专题数列求和的基本方法和技巧及其答案

1、数列求和的基本方法和技巧一、利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式： 2、等比数列求和公式：3、 4、5、例1 已知，求的前n项和.解：由由等比数列求和公式得 （利用常用公式） 1练习1 设是公比大于1的等比数列，为数列的前项和已知，且构成等差数列（1）求数列的等差数列（2）令求数列的前项和二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列an·bn的前n项和，其中 an 、 bn 分别是等差数列和等比数列.例2 求和：解：由题可知，的通项是等差数列2n1的通项与等比数列的通项之

2、积设. （设制错位）得 （错位相减）再利用等比数列的求和公式得： 小结：错位相减法的求解步骤：在等式两边同时乘以等比数列的公比；将两个等式相减；利用等比数列的前n项和的公式求和.练习2 求数列前n项的和.练习3：（07高考全国文21）设是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且，（）求，的通项公式；（）求数列的前n项和四、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.例3 求数列的前n项和：，解：设将其每一项拆开再重新组合得 （分组）当a1时， （分组求和）当时，练习4：数列an的前n项和，数列bn满

3、.（）证明数列an为等比数列；（）求数列bn的前n项和Tn。五、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：（1） （2）（3） （4）（5）(6) 例4 求数列的前n项和.解：设 （裂项）则 （裂项求和） 练习5 在数列an中，又，求数列bn的前n项的和.三、反序相加法求和这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个.例5 求证：证明： 设. 把式右边倒转过来得 （反序） 又由可得 . +得 （反序相

4、加） 练习6 求的值七、利用数列的通项求和先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n项和，是一个重要的方法.例6 已知数列an：的值.解： （找通项及特征） （设制分组） （裂项） （分组、裂项求和） 练习7 求之和.答案1、解：（1）由已知得解得设数列的公比为，由，可得又，可知，即，解得由题意得故数列的通项为（2）由于由（1）得， 又 是等差数列 故2、解：由题可知，的通项是等差数列2n的通项与等比数列的通项之积设 （设制错位）得 （错位相减） 3、解：（）设的公差为，的公比为，则依题意有且解得， 所以， （），得 4、解析：（）由，两式相减得：，同定义知是首项为1，公比为2的等比数列. （） 等式左、右两边分别相加得：=5、解： （裂项） 数列bn的前n项和 （裂项求和