专转本高等数学之极限与连续

1、第一章 函数极限与连续 一 函数定义域及函数的特性 1 主要掌握以下几条原则 （2） （3） 。特别的。 （4） 例11 确定下列函数定义域。 （1） （2）。 解 （1）依题意应有 故定义域为：。 （2）依题意应有 故定义域为 。 2 函数的有界性，奇偶性，单调性，周期性。特别注意以下形式的函数表达式；都是有界函。3 复合函数：要重点掌握将一个比较繁的函数化成一些简单脑函数的复合。例如函数由以下基本初等函数：复合而成。4 初等函数。基本初等函数由以下六类函数构成：（1） 常值函数 。（2） 幂函数 。例如：等都是幂函数。（3） 指数函数 常用指数函数。（4） ：对数函数： 常用对数函数 （5

2、） 三角函数 （6） 反三角函数 要掌握以上函数的基本特性及其函数图形。由基本初等函数经过有限次的四则运算及有限次复合运算而得到的函数称为基本初等函数。 以下函数不是初等函数： 这些类型的函数也称为分段函数（“分开”表示的函数）。 二 下面介绍几种极限的求法 几种确定的极限形式：若 几种不确定的极限形式: . 常用极限： 其中可。1 初等方法求极限：主要思路就是对极限表达式进行初等变形求出其极限值。例1.2 求下列极限（1） （2） （3） (4) (5) 已知，求的值解 （1） 分子分母同除以得：原式=。（2）原式= 。（3）分子分母同除以 原式= 。 (4) 解：原式=.(5) 解：已知的

3、条件可化为 ，即，故必有 ，即，代入上式得，所以即为所求. 极限为零的量为无穷小量。2 利用结论：“无穷小量乘以有界量仍然是无穷小量”求极限。 例1.3 求下列极限 （1） （2） 解 （1） 因为当，故是无穷小量，而 是有界量。因此 是无穷小量。故原极限为零。 （2）因为当，故是无穷小量，而是有界量。因此是无穷小量。故原极限为零。3 利用两边夹法则（也称夹逼定理）求极限。 若且极限，其中A是一确定的实数。例1.4求下列极限（1） （2） 解 （1） 。故原极限等于7。 （2） 因为故原极限等于1。 同步练习题：求下列极限 （ 1） ） 答案 1/2 （2） 答案 0 （ 3） 答案 9 （4

4、 ） 答案 1/24 两个重要极限： 。 关于第二个极限我们常用以下命题： 命题 若当 时且极限存在。则成立 注：该公式适用于求型极限。 例1.5 求下列极限 （1） （2） （3） (4) 求极限 解 （1） 令可知原极限等于。 （2）原极限等于。 （3）原极限等于 (4) 原式 同步练习题： 求下列极限 (1) 答案 1/2 (2) 答案 (3) 答案 (4) 答案 1/2 (5) 答案 5 利用等价无穷小替换求极限 若当时，与都是无穷小量，若，则称时，与是等价无穷小，记为 .即 . 记住下面常用的等价无穷小替换公式当时， 相乘、相除的表达式求极限可用等价无穷小替换，相加、相减不行. 例1.6 求下列极限 (1) (2) (3) 解 (1) 故原极限等于.(2) 故原极限等于.(3) 原式 (利用罗比达则可求此极限) . 例1.7 是的高阶无穷小，而又是又是高阶无穷小，其中k是正整数。求k的值。 解 因为故依题意应有: , k是正整数,故有k=3 同步练习题：求下列极限 (1) .