54定积分计算方法

1、成都工贸职业技术学院教案课程名称高等数学年级2017 级专业数控技术授课教师陈本锋授课时间学时2授课 题目第五章第4节定积分的计算方法（二）教学掌握定积分的换元积分法与分部积分法。理解变上限定积分定义的函数，及其求导数定理，掌握牛顿一 莱布尼茨公式。目标学点 教重定积分的换元积分法与分部积分法。 牛顿一莱布尼茨公式。教学 难点定积分的换元积分法与分部积分法。 牛顿一莱布尼茨公式。教学 方法讲授、交流讨论教学 准备多媒体、黑板、三角板、粉笔教学过程设计教学内零教师活动学生活动时间分配回顾：2.牛顿一莱布尼茨(NewtonLeibniz)公式：定理2如果函数F (x)是连续函数.心)在区间“，切上

2、的一个原函 数,则f(x)dx=F(b) - F(a).此公式称为牛顿一莱布尼茨公式，也称为微积分基本公式.为了方便起见，可把F(b)-F(“)记成F(x)£,于是(f(X)dx=F(x)t, = Fb)-F(a).进一步揭示了左积分与被积函数的原函数或不泄积分之间的 联系.注：公式说明了泄积分和不建积分之间的关系：/(X)在区间a, b上的定积分等于/(劝的一个原函数F(x)在区间两端点处的函数值之差F(b)F(a)=F(x)=f(x)dxa板书查阅 定义10分钟1定积分的换元积分法定理 假设函数心)在区间“上连续，函数*讽/)满足条件： 认a)=a ,认阳b; (2)凶)在a,

3、0(或0, )上具有连续导数,且英值域不越出“，刃，则有 x)dx=f<p(t)(pt)dt.这个公式 叫做左积分的换元公式.证明由假设知，用)在区间®上是连续，因而是可积的；f 讽小0在区间&, 0(或0,甸)上也是连续的，因而是可积的.假设F(x)是/'(X)的一个原函数，贝IJCf(x)dX=F(b)-F(a).另一方面,因为F/)Ji曲)0(/)=.f 如)0(”，所以F讽0是/【讽/)0的一个原函数，从而% 凶)炉(M =F讽 0 )-F叭 a )=F(b)-F(a).因此f(x)dx=伤做)0(M.例 1 求：41 _dx学生教师认真20分结合听讲钟

4、 教材讲授1 + /v解：设 2 長,贝|J： x = t 故：dx = 2tdt当x = 0时，r = Vo = O ,当 x = 4 时，/= J? = 2 丄厶=丄.2皿二2丄皿二血1 + 頁 J() 1 + rJ() 1 + r Jo 1 + rf2 1 7=2| (1)力二2(x ln Il + /l)l& = 2(2 ln3)Jo 1 + r+X2 ,X<0 L f3例 2 设：f(x)= <求：I /(x-2)Jxex>0解：设/ = x-2,贝ij： x = t + 2. dx = dt当x = l时，r = -l；当x = 3时，t = J f(x

5、一 2)dx=jl_ f(t)dt = £ f(x)dx二；(1 +，)必+=x+ +ex=- + e- = - + e31033例 3 计算解 j： Ja2-x2dx'二F a cos t - a cos tilt=“書 COS2 t(Jt=+ (1+COS 2t)clt=/+lsin2/f=l.提示：yja2-x2 =Ja2-a2sin2t =acost、dx=a cos t.当*0时=0,当.K时Z = y.例 4 计算2 cos5A SinxJx .解令UC0S兀则扔 cos'sin 皿=-(；cos5 xdcosxg-J闷川如烈+ 提示：当x=0时=1,当*

6、号时=0.或:cosbsin 皿=-(：cos5.u/cosx=4cos6x|J =-cos6+cos60=- .结论1定积分的几个常用公式：设/(x)在关于原点的对称的区间a, b上可积，则：(1) 当/W为奇函数时，/(劝必=0J0(2) 当/(X)为偶函数时，r f(x)dx = 2(a f(x)dxJflJOz 一 士 (4 x + cosx .例5求：R dx丄了 1 + sin x解：底严于妇打必+f cos：厶1 + sin xJ'1 + sirrx儿齐 1+sin x在上，v.为奇函数，cos"为偶函数2 21 + sin x1 + sin" x原式

