垂直于弦的直径第二课时

1、第第24章章 圆圆24.1.224.1.2垂直于弦的直径垂直于弦的直径 第二课时第二课时垂径定理垂径定理 定理定理 垂直于弦的直径平分弦垂直于弦的直径平分弦, ,并且平分弦所对的两条弧并且平分弦所对的两条弧. .OABCDMCDAB,如图如图 CD是直径是直径,AM=BM, AC =BC, AD=BD.推论：平分弦推论：平分弦（不是直径）（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所的直径垂直于弦，并且平分弦所 对的两条弧。对的两条弧。课堂讨论课堂讨论根据已知条件进行推导：根据已知条件进行推导：过圆心过圆心垂直于弦垂直于弦 平分弦平分弦 平分弦所对优弧平分弦所对优弧 平分弦所对劣弧平分弦所对劣弧（1

2、 1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所 对的两条弧。对的两条弧。（3 3）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。（2 2）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分 弦所对的另一条弧。弦所对的另一条弧。垂径定理推论垂径定理推论1 1垂径定理及推论垂径定理及推论OABCDM条件条件结论结论命题命题垂直于弦的直径平分弦垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧并且平分弦所的两条弧.平分弦平分弦(不是直径不是直径)的直径垂直于弦

3、的直径垂直于弦,并且平并且平 分弦所对的两条弧分弦所对的两条弧.平分弦所对的一条弧的直径平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦垂直平分弦,并且平分弦所对的并且平分弦所对的另一条弧另一条弧.弦的垂直平分线经过圆心弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧并且平分这条弦所对的两条弧. 垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且平并且平分弦和所对的另一条弧分弦和所对的另一条弧.平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于弦垂直于弦,并且平分弦所对的另一条弧并且平分弦所对的另一条弧.平分弦所对的两

4、条弧的直线经过圆心平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦并且垂直平分弦. 根据垂径定理与推论可知：对于一个圆和一条直根据垂径定理与推论可知：对于一个圆和一条直线来说，如果具备：线来说，如果具备： 那么，由五个条件中的任何两个条件都可以推出其他那么，由五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论。三个结论。注意要点注意要点 经过圆心经过圆心 垂直于弦垂直于弦 平分弦平分弦 平分弦所对的优弧平分弦所对的优弧 平分弦所对的劣弧平分弦所对的劣弧例例 如图，一条公路的转变处是一段圆弧如图，一条公路的转变处是一段圆弧( (即图中弧即图中弧CD,CD,点点O O是弧是弧CDCD的圆心的圆心),)

5、,其中其中CD=600m,ECD=600m,E为弧为弧CDCD上的一点上的一点, ,且且OECDOECD垂足为垂足为F,EF=90m.F,EF=90m.求这段弯路的半径求这段弯路的半径. .OCDEF解解: :连接连接OC.OC.设弯路的半径为设弯路的半径为RmRm，则，则OF=(R-90)mOF=(R-90)mOECDOECDCF= CD= CF= CD= 600=300600=300根据勾股定理，得根据勾股定理，得OCOC2 2=OF=OF2 2+CF+CF2 2即即R R2 2=300=3002 2+(R-90)+(R-90)2 2解这个方程，得解这个方程，得R=545R=545这段弯路

6、的半径为这段弯路的半径为545m545m 问题2(1)(1)如图如图, ,已知已知O O的半径为的半径为6cm,6cm,弦弦 ABAB与半径与半径 OAOA的的夹角为夹角为 30 30 , ,求弦求弦 AB AB 的长的长. .OAOCABM(2)(2)如图如图, ,已知已知O O的半径为的半径为6cm,6cm,弦弦 ABAB与半径与半径 OCOC互相互相平分平分, ,交点为交点为M ,M ,求弦求弦ABAB的长的长. .630EB（3 3）如图，有一圆弧形桥拱，拱形的半径为）如图，有一圆弧形桥拱，拱形的半径为1010米，桥米，桥拱的跨度拱的跨度AB=16AB=16米，则拱高为米，则拱高为 米

7、。米。ABCD4O船能过拱桥吗船能过拱桥吗? ?例例. .如图如图, ,某地有一圆弧形拱桥某地有一圆弧形拱桥, ,桥下水面宽为桥下水面宽为7.27.2米米, ,拱拱顶高出水面顶高出水面2.42.4米米. .现有一艘宽现有一艘宽3 3米、船舱顶部为长方米、船舱顶部为长方形并高出水面形并高出水面2 2米的货船要经过这里米的货船要经过这里, ,此货船能顺利通此货船能顺利通过这座拱桥吗？过这座拱桥吗？船能过拱桥吗船能过拱桥吗解解: :如图如图, ,用用ABAB表示桥拱表示桥拱,AB,AB所在圆的圆心为所在圆的圆心为O,O,半径为半径为Rm,Rm,经过圆心经过圆心O O作弦作弦ABAB的垂线的垂线OD,

8、DOD,D为垂足为垂足, ,与与ABAB相交于点相交于点C.C.根根据垂径定理据垂径定理,D,D是是ABAB的中点的中点,C,C是是ABAB的中点的中点,CD,CD就是拱高就是拱高. .由题设得由题设得在在RtRtOADOAD中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得OAOA2 2=AD=AD2 2+OD+OD2 2即即r r2 2=3.6=3.62 2+(r-2.4)+(r-2.4)2 2解得解得 r3.9r3.9（m m）. .在在RtRtONHONH中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得OHOH2 2=ON=ON2 2-HN-HN2 2解得解得OH=3.5OH=3.5DH=3.6-1.5=2.1

9、DH=3.6-1.5=2.12 2此货船能顺利通过这座拱桥此货船能顺利通过这座拱桥. . AB=7.2AB=7.2，CD=2.4CD=2.4，HN= MN=1.5HN= MN=1.5AD= AB= AD= AB= 7.2=3.67.2=3.6OD=OC-DC=r-2.4OD=OC-DC=r-2.4 1.1.过过o o内一点内一点M M的最长的弦长为的最长的弦长为1010, ,最短弦长为最短弦长为8 8, ,那么那么o o的半径是的半径是2.2.已知已知o o的弦的弦AB=6AB=6, ,直径直径CD=10CD=10, ,且且ABCD,ABCD,那那么么C C到到ABAB的距离等于的距离等于3.

