二导数与微分

1、二导数与微分1下列各题中均假定存在，按照导数定义观察下列极限，指出A表示什么.(1) 解：故(2) 解：故(3) 解：故2讨论函数在点处的连续性和可导性.解：,故函数在处连续.又,故函数在处不可导.3 如果为偶函数，且存在，证明：证明：故4求下列函数在处的左、右导数，从而证明函数在处不可导.(1) 证明：因，故函数在处不可导.(2) 证明：因，故函数在处不可导.(3) 证明：因，故函数在处不可导.5已知求.解：当时，当时，当时，故综上所述知6设函数为了使函数在点处连续且可导，应取什么值？解：因要使在处连续，则有又要使在处可导，则必须，即故当时，在处连续且可导.7讨论下列函数在指定点的连续性与可

2、导性:(1) 解：因为所以此函数在处连续.又，故此函数在处不可导.(2) 解：因为故函数在处连续.又,故函数在处可导.(3) 解：因为,故函数在x=1处连续.又，故函数在x=1处不可导.8 证明：双曲线上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积都等于.证明：在双曲线上任取一点则，则过点的切线方程为：令得切线与x轴的交点为，令得切线与y轴的交点为，故9 已知在点可导，证明：. 证明：10设，且所有的函数都可导，证明：证明：11. 求下列函数的导数：;；（a为常数）； ；; ；; ；为常数）.解：;；;；.12. 试求曲线在点（0，1）及点（1，0）处的切线方程和法线方程.解： 故在点（0，1）

3、处的切线方程为：，即 法线方程为：，即在点（1，0）处的切线方程为：法线方程为：13. 设可导，求下列函数y的导数： 解：解：14. 求下列隐函数的导数：；解：两边求导，得：解得 . 两边求导，得：解得 . 两边求导，得：解得 .两边求导，得： 解得 .15.用对数求导法求下列函数的导数：解：解：解：16. 求下列参数方程所确定的函数的导数： (a,b为常数)解：解：17. 设,其中a为常数，为连续函数，讨论在处的可导性.解：.故当时，在处可导，且当时，在处不可导.18. 已知，求.解：当时，,当时，,故不存在.又故不存在.综上所述知.19. 若，求.解：令，则,即.20. 若，求.解：21.

4、 求函数的反函数的导数.解：故反函数的导数为：.22. 已知的导数，且，求的反函数的导数.解：时故,从而.23. 在括号内填入适当的函数，使等式成立：；;；; ；; .解：.24求下列函数的微分：；.解：；25. 求由下列方程确定的隐函数的微分：； . 解：对等式两端微分，得 即 于是对等式两端微分，得得对等式两端微分，得解得对等式两端微分，得解得26. 求下列函数的高阶导数：求；求；求.解：27. 求由下列方程所确定的隐函数的二阶导数：； . 解：两边对求导，得.两边对求导，得.两边对求导，得两边对求导，得28. 已知存在，求：；.解：29. 求由下列参数方程所确定函数的二阶导数：(为常数)

5、；设存在且不为零.解：.30. 求下列函数在指定点的高阶导数：求；求，；求，.解： 故.故，.故，31. 求函数在处的阶泰勒公式.解： 32. 求函数的阶麦克劳林公式.解： 33. 求函数的阶麦克劳林展开式.解：34. 设函数在上连续，在内可导，且试证：.证明：.35. 设具有二阶连续导数，且，试证：可导，且导函数连续.证明：因具有二阶连续导数，故时，可导,又故 是可导的，且导函数为又因故的导函数是连续的.36. 求曲线x=acos3t，y= asin3t在t=t0处的曲率.解： ，故 且当t=t0时， .37. 曲线弧y=sin x (0<x<)上哪一点处的曲率半径最小？求出该点

6、的曲率半径.解：.显然R最小就是k最大， 令，得为唯一驻点.在内，在内，.所以为k的极大值点，从而也是最大值点，此时最小曲率半径为.38. 设总收入和总成本分别由以下两式给出：其中q为产量，0q1000，求：(1)边际成本；(2)获得最大利润时的产量；(3)怎样的生产量能使盈亏平衡？解：(1) 边际成本为：(2) 利润函数为令,得即为获得最大利润时的产量.(3) 盈亏平衡时： R(q)=C(q)即 3.9q0.003q2300=0q21300q+100000=0解得q=1218(舍去)，q=82.39. 设生产q件产品的总成本C(q)由下式给出：C(q)=0.01q30.6q2+13q.(1)

7、设每件产品的价格为7元，企业的最大利润是多少？(2)当固定生产水平为34件时，若每件价格每提高1元时少卖出2件，问是否应该提高价格？如果是，价格应该提高多少？解：(1) 利润函数为令，得 即 得(舍去) 此时， (元)(2)设价格提高x元，此时利润函数为令, 得故应该提高价格，且应提高5元.40. 求下列初等函数的边际函数、弹性和增长率：(1) y=ax+b；(其中a，bR，a0)解：y=a即为边际函数.弹性为： ,增长率为： .(2) y=aebx；解：边际函数为：y=abebx弹性为： ,增长率为： .(3) y=xa解：边际函数为：y=axa1.弹性为： ,增长率为： 41. 设某种商品的需求弹性为0.8，则当价格分别提高10%，20%时，需求量将如何变化？解：因弹性的经济意义为：当自变量x变动1%，则其函数值将变动.故当价格分别提高10%，20%时，需求量将分别提高0.8