0 , B 6,0 , C 0,473 ,延长AC到点D,使CD=1AC,过点D作DE/ AB交BC的延长线于点 2E.（1）求D点的坐标;（2）作C点关于直线DE

16、的对称点F,分别连结DR EF,若过B点的直线y kx b将四边形CDFE 分成周长相等的两个四边形，确定此直线的解析式；（3）设G为y轴上一点，点P从直线y kx b与y轴的交点 出发，先沿y轴到达G点，再沿GASJ达A点，若P点在y轴上 运动的速度是它在直线 GA±运动速度的2倍，试确定G点的位置，使P点按照上述要求到达 A点所用的时间最短。（要求：简述确定G点位置的方法，但不要求证明） 提示：第（2）问，平分周长时，直线过菱形的中心；第（3）问，转化为点G到A的距离加G到（2）中直线的距离和最小；发现（2）中直线与x轴夹角为6 0 0 .见“最短路线问题”专题。12、（2009

17、年上海市）QAP为线段BD上的动点，点Q在射B图3C线AB上，且满足理PCD已知/ABC=90 , AB=2 BC=3 AD" BG（1）当AD=Z且点Q与点B重合时（如图2所示），求线段PC的长;3（2）在图8中，联结AP.当AD 3 ,且点Q在线段AB上时，设点B Q之间的距离为x2其中&APQ表示APQ勺面积，S.PBC表示4PBC的面积，求y关于x的函数解析式，并写出函数定 义域;（3）当AD AB ,且点Q在线段AB的延长线上时（如图3所示），求 QPC的大小.注意：第（2）问，求动态问题中的变量取值范围时，先 动手操作找到运动始、末两个位置变量的 取值，然后再根据

18、运动的特点确定满足条件的变量的取值范围。当PCXBD时，点Q B重合，x获得最小值；当P与D重合时，x获得最大值。第（3）问，灵活运用SSA判定两三角形相似，即两个锐角三角形或两个钝角三角形可用SSA来判定两个三角形相似；或者用同一法；或者证/ BQP= /BCP彳SB、Q G P四点共圆也可求 解。13、（08宜昌）如图，在RQABC中，AB= AG P是边AB （含端点）上的动点.过 P作BC的垂线 PR R为垂足，/ PRB的平分线与AB相交于点S,在线段RS上存在一点T,若以线段PT为一边作 正方形PTEF其顶点E, F恰好分别在边BG AC上.（1） AB*SBF®否相似，

19、说明理由；（2）请你探索线段TS与PA的长度之间的关系；(3)设边AB= 1,当P在边AB (含端点)上运动时,请你探索正方形 PTEF的面积y的最小值和最 大化PA=TSE14、TB关键是找到并RS提示：第(3)问,满足条件时最大、最小图形；当p运动到使T与R重合时,最S、。此问与上题中求取值范围类似009、年河北姐图/在RtAAB利C1个 单位亚 的速庾跑点-A 匀 湮 运动,C C=90o , AC= 3, AB = 5 .点P从点C出发沿CA以每 利达点A后立刻以原来的速度沿 AC返回；点Q从点A出发沿AB以每0it畲单位长的速写朝1点题)B匀速运动.伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平

20、分PQ且交 PQ于点D,交折线QBBCCP于点E.点P、Q同时出发，当点Q到达点B时停止运动，点P也随之 停止.设点P、Q运动的时间是t秒(t>0).(1)当t = 2时，AP=，点Q到AC的距离是；(2)在点P从C向A运动的过程中，求 APQ勺面积S与t的函数关系式；(不必写出t的取值范 围)(3)在点E从B向C运动的过程中，四边形QBEDg否成为直角,$形若能，求t的值.若不能，请说明理由;(4)当DE经过点C时，请直接写出t的化 PB 行分类，按要求画出图形，再结合图形性质求出t值;/E B , P Q / B C ;按点P运动方向分类，按要求画出图形再结合图形性质求出有二种成t值

21、; A有二种情形，CQ=C P = AQ= t 时,QC = PC=6 t时.15、(2009年包头)已知二次函数yax2 bx c ( a 0)的图象经过点 A(1,0) , B(2,0) , C(0, 2),直线x m ( m 2)与x轴交于点D .(1)求二次函数的解析式；(2)在直线x m (m 2)上有一点E (点E在第四象限)，使得E、D、B为顶点的三角形与以 A、O、C为顶点的三角形相似，求E点坐标(用含m的代数式表示)；(3)在(2)成立的条件下，抛物线上是否存在一点 F ,使得四边形ABEF为平行四边形若存在, 请求出m的值及四边形ABEF的面积；若不存在，请说明理由.提示：

22、第（2）问，按对应锐角不同分类讨论，有两种情形；第（3）问，四边形ABE四平行四边形时，E、F两点纵坐标相等，且AB=EF对第（2）问中两种 情形分别讨论。四、抛物线上动点16、（2009年湖北十堰市）如图，已知抛物线y ax2 bx 3 （a*0）与x轴交于点A（1 , 0）和 点B （ 3, 0）,与y轴交于点C.（1）求抛物线的解析式；设抛物线的对称轴与x轴交于点M,问在对称轴上是否存在点P,使CMF%等腰三角形若存 在，请直接写出所有符合条件的点 P的坐标；若不存在，请说明理由.（3）如图，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接 BE CE,求四边形BOCEH积的最大值，并求此时E点的坐

23、标.注意：第（2）问按等腰三角形顶点位置分类讨论 画图再由图形性质求点P坐标-C为顶点时， 以C为圆心CM为半径画弧，与对称轴交点即为所求点 P,M为顶点时，以M为圆心MCJ半径画 弧，与对称轴交点即为所求点P,P为顶点时，线段MC勺垂直平分线与对称轴交点即为所求点 P。第（3）问方法一，先写出面积函数关系式，再求最大值（涉及二次函数最值）；方法二，先求与BC平行且与抛物线相切点的坐标（涉及简单二元二次方程组），再求面积17、（2009年黄石市）正方形ABCD在如图所示的平面直角坐标系中， A在x轴正半轴上，D在y 轴的负半轴上，AB交y轴正半轴于E, BC交x轴负半轴于F, OE 1 ,抛物线y ax2 bx 4过 A D、F三点.（1）求抛物线的解析式；（2） Q是抛物线上D、F间的一点，过Q点作平行于x轴的直线交边AD于M ,交BC所在直线于3N ,若我边形afqm -Safqn,则判断四边形AFQM的形状；（3）在射线DB上是否存在动点P ,在射线CB上是否存