10、3.已知已知O O的弦的弦AB=4AB=4, ,圆心圆心O O到到ABAB的中点的中点C C的距离为的距离为1 1, ,那么那么O O的半径为的半径为4.4.如图如图, ,在在O O中弦中弦ABAC,ABAC,OMAB,ONAC,OMAB,ONAC,垂足分别为垂足分别为M,M,N,N,且且OM=2,0N=3,OM=2,0N=3,则则AB= ,AB= ,AC= ,OA=AC= ,OA=51或或956413CmBAMCON练一练练一练5.5.在在中，、中，、ACAC为为互相垂直且相等的互相垂直且相等的两条弦，两条弦，于，于，于于求证：四边形是正方形求证：四边形是正方形1.1.在直径为在直径为650

11、mm650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示若油面宽如图所示若油面宽AB=600mmAB=600mm，求油的最大深度，求油的最大深度. . BAOED 600CD拓展拓展 在直径为在直径为650mm650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截的圆柱形油槽内装入一些油后，截面的油面宽面的油面宽AB=600mmAB=600mm，求油的最大深度，求油的最大深度. . BAO600 650DCBAOED 600CD如图如图, ,一圆弧过方格的格点一圆弧过方格的格点A A、B B、C,C,试在方格中建立平面直试在方格中建立平面直角坐标系角坐标系, ,使点使点A A的

12、坐标为（的坐标为（2,32,3）, ,则该圆弧所在圆的圆心坐则该圆弧所在圆的圆心坐标是标是( )( )A（-1，1） B（2，1）C（1，1） D（1，0）把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知所示，已知EFEFCDCD1616厘米，则球的半径为厘米，则球的半径为 厘米厘米. .x xy yO OO OG GA A1010如图，如图，ABAB是半圆是半圆O O的直径，的直径，E E是弧是弧BCBC的中点，的中点，OEOE交弦交弦BCBC于点于点D.D.已知已知BC=8cmBC=8cm，DE=2cmDE=2cm，求求AD

13、AD的长为的长为多少多少cm. cm. 解：连接解：连接ACAC，ACB=90ACB=90EE是是 的中点，的中点，OEOE交弦交弦BCBC于点于点D D，OECD,CD=BD= BC=4OECD,CD=BD= BC=4设设O O的半径为的半径为r,r,则则OD=r-2OD=r-2 OB=r OB=r故故 OBOB2 2= = ODOD2 2+ BD+ BD2 2即即r r2 2= = (r-2)(r-2)2 2+ + 4 42 2解得解得 r=5r=5故故 AB=2r=10AB=2r=10在在RtRtABCABC中中 AC= =6AC= =6在在RtRtADCADC中中 AC=6AC=6，C

14、D=4CD=4故故 AD= =AD= = 如果圆的两条弦互相平行如果圆的两条弦互相平行,那么这两条弦所平的弧那么这两条弦所平的弧相等吗相等吗?提示提示: 这两条弦在圆中位置有两种情况这两条弦在圆中位置有两种情况:OABCD1.两条弦在圆心的同侧两条弦在圆心的同侧OABCD2.两条弦在圆心的两侧两条弦在圆心的两侧垂径定理的推论垂径定理的推论 2. 圆的两条平行弦所夹的弧相等圆的两条平行弦所夹的弧相等.进一步探究进一步探究 O O的半径为的半径为5cm,AB,CD5cm,AB,CD是是O O的弦，的弦，ABCD,AB=8cm,ABCD,AB=8cm,CD=6cm,CD=6cm,求求ABAB和和CD

15、CD之间的距离之间的距离. .OABCD（1）两条弦在圆心的）两条弦在圆心的同侧同侧OABCD（2）两条弦在圆心的）两条弦在圆心的两侧两侧解：分两种情况解：分两种情况EEFF连连OA,OC,OA,OC,作作OECDOECD于于E,OFABE,OFAB于于F,F,则则AF=4AF=4，CE=3CE=3在在RtRtAOFAOF中，中，OFOF2 2+ AF+ AF2 2= OA= OA2 2, OF=3, OF=3在在RtRtCOECOE中，中，OEOE2 2+ CE+ CE2 2= OC= OC2 2, OE=4, OE=4 AB AB和和CDCD之间的距离为之间的距离为1cm1cm或或7cm7cm小小 结结直径平分弦直径平分弦 直径垂直于弦直径垂直于弦=直径平分弦所对的弧直径平分弦所对的弧 直径垂直于弦直径垂直于弦 直径平分弦（不是直径）直径平分弦（不是直径）直径平分弦所对的弧直径平分弦所对的弧 直径平分弧所对的弦直径平分弧所对的弦 直径平分弧直径平分弧 直径垂直于弧所对的弦直径垂直于弧所对的弦=、圆