7、二 0+2卩COSA_“% 二 2卩；d(sin x)Jo 1 + sin" xJ<) l + sin x£兀= 2arctan(snx)J =2练习1计算J。屈7TQ1 .Q解j:晋严皿宁皿并5 ”田冷(¥+9)7押弓 提示：x；l,dx-M;当lO时L1,当x=4时L3.练习 2 计算(JsinUsinbdx.解；Jsin'x-sin'xx=； sinxlcosxk/x=(；sin xcosxdx- psin xcosxdx2= psin.u/sinx-|fsiiiAz/sinx2=|sin 2 x J -sin 2=|-(1)=.提示：

8、 Jsin，x-sin5 x = Jsin' x(-sin2 x) =sin? aIcosxI .在0. y上Icos .i=cos a 在吟,n 上Icos .rl=-cos X.XCXY>0A练习 3 设函数 /(x)=1 ' ja lIBf/(x-2Wr.ll+ch? ,<x<0J，解设X-2f则2)dx-_xft)dt- 1+cqs/dt+te ' dtJ； =lan 丄一丄广4 + 丄2 2o2 22提示：设 x-2=/,则 dxdt;当 a1 时 /=-l, S|1 x=4 时 /=2.教师 推导 演示师生 研讨10分钟2.定积分的分部积分

9、法设函数u(x). v(x)在区间"»上具有连续导数/(X). vx),由（uvy=urv +u得u V j V-心,式两端在区间馮切上积分得 uvdx=u -ivdx 或 $认=小比一这就是左积分的分部积分公式一分部积分过程：£mv</a-£mz/i-=wp）J-ivdx= -.教师 结合 教材 讲授学生 认真听讲 20分钟例1计算解令長则 加=2加砂=2脳0 =2（加：）-2個山»2叫=2例2汁算（farcsin皿.丄丄 丄解 arcs in xdx =A*arcsin x：arcs in x44-fz y dx2 6 J。口12 2

10、丿。吋 唔+戸扌唏+£-1 -例 3 求：xe x dxJo解：仕"毎_弐穴心2）十卜壮V（宀/）=”）2 2小结：与不定积分的分部积分法相比，定积分积出部分就代入上、 下限小结：奇函数：y=xn, （n=2k+l, keN）;y=sinx; y=tanx偶函数：y=xn, （n=2k, kGN）; y=cosx ; y=lxl结论2设/（x）是以T为周期的周期函数，且可积，贝山对任意 实数a有:f+，fWdx = f（x）dx注意：T周期（最小正周期的整数倍）例4求：sin 2xdx解：T y= sin 2x 的周期为 T= = = 7CCD 2打+lF11bsin2xJ

11、x= 1 sin 2xdx- sin 2xd(2x) = -cos2x； =0 2 2结论3 sin*, cos*在区间0,-上的积分：2fsin" xclx = jjcos/r xx =ii 1 /? 3 /? 52 t.1, = 2k + ,k e N n n-2 n-43<72-1 7? - 3 7? - 51 7T, ,n = 2k、k e Nn n - 2 /z-42 2例 5 求：f sin7 xilxJo& F 77_1 7 3 2 I 6 4 2 1161 s in xclx 1 = 1 =J<)7 7-2 37 5 335练习 1 求：J xco

12、sxdx解：设 W(A)= X ,:. "'(X)= 1vz(x) = cosx, /. v(x) = sin x： xcosxdx = x sinx 6 - J()sin xdx= -cosxJ =cos-cosO= 1 1=2练习 2 求：解：x2exdx=- £ X2d(-ex) = -x2 (ex ) - ：2x(-八炒 =-ei-2xe-xi() - f 2(-严皿.=-e-l-2e-l-2(ei -1)=2 _5e"/T练习 3 求：jcos6 2xdx解：设 t=2x, /.x= t Adx=当 x=0 时，t=0：当 x二=时，224t= y A jcos6 2xdx=cos6 r( 1 /)二裁COS& tdt1 5 3 1 7